数学选修2-3北师大版1.4 简单的计数问题 知能优化训练

1、1(2010年高考北京卷)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()AAABACCAA DAC解析：选A.本题采用插空法.8名学生的排列方法有A种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A，根据分步乘法计数原理，总的排法种数是AA.1233122312.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有()A6种 B12种C24种 D48种答案：B3有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有的种数为()AAA BCACCA DAA解析：选A.三个人占去3个位置共有A种，将3个余下空

2、位分为2,1两组插在3个人相应的四个空位置上共有A种，故共有AA种4将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：选出两人看成整体，再全排列，有CA36种方案答案：36一、选择题1某人射击8枪命中4枪，这4枪恰有3枪连中的不同种数有()A720 B480C224 D20解析：选D.把连中三枪看作一个元素(捆绑)，另一中的枪看作一个元素，这两个元素在其余4个元素组成的5个空中插空共有CA20种2某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A(C)2A个 BAA个C(C)2104个 DA104个解析：选

3、A.英文字母可以相同，故有(C)2种选法，而数字有09共10个，不允许重复，故有A种排法，由分步乘法计数原理，满足要求的牌照号码共有(C)2A种，故选A.33名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有()A90种 B180种C270种 D540种解析：选D.先考虑把6名护士分成三组，分配到学校去，即先从6人中选2人到甲学校有C种方法，再从余下4人中选2人到乙学校有C种方法，剩下2人到丙学校，有C方法，由分步乘法计数原理，6名护士分配到3所学校有C·C·C种方法，分好护士后，第二步，把3名医生分到各校，每校1人，有A种方法，根据

4、分步乘法计数原理，不同的分配方法有C·C·C·A540种故选D.4.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有()A20个 B30个C40个 D50个解析：选C.满足条件的有两类：第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有m18个；第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有m28×432个，所以满足条件的三角形共有8324个5(2010年高考重庆卷)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方案共有()A30种 B36种C4

5、2种 D48种解析：选C.依据甲、乙二人是否同组，分两类：第一类：甲、乙同组，则只能排在15日，有C6种排法第二类：甲、乙不同组，有CC(A1)36种排法。根据加法原理，共有63642种不同的安排方案6(2010年高考湖北卷)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A152 B126C90 D54解析：选B.依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就司机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参

6、与人数恰有1人，满足题意的方法有C·C·C·C108种；第二类，司机这项工作的实际参与人数恰有2人，满足题意的方法有C·A18种因此，满足题意的方法有10818126种二、填空题7(2010年高考江西卷)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)解析：分配方案有·A90(种)答案：908甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析：当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一个台阶上

7、时有CCC种站法，因此不同的站法有ACCCC210126336种答案：3369某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级中且每班安排2名学生，则不同的安排方案种数为_解析：先对转入的4名学生进行分组，注意平均分组的要求，再安排到不同的班级，进行排列计算分两步完成，第一步：四个学生平均分成两组有C种方法；第二步：对每一种分组方法有A种安排方式，则共有CA90种不同的安排方案答案：90三、解答题10将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒

8、子的编号相同，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×444256种放法(2)为全排列问题，共有A24种方法(3)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C·28(种)(4)(隔板法)先将编号为1、2、3、4的4个盒子分别放入0、1、2、3个球，再把剩下的14个球分成四组，即这14个球中间13个空当中放入三块隔板，共

9、有C286种，如|即编号为1、2、3、4的盒子分别放入2、5、3、4个球11由数字0,1,2,3,4,5可以组成：(1)多少个六位偶数？(2)多少个能被3整除的五位数？(3)多少个能被5整除的六位数？解：(1)法一：(直接法)要组成六位偶数，个位必须是偶数，可分为两类：个位为0，有A个；个位为2或4，共有C·C·A个. 由分类加法计数原理，共有AC·C·A312个法二：间接法(排除法)先从0,2,4中任选一个排个位，有C种；再让剩下5个数进一步作全排列，有A种. 共有C·A个，其中个位仍为偶数，首位为0的应排除掉，故共有C·AC

10、83;A312个(2)可被3整除的五位数的5个数之和必被3整除，因此，可先挑出这样的五个数：1,2,3,4,5和0,1,2,4,5，然后再排成五位数，共有AC·C216个(3)可被5整除的六位数，个位数为0或5，可分为两类来做：个位为0，有A个；个位为5，有C·A96个由分类加法计数原理，共有AC·A216个12如图所示，某市(A)有四个邻县(B、C、D、E)，现备有5种颜色，问有多少种不同的涂色方式，使每相邻两块不同色，且每块只涂同一种颜色？解：法一：把问题分成三类：第一类，用5种颜色涂，共有A120种涂法；第二类，用4种颜色涂，选色的方法有C种，再选1种颜色涂A有C种方法，剩余的4块涂3种颜色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色，选1组不相邻区域的方法有2种，在余下的三种颜色中选一种颜色涂这不相邻区域有C种方法，最后剩下两种颜色涂2个区域有A种，由分步乘法计数原理，共有C·C·2·C·A240种；第三类，用3种颜色涂，选色方法有C种，涂A时，有C种，涂B、D时有C种，涂C、E时只有一种，由分步乘法计数原理共有C·C·C60种由分类加法计数原理，共