数学奥林匹克初中训练题4

1、数学奥林匹克初中训练题4第一试一、选择题(每小题7分，共42分1.已知A、B两地间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别是1，1，2，2，3，4.现从中任选三条网线且使这三条网线通过的最大信息量的和大于或等于6的方法共有( 种.(A13 (B14 (C15 (D162.设a、b、c是互不相等的任意正数，.则x、y、z这三个数( .(A都不大于2 (B至少有一个大于2 (C都不小于2 (D至少有一个小于23.在凸四边形ABCD中，B=D=90°，AD=DC.若S四边形ABCD=12，则AB+BC=( .(A6 (B4 (C5 (D3 4.已知二次函数f(x=ax2+bx+c的图像如

2、图所示.记p=|a-b+c|+|2a+b|，q=|a+b+c|+|2a-b|.则有( . (Ap>q (Bp=q (Cp、q的大小关系不能确定5.若x1、x2、x3、x4、x5为互不相等的正奇数，且满足(2 005-x1(2 005-x2(2 005-x3·(2 005-x4(2 005-x5=242，则x21+x22+x23+x24+x25的末位数字是( .(A1 (B3 (C5 (D76.如图，在梯形ABCD中，DCAB，过AC与BD的交点作MNAB，点M、N分别在AD、BC上.则AB、DC、MN所满足的关系式是( .(AAB+DC= MN (BAB·DC=MN2

3、(C (D二、填空题(每小题7分，共28分1.如图3所示的数阵的第n行第二个数是 .2.关于x的一元二次方程m2x2+(2m+3x+1=0有两个乘积为1的实数根;关于x的一元二次方程x2+(2a+mx+2a+1-m2=0有一个大于0且小于4的实数根.则a的整数值是 .3.在某届篮球赛事中，小明共打了10场球.他在第6、7、8、9场比赛中分别得23分、14分、11分和20分.他的前9场比赛的平均得分比前5场比赛的平均得分要高.若他所打的10场比赛的平均得分超过18分，则他在第10场比赛中得分的最小值是 .4.如图，O是ABC的外接圆，BC=a，CA=b，且A-B=90°.则O的半径为

4、.第二试一、(20分证明:存在正常数c，使得对所有实数x、y、z，有1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|>c(|x|+|y|+|z|.二、(25分如图5，以锐角ABC的边AB为直径作半圆O交边BC、CA于点E、F.过点E、F分别作O的切线得交点P.求证:CPAB.三、(25分已知二次函数f(x=ax2+bx+c的图像过点A(x1，y1、B(x2，y2，且满足a2+(y1+y2a+y1y2=0.(1证明:y1=-a或y2=-a;(2证明:函数f(x的图像必与x轴有两个交点;(3若关于x的不等式f(x>0的解集为x|x>m或x ， 解关于 x 的不等式 cx 2

5、-bx+a>0. 数学奥林匹克初中训练题4参考答案第一试一、1.C.如图6，依题意，第五、第六条网线必须至少有一条使用.若选择第六条网线，则前五条网线中任若选择第六条网线，则前五条网线中任选两条皆可，共有10种选法;若选择第五条网线，则再选择第四、第三条(3，2，2有1种选法;或从第三、第四条与第一、第二条中分别任选一条(3，2，1有2×2=4种选法，此时，有1+4=5种选法.综上所述，共有10+5=15种选法.2.B.注意到xyz=而a、b、c是互不相等的正数，所以，a+2，b+2，c+2，且等号不能同时成立.因此，xyz>8.故x、y、z中至少有一个大于2.3.B.如

6、图，将DAB旋转到DCK的位置.因为AD=DC，所以，点A必重合于点C.因为B=D=90°，所以，A+C=180°.故B、C、K三点共线.此时，DBK为等腰直角三角形，则SDBK=S四边形ABCD=12.所以，DB=DK=2 .故AB+BC=BK= DB=4 .4.C.由图1知，f(0=c=0，f(1=a+b+c>0，则a+b>0，f(-1=a-b+c=a-b<0.又由a<0且对称轴x=-b/2a>1，得2a+b>0.而2a-b=a+(a-b<0，所以，p=-(a-b+(2a+b=a+2b，q=(a+b-(2a-b=-a+2b.因为

7、p-q=(a+2b-(-a+2b=2a<0，故p 5.A.因为x1、x2、x3、x4、x5为互不相等的正奇数，所1AB+1DC=1MO=22MO=2MN.二、1.n2-2n+3.第n行第二个数为3+3+5+7+(2n-3=2+(1+3+5+7+2n-3=n2-2n+3.2.-1.依题意有m2=1，m=±1，且=(2m+32-4m2=12m+9>0.故m=1.令f(x=x2+(2a+1x+2a，应有f(0f(4=2a(20+10a<0，即a(a+2<0.所以，-2 故 a=-1. 3.29.设前5场比赛的平均分为x，于是，前9场的平均分为.依题意得>x.解

8、得x<17.故前5场比赛的总分至多为5×17-1=84分.设第10场比赛的得分为y，则他所打的10场比赛得分至少为18×10+1=181分.于是，有y+84+68181，即y29.故第10场比赛的得分的最小值为29.4.作O的直径CD，联结DB.因为A=B+90°=B+CBD=ABD，所以，弧CDB=ACD.从而，有弧AC=BD，BD=AC=b.此时，CD=.于是，O的半径为.第二试一、记不等式的左边为M，显然，对任意x、y、z，有M2>(x+y+z2+2|xy+yz+zx|=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx+|xy+yz+zx|x2+y2+z2

9、.而x2+y22|xy|，y2+z22|yz|，x2+z22|xz|，则2(x2+y2+z22(|xy|+|yz|+|zx|.两边同时加上x2+y2+z2，有3(x2+y2+z2(|x|+|y|+|z|2，即 x2+y2+z2 (|x|+|y|+|z|2.故M2> (|x|+|y|+|z|2因此，可取c=/3.二、如图，联结AE、BF得交点Q，显然，点Q为ABC的垂心，有CQAB.延长FP到点K，使PK=PF，联结EF、KE.易知PEF=PFE=EAF.联结PQ并延长交AB于点H.因为EQF=180°-AQF=180°-(90°-EAF=90°+E

10、AF=90°+PEF，K= EPF= (180°-2PEF=90°-PEF， 所以，EQF+K=180°.故K、F、Q、E四点共圆.注意到PK=PE=PF，则P必是该圆的圆心.此时，PQ=PF.于是，PQF=PFQ=PFB=FAB=FAH.故A、H、Q、F四点共圆.此时，PHA=QHA=180°-QFA=90°，所以，PHAB，即PQAB.由式、知C、P、Q三点共线.故CPAB.三、(1由a2+(y1+y2a+y1y2=0，得(a+y1(a+y2=0.解得y1=-a或y2=-a.(2当a>0时，二次函数f(x的图像开口向上，图像上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a<0，所以，图像与x轴有两个交点;当a<0时，二次函数f(x的图像开口向下，图像上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a>0，所以，图像与x轴有两个交点.故函数f(x的图像与x轴有两个不同交点.(3因为ax2+bx+c>0的解集为x|x