数学奥林匹克初中训练题7

1、数学奥林匹克初中训练题7第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.设a1,a2,an表示09的数字,且n+ 1位数乘以2后变为2a1a2an.则n的最小值为( ).(A)15 (B)16 (C)17 (D)182.时钟指在上午9时至10时的某一时刻,这一时刻前2分钟的时针与后2分钟的分针在一条直线上(不考虑重合情形).则这一时刻为( ).(A)9时13分 (B)9时16分 (C)9时12分 (D)9时14分3.五边形ABCDE中,A=C=90°,AB=BC=DE=AE+CD=3.则这个五边形的面积为( ).(A)9 (B)10.5 (C)12 (D)13.54.对于每个x,函数y是

2、函数y1=2x,y2=x+3,y3=-x+3中的最大值.则函数y的最小值为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)65.已知二次函数y=ax2+bx+c开口向下,顶点位于第二象限,且经过点(1,0)及(0,2).则a的取值范围是( ).(A)a<0 (B)a<-1 (C)-2<a<0 (D)-1<a<06.设G是ABC的重心,r是ABC内切圆的半径,点G到边BC、CA、AB的距离分别为GD、GE、GF.令s=.则( ).(A)s> (B)s= (C)s< (D)不能确定二、填空题(每小题7分,共28分)1.将分式写成分母分别为n、n+1、n+

3、2、n+3的四个分式的代数和,结果为 .2.已知a、b为正数,且2a+b=2.则+的最小值为 .3.已知实数a、b满足a2=-1-5a,5b=-1-b2.则的值为 .4.已知AD是ABC的内角平分线,AD的延长线交ABC的外接圆于点E.则AB·AC-BD·DC与AD2的关系是 (填“相等”或“不相等”).第二试一、(20分)求不定方程29a+30b+31c=2 196的正整数解.二、(25分)在凸四边形ABCD中,E、F分别是边AB、AD上的点,EFBD,过点E作EMCD于点M,过点F作FNBC于点N,且EM、FN、AC相交于同一点G.求证:ACBD.三、(25分)在ABC

4、中,已知. 求证: 数学奥林匹克初中训练题7参考答案第一试 一、1.C.利用竖式相乘,如图1,从后向前推.故n的最小值为17.2.D.时钟上有60小格,从刻度12开始将圆周60等分,分针每小时走60小格,时针每小时走5小格,分针转动的速度是时针的12倍.如图,点A、O、B在一直线上,设所求的时刻为9时x分.9时x-2分,时针从A到C,走了小格;9时x+2分,分针从B到D,走了(x+2)-3×5小格.根据题意得AC=BD.所以, =(x+2)-3×5.解得x=14.故这一时刻为9时14分.3.A.如图,延长DC到点F,使CF=AE,联结BE、BD、BF.则DF=DE=3.又B

5、CFBAE,故BE=BF.因为BD=BD,所以,BEDBFD.从而,SBED=SBFD.故S五边形ABCDE=S四边形BEDF=2SBFD=2× DF·BC=9.4.B.如图,函数y1与y2的图像交点为(3,6),函数y2与y3的图像交点为(0,3).由题意及图像知y=-x+3,x<0;y=x+3, 0x<3;y=2x,x3.故y的最小值为3.5.C.由已知可得a<0, -b/2a<0,>0,由a+b+c=0和c=2,得b=-2-a.由a<0和-b/2a<0,得b<0.所以,-2-a<0,即a>-2.而a<0

6、,b<0,c=2满足>0,故a的取值范围是-2<a<0.6.B.如图,AM是BC上的中线,联结BG、CG.则SAGB=SAGC=SBGC= SABC.又SBGC= BC·GD,所以,1/GD= 3a/2SABC.1/GD+1/GE+1/GF=3(a+b+c)/2SABC.注意到SABC= (a+b+c)r,则有1/GD+1/GE+1/GF=3/r.二、1.2.如图,作线段AB=2,点C、D分别在AB的异侧,且CAAB,DBAB,CA=1,BD=2,E是AB上的点.令AE=2a,BE=b.联结CE、DE、CD.由勾股定理得由于CE+DECD,所以,+CD.当点C

7、、E、D在同一条直线上时, +的最小值是CD.此时,ACEBDE.故AE/BE=AC/BD,即2a/b=1/2.于是,b=4a,将其代入2a+b=2,得a=1/3.从而,b=4/3.当a=1/3,b=4/3时,CD= .故+的最小值为.3.- 5±或-23.4.相等.如图,联结BE.由BAE=DAC,E=C,得 ABEADC.所以,ABAD=AEAC,即AB·AC=AE·AD.由相交弦定理得BD·DC=DE·AD.-得AB·AC-BD·DC=AD2第二试一、将原方程变为29(a+b+c)+(b+2c)=2 196, 31(a

8、+b+c)-(2a+b)=2 196. 因为a、b、c是正整数,由方程得29(a+b+c)=2 196-(b+2c)2 196-(1+2×1)=2 193.所以,a+b+c75.由方程得31(a+b+c)=2 196+(2a+b)2 196+(2×1+1)=2 199.所以,a+b+c70.由式、得a+b+c=71,72,73,74或75.当a+b+c=71时,与原方程组合,解得b=5-2a,c=a+66.由b1,得5-2a1.解得a2,故a=1或2.此时,原方程有2组正整数解.同理,当a+b+c=72,73,74,75时,分别可得出原方程有17、33、24、10组正整数解.因此,原方程的正整数解共有2+17+33+24+10=86(组).二、如图.显然,ACD90°且ACB90°,否则EMAC或FNAC.过点D作DQBC于点Q,过点B作BPCD于点P.设直线BP交AC于点H,直线DQ交AC于点H.由EMCD,BPCD,得EMBP,即EGBH.在ABH中,由式得AE/EB=AG/GH.在ADH中,同理可得AF/FD=AG/GH.在ABD中,由EFBD,得AEEB=AFFD.由式、得AG/GH=AG/GH,即GH=GH.所以,点