数学人教版八年级上第十三章13.4 课题学习 最短路径问题

1、13.4 课题学习 最短路径问题 1最短路径问题(1求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点 (2求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ，则点C 是直线l 与AB 的交点 为了证明点C 的位置即为

2、所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ，连接AC ，BC ，B C ，证明AC CB AC C B . 如下：证明：由作图可知，点B 和B 关于直线l 对称，所以直线l 是线段BB 的垂直平分线因为点C 与C 在直线l 上，所以BC B C ，BC B C .在AB C 中，AB AC B C ，所以AC B C AC B C ，所以AC BC AC C B .【例1】 在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小 分析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点解：如图所示：(1作点B 关于直线l 的对称点B ；(2连接

3、AB 交直线l 于点M .(3则点M 即为所求的点点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题 .2. 运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问

4、3利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题【例2】 如图，小河边有两个

5、村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水 (1若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点(2要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A (或B 点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点，与EF 的交点即为所求解：(1如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，1B 的距离相等也

6、可分别以A 、B 为半径画弧，两弧交于两点，过这两2点作直线，与EF 的交点P 即为所求(2如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ，连接A B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短 【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行 ，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？ 思路导引：从A 到B 要走的路线是A M N B ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM BN 最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，

7、MN 即为所建的桥解：(1如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽 (2 连接BC 与河岸的一边交于点N .(3过点N 作河岸的垂线交另一条河岸于点M .则MN 为所建的桥的位置 4生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边 可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO BO AC 的长所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法 【例4】 (实际应用题 茅坪民族中学八(2班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示

8、两直排(图中的AO ，BO ，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 图a 图b解：如图b.(1作C 点关于OA 的对称点C 1，作D 点关于OB 的对称点D 1，(2连接C 1D 1，分别交OA ，OB 于P ，Q ，那么小明沿C P Q D 的路线行走，所走的总路程最短5. 运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法【例5】 如图所示，A ，B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使点C 到点A 、B 的距离之差最大 分析：此题的突破点是作点A (或B 关于直线l 的对称点A (或B ，作直线A B (AB 与直线l 交于点C ，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决解：如图所示，以直线l 为对称轴，作点A 关于直线l 的对称点A ，A B 的连线交l 于点C ，则点C 即为所求理由：在直线l 上任找