教学课题§ 4二重积分的变量变换

1、教学课题：§ 4二重积分的变量变换教学目的：掌握二重积分的极坐标计算公式以及二重积分的变量变换公式教学重点：二重积分的极坐标计算公式，二重积分的变量变换公式教学过程： 21.4.1二重积分的变量变换公式在一元函数定积分的计算中，我们常常进行变量变换，以达删繁就简的目的，当然，二重积分也有变量变换的问题。首先让我们回顾一下前面曾讨论的一个事实。设换元函数，视其为一个由定义域到的映射点的象点为，点x的象点为，记，则由到点的线段长为，到的线段长为，称为映射在点到点的平均伸缩率。若在点处可导，则=即称是映射在点处的伸缩率。对于由平面区域到的映射我们有如下结论：引理  若变换在开区域

2、存在连续偏导数，且雅可比行列式，。变换将平面上开区域变为平面上开区域。，其象点为，则包含点的面积微元及与之相对应的包含点的面积微元之比是，即=下面给出引理的说明，严格的证明从略。由图3。1所示，在内作以点为顶点的矩形,而变换，将分别变为平面上的四点，矩形变为曲边四边形。而曲边四边形的四个顶点的坐标由泰勒公式表示为：+     +：忽略高阶无穷小与，曲边四边形近似平行四边形，其面积=其中是矩形的面积。于是在引理条件下，函数组，在的某邻域具有连续的反函数组 ， 有=于是=。定理21.15 若函数在有界闭区域连续，函数组将平面上区域一一对应地变换为平面上区域，

3、且该函数组在存在连续的偏导数，则=证 用任意分法将区域分成个小区域，其面积分别记为；变换，将分法变为上的分法，将分割成个小区域，其面积分别记为，由引理可知，对于，有于是，在上对应唯一点且，于是 （21.4.1）在定理21.15的条件下，变换在有界闭区域上存在连续的反函数组，他们必在上一致连续，所以当时，必有又注意到函数在的连续性，因而他在上可积，于是令，有=完成定理21.15的证明。在二重积分的计算中，若被积函数为的形式，或积分区域为所谓的圆形区域时，通常采用极坐标变换它能使前者化简为一元函数。后者若为图3.2所示的区域，利用极坐标变换能化为平面上的型区域。则积分=特别，极点在边界上的扇形区域

4、，即，则积分=极点在区域的内部，边界线是的区域，即则积分=例21.4.1 计算   解  作极坐标变换 将圆域D变换为矩形区域，        ，于是得        =。  例21.4.2计算，D是由 和所围的区域。     解  积分区域如图3.5所示，作极坐标变换，则D化为区域，其边界曲线为=，于是得=。例21.4.3其中D是由所围成的平面区域

5、0;解  区域D及如图3.6所示，有=-而=4在极坐标系下，有, 因此=于是=4。例21.4.4计算，其中D是由曲线所围成的有界区域。解由于积分区域D可表示为故替换，则积分区域变为，在极坐标下于是     例21.4.5计算解  由对称性，原积分 其中。作广义极坐标变换：则变换为矩形区域（图3.7）且于是                  

6、60;                  例21.4.6求曲线与所围成区域的面积解由二重积分的性质可知，区域的面积作变换：，则这个变换平面上曲线变为平面上的曲线、变为，于是它将区域变为平面上由和所未成的区域（图3.8 ）。且于是        例21.4.7计算解  作变换：则，将变换为闭圆域，且故由对称性于是例21.4.8计算，是由、和所围成的区域。解  作变换：，则这个变换将变换为平面上的正方形区域（图3.9）。由于且故