教学课题§ 3格林公式—曲线积分与路线的无关性

1、教学课题：§ 3格林公式曲线积分与路线的无关性教学目的：掌握格林公式以及曲线积分与路线的无关的条件教学重点：格林公式，曲线积分与路线的无关性教学过程：21.3.1格林公式当平面上的曲线的起点与终点重合时，称曲线为闭曲线。平面的闭曲线围成的区域，一个人沿闭曲线环行时，若所围成的区域总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线关于区域的正方向。具有正方向的闭曲线记做，具有负方向的闭曲线记做（图4.1）。沿平面闭曲线的第二型曲线积分，记做             &

2、#160;             所谓格林（ 英国数学家）公式给出了平面上沿闭曲线的第二型曲线积分与该曲线所围成的闭区域上的二重积分之间的关系。定理21.11 若函数，以及、在光滑或逐段光滑的简单闭曲线所围成的闭区域连续，则           （21.3.1）（这里所说曲线是简单的，是指曲线除起点、终点重合外，再无其它重合点）证：根据区域的边界闭曲线的形

3、状不同，可分三步证明。如图所示，如果平行于轴（或轴）的直线与闭曲线至多交于两点。设区域的上下边界曲线分别是，且，于是                                    同理，可得     &

4、#160;            于是                    如图所示，根据曲线积分的性质，有                 

5、60;                 而                            于是        &

6、#160;                   同理                 于是    如图所示，用平行于轴和轴的有限直线将区域分成若干个图类型的区域。，因此     &

7、#160;                           将上述等式左、右两端分别相加，由重积分与线积分的性质，有由于，且与是方向相反的同一条线段，故于是此时也有格林公式             成立。  

8、0; 格林公式在复连通域上也成立，见如下推论。    推论：设区域是条光滑或逐段光滑的简单闭曲线，所围成的闭区域。函数、在连续，则            （21.3.2）这里，见图。证：为简便起见，我们只考虑二连通的情形，即的边界为两条简单闭曲线，见图4.6。在复连通区域的外边界与内边界上分别取并引属于的辅助线和将点、和、分别连接起来。此时，由闭曲线：及闭曲线：所围成的区域和是但连通的。于是由定理，在和上格林公式成立。即有将上式左右两边分别相加，得

9、0;                                     这里。对于的内部有条闭曲线情形的格林公式，可用数学归纳法证明。在格林公式中，令，即得可见闭曲线所围成的区域的面积也可用第二型曲线积分表示为    

10、60;                                                 （21.3.3）

11、例21.3.1 计算，其中：。解：由于，均在所围成的闭区域连续，由格林公式，有（在极坐标系下计算）        例21.3.2计算 其中是沿椭圆的上半圆周由到（图）。解：此题可将积分曲线参数化，将线积分化为定积分求解，但计算量很大。另一方面也可利用格林公式，先计算沿闭曲线：的线积分，再算出沿直线：的线积分，即可求出原线积分。由于   在所围成的闭区域上连续，由格林公式，有          而&

12、#160;   于是根据线积分的性质，有                                       例21.3.3 计算，其中是由到的上半圆周（）。解：记，且。为了应用格林公式，在上

13、补充直线段：，构成闭曲线：，所围成的区域为（图），则由格林公式，有               而    于是    例21.3.4计算 ，其中是光滑的，不通过原点的正向闭曲线。解：因为所给闭曲线是平面闭曲线，自然考虑使用格林公式。分两种情况计算。 闭曲线内部不包含原点。由于函数           

14、; 在所围成的闭区域内连续，由格林公式          闭区域内部包含原点。考虑到被积函数分母是，以原点为圆心，作一长、短半轴充分小的椭圆                         ：  使落在的内部（图）。记所围成的闭区域为，则函数 

15、60;       及其便导数在闭区域连续，由多连同域上的格林公式21.3.2有         于是     将曲线参数化，有                        &#

16、160; ：  则有         例21.3.5证明其中是保卫有界区域的光滑闭曲线，是函数在曲线上点处外法线的方向导数，如图所示。证：根据格林公式        这里、是曲线在处切向量的方向余弦。注意到，于是，而      。我们已经知道第二型曲线积分        (21.3.4)   的值.

17、一般不仅与向量函数及曲线C的起终点A、B有关，也与由A到B的路径C有关。例如，曲线积分                           （1）       沿直线由到积分值为；（2）沿抛物线由到积分值为；（3）沿立方抛物线由到积分值为 。另一方面，也有的第二型曲线积

18、分仅与路径C的起终点A、B有关，与路径C的几何形状无关（简称与路径无关）。例如曲线积分取上述（1）（3）的路径分别进行积分，其积分值均为1 。那么在什么样的条件下，第二型平面曲线积分(21.3.4)只与积分曲线的起、终点有关，而与积分曲线的路径无关。下面我们讨论这一问题。定理21.12 若函数、以及偏导数、在单连通区域D连续,则下列命题等价:(1)       曲线积分（21.3.4）与积分曲线的路径无关,即其只与积分曲线的起、终点有关;(2)       是某一函数的全微分

19、，即在D存在一个函数，使           （3） ，；（4）对于D内的任意光滑或逐段光滑的简单闭曲线，有                              证  （1）（2）&#

20、160;  取，将其暂时固定，为D内动点，此时线积分（21.3.4）的值与积分路径无关,它的值将随上限的确定而惟一确定.因而可把积分（21.3.4）作变上限积分  它是上限的一个二元函数,记做,即        (21.3.5)    下面证明 =+ 。为此求和 。由式（21.3.5）可知，在点 处关于的偏增量           

21、60;   =-                  =+-+                  =+由于式（21.3.5）的积分与路径无关，取由点到点沿平行与x轴的直线段，如图5.1所示。此时函数、中的变量保持不变，故 。所以根据

22、式（21.3.5）和积分学中值定理，有=   =再由的连续性,得    =  同理可求                     =  而由，的连续性知, 在D内有连续偏导数,于是在D可微,且            

23、60;       =+故命题(2)成立。此时称函数是+的一个原函数。(2)（3）    根据 =+ ，知   =       于是                     ，由假设、在D连续,知 、

24、在D连续,从而有                =故命题（3）成立。(3)（4）   设是区域D内任意光滑或逐段光滑的闭曲线。有格林公式,有 =其中是闭曲线所围成的区域。命题（4）得证。  （4）（1）    在区域内，任取两条以点为起点，点为终点的光滑或逐段光滑的曲线与（图5.2）。作闭曲线=，于是由（4），有     

25、60;      再由线积分性质=即线积分与路径无关。命题（1）得证。例21.3.6 计算,其中C是沿圆弧从为始点为终点的一段。    解 此题直接按路径C计算很困难，如果设，注意到= 且、在平面上连续，由定理5.1知，该积分与路径无关，可沿折线计算积分（图5.3），于是=（+）  =（+2）+（）=2+例21.3.7计算   ,其中C是沿抛物线 上为始点、为终点的一段，如图5.4 。解  注意到     

26、     =设，且=根据定理21.12，曲线积分与积分路径无关，可取折线为积分曲线（见图5.4）,有=(+)=(+=+=128而   =于是原积分=(128)+=。例21.3.8 设在平面上具有一阶连续的偏导数,曲线积分   与路径无关,并对任意的实数,恒有=求函数。解  由曲线积分与路径无关，知=可得=，而=(+)+=+=而     =+=+=+由假设，有 +=+两端对求导，得=1+ ，=从而所求的函数=  关于复连通区域上的第二型曲

27、线积分与路径的问题我们有如下定理。定理21.13设函数、，、在复连通区域D连续（图5.6）,则沿着D的曲线C的线积分与路径无关的充要条件是:(1) ,    =(2) 沿包围区域的且落在区域D的任意闭曲线的积分                  =证   “”     反证法, 若 D, 使。不妨设 。 根据函数的连续

28、性，,当时,有    ,且,这里是的边界。由格林公式，有      =   显然在上任取两点A ，B，则可见由点A到点B的曲线积分与路径有关，此与假设矛盾。  若存在沿包围的某一闭曲线，曲线积分则在上取两个不同的点、，记沿不同路径由点到点的曲线分别为：和：，则=即     可见由点到点的线积分与路径无关，此与假设矛盾。综上所述，定理的必要性得证。“” A,BD.作D内连结A、B两点的曲线：与：，如图5.7（a）、（b）。 即=，所围成的

29、闭区域为。若=，又=，。根据单连域上的格林公式，有 = 0 ，从而=        （21.3.6）         若= ，即包含在曲线内，由假设（2），得= 0从而由线积分的性质，得=                  （21.3.7）例21.3.9 证明曲线积分&

30、#160;                       =在去掉闭单位圆盘的平面上与路径无关,并求由点到的积分值。证  设= ，= ，则=且、在内均连续。对于任意包围的闭曲线，在内作围绕的圆周：如图5.8所示。由复连通域上的格林公式= 0这里是由和所围成的闭区域。于是=将曲线参数化，有  ：= ， = ，于是

31、，有 = =根据定理5.2，可知曲线积分与路径无关。  取折线，则  =。 在定理21.12的(1)(2)的证明中,我们曾给出原函数的概念,即=,称是的一个原函数.这里我们求第二型平面曲线积分有类似于一元函数定积分的牛顿-莱布尼兹公式.定理21.14若在单连通区域D内函数是的一个原函数,而与是D 内的任意两点,C是D内任意的以为起点、为终点的光滑曲线，则        =证 设曲线C的参数方程为且点对应参数，点对应参数，于是曲线积分=根据已知是的一个原函数，则，从而=   =

32、由定理可知在单连通域上计算第二型曲线积分。若被积表达式有原函数，则归结为求其原函数的问题，那么怎样求原函数呢？根据定理5.3，将在内固定，为内的动点，则=即  =         （21.3.8）  特别若区域如图5.9所示，注意到式（21.3.8）中曲线积分与路径无关，积分曲线可取折线，于是有       =+或沿，有   = +   +C   例21.3.10计算，其中是任一条以为起点、为终点的光滑曲线。     解  令=，=，则