数值分析简明教程0-1 (19)

1、我们很熟悉一次、我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高次方程或超越方程的解法。次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法，这些方法都是代数解法，也是精确法。也是精确法。但在实际中，但在实际中，有许多方程问题无法求出公式解。公式解。例如超越方程tgx+x=00.25+tgx4.8889sinx=0看起来很简单，看起来很简单，却不容易求得精确解。却不容易求得精确解。至于解三次、至于解三次、四次代数方程，四次代数方程，尽管存在着求解公式，尽管存在着求解公式，却不实用，却不实用，而对一般的五次或五次以上的代数方程，对一般的五次或五次以上的代数方程，根本没有求根公式。公式。另一方面，另一方面，在

2、实际应用中，在实际应用中，只要能获得具有预先给定的误差限内的近似值就可以了。先给定的误差限内的近似值就可以了。因此，因此，需要引进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法。进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法。它包括以下三方面内容：它包括以下三方面内容：1根的存在性。根的存在性。方程有没有根？方程有没有根？如果有根，如果有根，有几个根？有几个根？2这些根大致在哪里？这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？如何把根隔离开来？3根的精确化具体求根通常分为两步走，具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，若存在，确定根的某个初始近似值；确定根的某个初始近似值；第二步，第二步，将初始近似

3、值逐步加工成满足精度要求的结果。初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。求初始近似值，求初始近似值，即确定根的大致区间（即确定根的大致区间（a, b），使），使（a, b）内恰有方程的一个实根。内恰有方程的一个实根。这个步骤，这个步骤，叫做根的隔离，隔离，这样的区间，这样的区间，叫做隔离区间。叫做隔离区间。隔离根的方法，隔离根的方法，主要依据以下根的存在定理：主要依据以下根的存在定理：定理1：设函数f (x)在区间a, b上连续，上连续，如果f(a) f(b) < 0，则方程f(x) = 0在a, b内至少有一实根x*。具体做法通常有两种：具体做法通常有两种：1画出略图，画出略图，从而看

4、出曲线与x轴交点的位置。轴交点的位置。2从左端点x= a出发，出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨，步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0+ h的函数值，数值，若f(x0)f(x0+h)0那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，之间，这里可取x0或x0+h作为根的初始近似。根的初始近似。例1：考察方程3f(x)=xx1=0注意到f(0)< 0, f(+)>0，知f(x)至少有一个正的实根。至少有一个正的实根。设从x= 0出发，出发，取h= 0.5为步长向右进行根的扫描，为步长向右进行根的扫描，下表记录各个结点上函数值的符号，下表记录各个结点上函数值的符号，我们发现

5、，我们发现，在区间（1, 1.5）内必有实根，内必有实根，因此可取x0 = 1或x0= 1.5作为根的初始近似值。初始近似值。f(x)的符号00.511.5x-+在具体运用上述方法时，在具体运用上述方法时，步长的选择是个关键。步长的选择是个关键。若步长h足够小，足够小，就可以求得任意精度的根的近似值；但h过小，过小，在区间长度大时，在区间长度大时，会使计算量增大，会使计算量增大，h过大，过大，又可能出现漏根的现象。又可能出现漏根的现象。因此，因此，这种根的隔离法，隔离法，只适用于求根的初始近似。只适用于求根的初始近似。根的逐步精确化的方法，根的逐步精确化的方法，包括二分法、包括二分法、迭代法、

6、迭代法、牛顿法和弦截法。牛顿法和弦截法。我们将在以下几节介绍上述方法，并着重学习迭代法的思想。并着重学习迭代法的思想。首先，首先，假定方程f(x) = 0在区间a, b内有唯一的实根x*。二分法的基本思想，二分法的基本思想，就是将方程根所在的区间平分为两个小区间，间平分为两个小区间，再判断根属于哪个小区间；再判断根属于哪个小区间；把有根的小区间再平分为二，把有根的小区间再平分为二，再判断根所在的更小的区间；小的区间；重复这一过程，重复这一过程，最后求出所要的近似值。执行步骤1计算f(x)在有解区间a, b端点处的值，端点处的值，f(a)，f(b)。2计算f(x)在区间中点处的值f(x1)。3判

7、断若f(x1) = 0，则即是根，则即是根，否则检验：否则检验：（1）若f(x1)与f(a)异号，异号，则知根位于区间a, x1，以x1代替b；（2）若f(x1)与f(a)同号，同号，则知根位于区间x1, b，x1代替a。反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：便可得到一系列有根区间：a, b, a1, b1, , ak, bk, 其中每个区间都是前一个区间的一半，其中每个区间都是前一个区间的一半，因此区间长度为1bkak=k(ba)2显然，显然，二分过程如果能够无限地继续下去，二分过程如果能够无限地继续下去，这些区间最终必收敛于一点x*，该点就是所求的根。该点就是所求的根。由于1xkx(

8、bkak)=bk+1ak+12*1）只要有根区间ak+1,bk+1的长度小于预先给定的误差，那么就可以取xk+11=(ak+bk)2作为所求根x*的第k+1次近似值。次近似值。其误差估计为：其误差估计为：xxk+1*12k+1(ba)综上所述，综上所述，设f(x)在a, b上存在一阶导数且不变号，上存在一阶导数且不变号，如果f(a)f(b)0，则由（则由（1）所知，所知，当k时，|x*-xk|0，即xkx*。二分法求f(x) = 0在a, b上的实根的框图。上的实根的框图例2：求方程f(x)=xx1=03在区间1, 1.5内的实根。内的实根。要求准确到小数点后第2位。用二分法，用二分法，这里a

9、 = 1, b = 1.5，且f(a) < 0，f(b) > 0。取区间a, b的中点x0= 1.25将区间二等分，将区间二等分，由于f(x0)< 0，即f(x0)与f(a)同号，同号，故所求的根必在x0的右侧，的右侧，这里应令a1= x0= 1.25，b1= b = 1.5，而得到新的有根区间a1, b1。对区间a1, b1 再用中点x1= 1.375二分，二分，并进行根的隔离，的隔离，重复步骤2、3；如此反复二分下去，如此反复二分下去，我们预先估计一下二分的次数：次数：按误差估计式xxkbk+1ak+1=*12(ba)k+1解得k= 6，即只要二分6次，即达所求精度。即达所求精度。计算结果如