应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章_第1页
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1、第九章习题解答1.已知矩阵试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。解：2.设是矩阵A属于特征值的特征向量，若，试证明特征值的估计式.解：由 得 3.用幂法求矩阵 的强特征值和特征向量，迭代初值取。解：y=1,1,1'z=y;d=0;A=2,3,2;10,3,4;3,6,1;for k=1:100 y=A*z;c,i=max(abs(y;if y(i<0,c=-c;endz=y/cif abs(c-d<0.0001,break; endd=cend强特征值为11，特征向量为。4.用反幂法求矩阵 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取。解：y=1,1,1'z=y;d=0;A

2、=6,2,1;2,3,1;1,1,1;for k=1:100 AA=A-6*eye(3;y=AAz;c,i=max(abs(y;if y(i<0,c=-c;endz=y/c;if abs(c-d<0.0001,break; endd=cendd=6+1/c最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为。5.设非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘A1=RQ，试证明（1） 若A对称则A1也对称；（2） 若A是上Hessenberg阵，则A1也是上Hessenberg阵。证明：（1），对称（2）A是上Hessenberg阵，用Givens变换对A作正交分解，即显然A1也是上

3、Hessenberg阵。6.设矩阵（1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A的强特征值和特征向量；（2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值；（3）用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。解：（1）A的强特征值为2.6181，特征向量为（2）for i=1:10Q,R=qr(A;A=R*Qend A的特征值为2.6180，0.3820（3），特征值特征向量7. 设矩阵（1）用Householder变换化A为对称三对角阵。（2）用平面旋转阵对进行一步QR迭代计算出。解：（1）(2 8. 用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。解：（1）for k=1:20p=A(3,3;AA=A-p*eye(3;Q,R=qr(AA;A=R*Q+p*eye(3end全部特征值为 4 , 1 , 3(2 全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.2679 9. 设，且已知其强特征值和对应的特征向量，（1）证明：若构造Householder阵H使（常数），则必有其中，且A的其余n-1个特征值就是的特征值。（2）以为例，已知，用以上方法构造H阵，并求出A的第二个特征值。解：（1）构造Householder阵H使即HAH的第一列为, （2）A的第二个特征值为 -3。10.对以下的实对称阵用QR

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