【2019】高中数学第一章导数及其应用1-4生活中的优化问题举例优化练习

1、【2019最新】高中数学第一章导数及其应用1-4生活中的优化1 / 8问题举例优化练习课时作业A 组基础巩固1 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第1温度(单位：C)为f(x)= 3X3x2+ 8(0 xw5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A. 8C. 1D. 8解析：原油温度的瞬时变化率为f(x) =x2 2x= (x 1)21(0wx5)，所以当x= 1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.答案：C以长为 10 的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为()解析：如图，CDEI为半圆O的内接矩形，C D为圆上的动点,连接OC设/CO三a，

2、则CF=5sina ,OF=5cosa ,S矩形CDEF=2x5cosa 5sinan=25sin 2a(0a5).S矩形CDEF的最大值为 25.答案：C3某人要购买 8 件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为()A. 2,6B. 4,4C. 3,5D. 1,7解析：设第一次购买了x件礼物，则第二次购买了8 x件，则付款额f(x) =x3+ (8 3X),x小时，原油2.A.10C. 2520B. 15【2019最新】高中数学第一章导数及其应用1-4生活中的优化2 / 8f(x) = 3x2 3(8 x

3、)2= 3(16x 64),3 / 8令f(x) = 0,得x= 4,当x= 4 时，付款额最省.答案：B4.某公司生产一种产品，固定成本为20000 元，每生产一单位的产品，成本增加1003x元，若总收入R与年产量x(0 xw390)的关系是R(x)=- 丽十 400 x, (0 x 390)，则当 总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A. 150B. 200C. 250D. 30032xx解析：由题意可得总利润P(x) =-900+ 300 x-20 000, 0wxw390,由 P(x)=-赢 + 300 = 0,得x=300.当 0wx0 ;当 300 xw390 时，P(x)0)

4、，贷款的利率为 0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x (0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为()A. 0.032B. 0.024C. 0.04D. 0.036解析： 设存款利率为x， 依题意： 存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,贷款的收益 是 0.048kx,x (0 , 0.048).所以银行的收益是y= 0.048kx-kx(0 x0.048)，由于y =0.096kx- 3kx2，令y= 0 得x= 0.032 或x= 0(舍去)，又当 0 x0;当 0.032x0.048 时，y 0）,y=-2+ 5 令y= 0，得x= 5,或x

5、=X5x55（舍去）.当 0 x5 时，y 5 时，y 0.因此，当x= 5 时，y取得极小值，也 是最小值.故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小.答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h,底半径为R则表面积，S=2nRh+2nR2V由V= nRh,得h=n，贝 yR2,令 S(& =笔+4n R=0,由f (v)= 40v0, 得v= 2030.512J= 2眉，S( R)=2n“2V 门R= 2R+2nV6 / 8即h= 2R因为S（R）只有一个极值，所以它是最小值.所以当罐的高与底直径相等时，所

6、用材料最省.10.用长为 90 cm,宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去 一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为xcm，容器的体积为 Mx)cm3.32则V(x) =x(90 - 2x)(48 - 2x) = 4x- 276x+ 4 320 x(0 x24).22V(x) = 12x-552x+ 4 320 = 12(x- 46x+ 360)=12 (x- 10)(x-36)(0 x24).令 V(x) = 0,得xi= 10,X2= 36(舍去).当 0 x0, 乂x

7、)是增函数；当 10 x24 时，V(x)0,V(x)是减函数；因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x= 10 时取得最大值，其最大值为 VJ0) = 10X(90 -20)X(48 - 20)=19 600(cm3).故当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cmB 组能力提升1横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（）从而h=R2=7t3；4V=2V7 / 8解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x,高为y,由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大.8 /

8、82 2 2 2 2 2Ty=dx,xy=x(dx)(0 xd).令f(x) =x(d2x2)(0 x0 ；当fdvxvd时，f(x)0,因此，当x=d时，f（x）取得极大值，也是最大值.答案：C2.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y= 4x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为（）B.I，撐8eq2解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x,y），其中 0 x0,则另一个在抛物线上的顶点为（一x,y），在x轴上的两个顶点分别为（一x,0） , （x,0）.设矩形的面积为S,则 S= 2x(4 x2)(0 x2),则 S= 8 6x1 令 S= 0,得

9、x=学或3x=（舍去）.当 000；当 竽x2 时，S 0),25022y= x,.x25，由y= 0，得x= 25,当x (0,25)时，y 0,当x (25 ,+)时，y 0, 所以当x= 25 时，y取得最大值.答案：25 件4若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为 _解析：如图，设内接圆柱的底面半径为 R,母线长为I=2rsin0.S侧=2nR I=2nrcos0 X2rsin0 =4nrsin222n由S侧=4nr(cos0 sin0) = 0，得0=当0= 4，即R= r 时，S侧最大，且S侧最大值为 2nr2.答案：2nr25 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的

10、资金用于广告促销经调查，每投 入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t2+ 5t(百万元)(0 t5) (1)若该公司将当年广告费的投入控制在3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技132术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为+x+ 3x(百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(注：收益=销售额-投入资金)解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)=(t2+ 5t) t= t2+ 4t= (t 2)2+ 4(0t 3)

11、故当t= 2(百万元)时，f(t)取得最大值 4 百万元，即投入 2 百万元的广告费时，该公 司由此获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3 x)(百万元)(0 x3)，又设由此而获得的收益是g(x)，则有132213所以a=500_x，l，贝U R=rcos0cos0.211 / 8g(x) = ( -x+x+ 3x) + (3 x) + 5(3 x) 3= -x + 4x+ 3(0 x 3) 3312 / 8 g(x)= -x+ 4.令g(x)= 0,解得x=- 2(舍去)或x= 2.又当 owx0 ；当 2x3时，g(x)0 表示 12 点以后

12、，t0 表示 12 点以前.若测得该物体在 8 点的温度为 8C,12 点的温度为 60C,13 点的温度为 58C,并且该物体的温度在 8 点和 16 点有相同的变 化率.(1) 写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；(2) 该物体在 10 点到 14 点这段时间内(包括 10 点和 14 点)， 在何时温度最高？最高值 是多少？解析：(1)根据题意，得-64a+ 16b-4c+d= 8,即d= 60,8 点和 16 点有相同的变化率，且T= 3at2+ 2bt+c,T( 4) =T(4)，即48a- 8b+c= 48a+ 8b+c.- b=0.将b=0 代入上述方程组中，并进行化简得该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为T=t3-3t+ 60.(2)由(1) ,T() = 3t 3= 3(t 1)(t+ 1)( 2wtw2),令T() = 0,得t= 1.当t变化时，T(t)和T(t)的变化情况如下表：t-2(-2, - 1)-1(-1, 1)1(1,2)2(t)+00+订)=60,T 1= 58,又=a+b+c+d= 58.0=60,a+c=- 2,J6a+c= 13,-a 1a,b= 0,c=