【2019】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-1两角差的余弦公式知识巧解

1、1 / 5【20192019 最新】高中数学第三章三角恒等变换3-13-1 两角和与差的正弦余弦和正切公式 3-1-13-1-1 两角差的余弦公式知识巧解学案两角差的余弦公式疱工巧解牛知识？巧学一、两角差的余弦公式1.推导方法1(向量法)：把COS(a-3)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究如图3-1-2,设a、3的终边分别与单位圆交于点P(cosa,sina),P2(cos3,sin3),由于余弦函数是周期为2n的偶函数，所以我们只需考虑0W a-3 V n的情况.图3-1-2设向量a=OP1=(cosa,sina),b=OP2=(cos3,sin3), 则ab=|

2、 a| b|cos(a-3)=cos(a-3);另一方面，由向量数量积的坐标表示有ab=cosacos3+sinasin3,所以cos(a-3)=cosacos3+sinasin3.于是对于任意的a、3都有上述式子成立图3-1-3推导方法2(三角函数线法)：设a、3、a-3都是锐角，如图3-1-3，角a的终边与 单位圆的交点为P,ZPOP=3,则/POx=a-3；过点P作PMLx轴于M,贝UOM即为a-3的 余弦线.在这里，我们想法用a、3的三角函数线来表示OM过点P作PAOP于A,过点A作AB丄x轴于点B,过点P作PCLAB于点C,贝UOA表示cos3,AP表示sin3，并且ZPACZP 1

3、Ox=a,于 是OM=OB+BM=OB+CP=OAcoAPsina=cos3cosa+sin3sina,即cos(a-3)=cosacos3+sinasin3.2.公式的结构特征2 / 5同餡0的余疲、止戎丄，丄cos(tr-)=costlco!+riiiiZsirT T同角&的余弦、正眩记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反3.两角差的余弦公式C -B的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.已知角a、B的弦函数值，求COS(a-B)的值.由cos(a-B)的展开式可知要求cos(a-B

4、)的值，只需求得a、B的正弦值与余弦值 即可.其中sina、cosa,sinB、cosB都是同角的三角函数关系.(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题女口由cos50cos20+sin50sin20 能 迅 速 地 想 到3 / 5方法归纳 若所求角能用已知角表示出来， 则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值cos50cos20+sin50sin20=cos(50- 20)=cos 30误区警示典题？热题 知识点一和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(2a B

5、)半cosa cosB例1已知已知角a、_15sina-,17的三角函数值，求 (,n),求cos(2思路分析:由于】是特殊角，根据3兀cos( -3解：/sin1517兀( ,n)，cos2cos(a-B)的值a)的值.3a)的展开式，只需求出cosa的值即可.a = - 1 - sin $-1 - ( )2V 1717JI.cos( -a3)=cos cosa+sin sin31(_电)山理15 3-82172173412a =13思路分析：由cos(例2已知sin3cosB=一一5-B)的展开式可知要求cos(a-B)的值，还需求出cosa、sinB.B均为第二象限角，求cos(a-B)

6、.解:a为第二象限角，- cosa=-H - sin o = -、h_()51313又由cosB=-35cos(a-B)=cosacosB+sinasinB=(A)(鸟僅46313513 565由sina窪,13B为第二象限角，sin4 / 5表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键例3求函数y=cosx+ .3sinx的周期、最值及取得最值时x的集合.思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值所以所求周期为2n.当x- =2kn,kZ,即x|x= +2kn,kZ时，ymax=2;3 32-JT同理，可知当x|x=- +2kn,kZ时，ymin=-2.334例4已知cosa+c

7、os3 =_,sina+sin3 =，求cos(a-3)的值.55思路分析：由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关, 方后即可构造出同名的三角函数之积的形式34解：将cosa+cos3=-,sina+sin3 =的两边分别平方并整理，得55229.2216cosa+cos3+2cosacos3=，sina+sin3+2sinasin3 =.25251把上述两式的两边分别相加，得2+2(cosacos3+sinasin3)=1,即cos(a-3)=一.2方法归纳要牢记C“-3的展开式的特点，着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键知识点二 利用两角差的余弦公式证明三角恒等式 例5利

8、用差角余弦公式证明下列等式：(1) cos(n-a)=-cosa ；3兀(2) cos(-a)=-sina.2思路分析：直接利用差角余弦公式展开，利用特殊角的三角函数值化简证明 证明：(1) cos(n-a)=cosncosa+sinnsina=-cosa+0sina=-cosa;3兀3兀3兀(2) cos(-a)=cos cosa+sin sina=0cosa-1sina=-sina.22 2例6证明3cosa+sina=2cos(- a).6思路分析：由于右边是我们熟悉的两角差的余弦形式，所以可从展开右边入手，把复角的三角函数转化成两单角的三角函数的形式证明：T右边=2(cos cosa+

9、sin sina)=3cosa+sina=左边，6 6原式成立.知识点三逆用两角差的余弦公式化简三角函数式例7化简下列各式：(1)cos(a+3)cosa+sin(a+3)sina ;(2)cos50cos20+cos40sin20解:y=cosx+3sinx=2(1, 3cosx+sin x)=2(cosxcos2nnn+sinxsin )=2cos(x-).333根据条件，将其平5 / 5思路分析：逆用两角差的余弦公式化简的关键是观察题目的特点, 式，转化成两角差的形式逆用公式求值是一种常见思路解：原式=COS(a+3)-a=COS3；(2)原式=cos50cos20+sin50sin20

10、=cos(50方法归纳通过对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐步学会如何根据题设与结论的特点选择公式、变形公式，从而找到两者间的联系是我们学习的关键，为此可从角的角度、函数名称的角度及式子结构形式的角度入手去分析解决问题问题？探究思想方法探究问题 在三角恒等变换中，角的变换是解决问题的有效手段，在本节当中，角有哪些变换方法？在解题中如何应用？探究过程：角的代换的实质是根据解题的需要灵活处理角的形式，也就是将单角、倍角的形式变成几个角的和或差，而这些角的和或差在题目中已知，如：若a、3均为锐角，且111一cosa=一,COS(a+3)=，求COS3的值如果展开COS(a+3)进行运算则烦琐难解

11、，714但若利用3=(a+3)-a代换，也就是COS3=cos(a+3)-a,则解法十分简便，大大 降低问题的难度探究结论：本节涉及角的以下几种变换， 在以后解题中常常见到， 请你多加注意常见的角的 代换关系有：a=(a+3)-3；a=3-(3-a)；3=(a+3)-a；2a=(a+3)+(a-3)；23=(a+3)-(a-3) 等方案设计探究问题 在自然界中，存在着大量的周期函数，研究这些周期函数有利于我们在科学技术中加以应用两个周期函数合成后，是否还是周期函数？如果是周期函数，那么函数的类型是否fHH发生了改变？比如两个正弦电流i1=、3sin(100nt+ )和i2=sin(100nt-

12、一)合成后是否仍36是正弦电流呢？类似地，两个声波和光波合成后又是怎样的？探究思路：利用现代信息技术作一研究，可以按下面的程序进行操作，也可以设计其他的研 究方案1.上网搜寻并安装绘图软件；2.分别选取不同的函数y=asinx+bcosx，猜想你所选取的y=asinx+bcosx的化简后的类型，再利用绘图工具绘制出其图象，并与y=as in x+bcosx的图象对比；3.尝试确定猜测的该类型函数中的参变量与y=asinx+bcosx中a、b的关系，得出asinx+bcosx的化简公式；4尝试采用不同的方法证明得出的结论，并说明与其相关联的三角变换公式之间的联系；5利用结论求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅、周期、初相L兀JT探究结论：由于两电流分别为i1= , 3 sin(100nt+ ),i2=sin(100nt-一),36litn将它们相加后，可以写成i=i1+i2=.3sin(100nt+ _)+sin( 100nt-),36利用正弦的和角公式Sa+3)，可得到从整体出发，利用诱导公-20)=cos306 / 5i= . 3 (sin100JInt