【2019】高中数学第二章平面向量2-2平面向量的线性运算例题与探究

1、1 / 4【2019 最新】高中数学第二章平面向量 2-2 平面向量的线性运算例题与探究典题精讲例 1 已知向量 a、b,比较| a+b|与| a|+| b|的大小.思路解析：因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向解：(1)当 a、b 至少有一个为零向量时，有 | a+b|=| a|+| b| ;当 a、b 为非零向量且 a、b 不共线时，有| a+b| | a|+| b| ; 当 a、b 为非零向量且 a、b 同向共线时，有| a+b|=| a|+| b| ; 当 a、b 为非零向量且 a、b 异向共线时，有| a+b| | a-b| | a|-| b| ;(三角形

2、两 边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量表示)当 a, b 为非零向量，且a, b 同向共线时，| a|+|b| | a+b|=| a|-|b| ;当 a, b 为非零向量，且a, b 异向共线时，| a|+|b|=| a+b| | a|-|b|.答 案：|a|+| b| | a- b| | a|-| b|, 结 合 | a|+| b| | a+b| | a|-| b| 因此有|a|+| b| |a b| | a|-| b|.例 2 化简下列各式：(1)PB OP OB；211(2): (4 a-3 b)+b- (6 a-7 b):.334思路分析：对于(1),可以利用三角形法则对

3、向量进行分解；对于(2)利用向量线性运算的运算法则化简.解：(1)PB+OP+OB=PO+OB+OP+OB(PB=PO+OB) =PO+OP+OB+OB=0+2OB=2OB.211(2): (4 a-3 b)+ b- (6 a-7b):3342137=(4 a-3 b+ b- a+ b)33242317=(4-) a+(-3+ )b323 4=2(5ab)3 212511=a- b.318绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则, 两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子另一方面可以把任何一个向量用2 / 4变式训练（2006 全国高考卷I,理 9）设平

4、面向量 ai、a2、a3的和 ai+a2+a3=0.如果向量 bi、b2、 b3,满足|bi|=2| ai|，且 ai顺时针旋转 30后与 bi同向，其中 i=1,2,3 ，则（）A.- bi+b2+ b3=0B.bi-b2+b3=0C.b 计 b2- b3=0D.bi+b2+b3=0思路解析：向量 ai、a2、a3的和 ai+a2+a3=0.向量 ai、a2、a3顺时针旋转 30后与 bi、b2、b3冋向，且 | bi|=2| ai| , bi+b2+b3=0.答案：D例 3 已知两个非零向量 ei和 e2不共线，且 kei+B 和 e 计 ke2共线，求实数 k 的值.思路分析：因为 ke

5、i+e2和 ei+ke2是共线向量，所以一定存在实数入，使得 kei+e2=入（ei+ke2）成立解：/ kei+e2和 ei+ke2共线，.存在实数 入，使得 kei+e2=入（ei+ke2）.（k -入）ei=（入 k-i）e2./ei和 e2不共线，k 人=0 k= i.k -1.L绿色通道：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于 k 的方程，用待定系数法解决问题.变式训练 若 3m+2n=a, m-3n=b，其中 a、b 是已知向量，求 m n.思路分析：此题可把已知条件看作向量m n 的方程，通过方程组的求解获得m n.解：记 3 叶 2n=am-3 n=b3X，

6、得 3m-9 n=3b.-，得 iin=a-3 b.i3-n= a-b.ii ii32将代入，有 m=b+3n= a+ b.ii ii例 4 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度和船实际速度 .思路分析：本题要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.解：如图 2-2-6 ,OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸方向行驶的速度，OC表示船的实际速度，/ AOC=30 ,|OB|= 5 km/h图 2-2-63 / 4/四边形 ABCD 为矩形,4 / 4A AA2A3A3A4二AiA4IOA|=

7、|AC|cot30 =5.3,|OC|= I / Jo.cos30A3AsAI等于什么？对于平面上不共线的四点A1、A、A、A上述结论是否成立？AA2A2A3人傀九人/人AA等于什么？导思：求多个向量的和，需要连续使用三角形法则，这也可以看作是应用了多边形法则.对向量求和的多边形法则应明确： （1）多边形法则适用于两个或两个以上的向量和的计算，三角形法则是多边形法则的特殊情形； （2） n 个向量的和的结果仍是一个向量； （3 ）法则的要 领是“头尾相接，头是头，尾是尾”，与向量加法的三角形法则相同探究：由平行四边形法则可知AA2 A2A3二AAs,-AA2AA3A3A1=0.类似的，根据向量

8、求和的多边形法则有5 / 4即AA2A2A3A3A4AA4=0.对这个结论的更一般的形式，即 n 个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了,即AA2 A2A3 A3A4AnAn AnAi=0.问题 2 三人夺球的游戏的规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜现有甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，均为a N,试探究丙需要多少力量小球才静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球有可能静止吗？导思：互为相反向量的两个向量的和为0,在物理中可以理解成两个力的合力为0.解决本题首先要审好题，能从题目中提炼出数学模型，进而利用数学知识解决，这是解决文字题或应 用题最关键的一个环节探究：本题主要考查向量加法法则及相反向量的定义设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为 a、 b、 c,根据题意， 可知 a、 b、 c 三个向量两两夹角为 120,可先计算 a+b,由于| a|=| b|，易求| a+b|=|c|，且 a+b 平分