自由度与广义坐标ppt课件

1、约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标一、问题的提出一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统与非自由系统。分成自由系统与非自由系统。 17 17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于自由质点或自由质点系动力学。要问题是属于自由质点或自由质点系动力学。 十八世纪产生了刚体动力学问题，也就是说十八世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了约束质点系的动力学问题。提出了约束质点系的动力学问题。 今天大量工程实际问题作初步分析时，仍然今天大量工程实际问题作初步分析时，仍然可以将其作为非自由系统

2、建模，并采用经典力学方法可以将其作为非自由系统建模，并采用经典力学方法加以解决。加以解决。 研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广义坐标的概念。自由度与广义坐标的概念。二、约束二、约束l1 1、约束概念、约束概念l约束就是限制物体任意运动的条件。约束就是限制物体任意运动的条件。l不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系, ,l受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。系。l刚体静力学研究约束刚体静力学研究约束, , 是探究约束的原因是探究约束的原

3、因-约约束力束力 l 运动学研究约束运动学研究约束, ,是探究约束的结果是探究约束的结果-运动运动的限制的限制l 2 2、独立坐标、位形空间、约束方程的概念、独立坐标、位形空间、约束方程的概念 (1) (1) 坐标坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。 (2) (2)位形位形 对于由对于由n n个质点组成的自由质点系，则需要个质点组成的自由质点系，则需要3n3n个独立坐个独立坐标，这标，这3n3n个的坐标集合称为质点系的位形。个的坐标集合称为质点系的位形。

4、 (3) (3)约束方程约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t t之之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程。为约束方程。3、约束的分类、约束的分类如果限制运动的条件仅是几何性质的，则称为几何约束。如果限制运动的条件仅是几何性质的，则称为几何约束。xylOAz单摆:2222lzyx曲面上的质点：xyzM0),(zyxf（1几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束几何约束约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：0),(111 nnnjzyxzyxf1 2( j,

5、,s)运动约束运动约束CCvxy几何约束0 rx运动约束ryC纯滚动的圆轮： 如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为运动约束。运动约束。约束方程的一般形式约束方程的一般形式0),(111111 nnnnnnjzyxzyxzyxzyxf1 2( j, ,s)（2定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束定常约束当约束方程中都不包含时间当约束方程中都不包含时间t时，时，这种约束称为定常约束。这种约束称为定常约束。定常几何约束xylOAz非定常几何约束若约束方程中明显包含时间若约束方程中明显包含时间t，这种约束就称为非定常几何约束。

6、这种约束就称为非定常几何约束。v20222vtlzyx约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：0),(111111 nnnnnnjzyxzyxzyxzyxf0),(111111 tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnj（3完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数即质点系中各约束方程中不包含坐标对时间的导数即质点系中各质点速度的投影的约束，称为完整约束。质点速度的投影的约束，称为完整约束。 约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的形式的约束称为非完整约束。形式的约束称为非完整约束。1位移约束位移约束-全部几何

7、约束全部几何约束2运动约束可积分运动约束可积分-如纯滚动的圆轮如纯滚动的圆轮;运动约束不可积分运动约束不可积分-碰撞系统碰撞系统,摩擦系统等。摩擦系统等。约束方程的一般形式为：约束方程的一般形式为：sj, 2 , 10) ;,(111nnnrzyxzyxf0) ;,;,(111111nnnnnnrzyxzyxzyxzyxfsj, 2 , 1（4 4单面约束与双面约束单面约束与双面约束双面约束：在约束方程中用严格的双面约束：在约束方程中用严格的等号表示的约束。等号表示的约束。xylOAzOA为刚性杆：2222lzyx单面约束：在约束方程含有不等号单面约束：在约束方程含有不等号表示的约束。表示的约

8、束。OA为柔绳：2222lzyx约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：0,111111tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnj00,111111 或tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnjn个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：0);,;,(111111tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnr(r=1,s)约束方程的个数为：s4 4、约束方程、约束方程静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。本教材研究：定常、双面、完整约束。三、广义坐标、自由度三、广义坐标、自由度自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参

9、变量个数自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数平面质点平面质点:, snk 2空间质点空间质点:,3snk广义坐标：广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量 ),(21tqqqxxkii ),.,(21tqqqyykii),(21tqqqzzkii ),(21tqqqrrkii i=1,2, nkqq,q 21n个质点，一般地：自由度为k， 取广义坐标：1 1、基本概念、基本概念自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数.与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标.2、刚体的自由度、刚体的自由度

10、 设刚体由n个质点组成，这个质点组成的不变系统可以设想由n个质点用很短很短的刚杆连成的空间不变形的刚性结构。36n 可以算出连接质点的刚杆数为：63 ns 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：63snk自由度数为：2.自由刚体的自由度自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：66)(43（刚杆数）质点数k此后每增加一个质点就增加3根刚杆。36n 连接质点的刚杆数为：63 ns 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：63snk自由度数为： , n43.自由刚体的广义坐标自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标000,zyx和欧拉角,或卡

11、尔丹角,自由刚体的广义坐标。组成的6个独立参变量就是它们被用于描述刚体的位形。 4.受约束刚体的自由度受约束刚体的自由度 设刚体数为n，那么 k = 6n -S 4 4、约束刚体的自由度与广义坐标、约束刚体的自由度与广义坐标 约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。,00yx000,zyx四四 实例实例: :机构如图机构如图, ,轮轮C C作纯滚作纯滚0;0;ooxy; sin2 ;CCxryH rH OA ABrcos ;sin ;AAxOAyOAcoscos ;sinsin ;BBxOAAByOAAB3.3.约束方程约束方程( (在点在点O O 建立直角坐标建立直角坐标) )1.1.刚体数目刚体数目 3; 3;2.2.定轴转动刚体定轴转动刚体 OA ; OA ;平面运动刚体平面运动刚体 AB AB及轮及轮C ;C ;结论结论:8个约束方程个约束方程4.广义坐标广义坐标8;s 5.自由度计算自由度计算3*31ks广义坐标数为 :3n-s=1, 即:自由度约束方程数qq或刚体数n=3选广义坐标为选广义坐标为:自由度恒等于广义坐标数自由度