级数与序列的基本性质ppt课件

1、 Department of Mathematics第一节第一节 级数和序列的基本性质级数和序列的基本性质(2)(2)复变函数项级数复变函数项级数设fn(n)(n=1,2,),在复平面点集E上有定义，那么：.)(.)()(21zfzfzfn是定义在点集E上的复变函数项级数，记为，或)()(1zfzfnnn设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，此级数都收敛于f(z)，那么我们说它在E上收敛于f(z)），或者此级数在E上有和函数f(z)，记作),()(1zfzfnn复变函数序列设),.(),.,(),(21zfzfzfn是E上的复变函数列，记作 或 。1)(nnzf)(zfn设函数 在E

2、上有定义，如果在E上每一点z，)(z序列 都收敛于 ），那么我们说此序列在E上收敛于 ），或者此序列在E上有极限函数 ，记作)(zfn)(z)(z)(z),()(limzzfnn注解：注解1、复变函数项级数 收敛于f(z)的 定义可以叙述为：)(zfnN有时使得当, 0, 0NnN注 解 2 、 复 变 函 数 序 列 f n ( n ) 收 敛 于 的 定义可以叙述为：.| )()(|1zfzfnkk)(zN有时使得当, 0, 0NnN.| )()(|zzfn一致收敛 如果任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当 时，有0EzNn,)(NN .| )()(|zzfn.|

3、)()(|1zfzfnkk或那么我们说级数 或序列 在E上一致收敛于f(z)或 ）。)(zfn)(zfn)(z注解：注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：柯西一致收敛原理复变函数项级数）：复变函数项级数 在E上一致收敛的必要与充分条件是：任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当 ，p=1,2,3,时，有0)(NN EzNn,.| )(.)()(|21zfzfzfpnnn)(zfn柯西一致收敛原理复变函数序列）：复变函数序列fn(n)在E上一致收敛必要与充分条件是：任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当时，有注解：0)(NN

4、 EzNnm,.| )()(|zfzfmn注解：注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法M-判别法）：设在复平面点集E上,.)2 , 1)(nzfn有定义，并且设.21naaa是一个收敛的正项级数。设在E上，)(zfn,.),2 , 1( | )(|nazfnn那么级数 在E上一致收敛。定理1、2：定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上fn(n)(n=1,2,),连续，并且级数 或序列 在E上一致收敛于f(z)或 ，那么f(z)或 在E上连续。)(zfn)(zfn)(z)(z定理2.2 设在简单曲线C上fn(n)(n=1,2,),连续，并且级数 或序列fn(n)在C上一致

5、收敛于f(z)或 ，那么)(zfn)(z或,)()(1CnCndzzfdzzf.)()(CCndzzdzzf注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：设函数序列,.)2 , 1)(nzfn在复平面C上的区域D内解析。如果级数)(zfn序列fn(n)在D内任一有界闭区域或在一个紧集上一致收敛于f(z)或 ，那么我们说此级数或序列在D中内闭或内紧一致收敛于f(z)或 。)(z)(z定理3：定理2.3魏尔斯特拉斯定理设函数,.)2 , 1)(nzfn在区域D

6、内解析，并且级数 或序列fn(n)(zfn在D内闭一致收敛于函数f(z)或 ，那么f(z)或)(z 在区域D内解析，并且在D内)(z或, )()(1)()(nknkzfzf,.).3 , 2 , 1(),(lim)()()(kzfzknnk定理3的证明级数）：证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理, 0)()(1nCnCdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是110)()(nknzzzf定理3的证明级

7、数）：对于 一致收敛于 。由定理2.2，我们有Kz10)()(kzzzf,)()(21)()(2111010nKknKkdzzzzfidzzzzfi也就是,.)3 , 2 , 1( , )()(1)()(kzfzfnknk因而，定理中关于级数的部分证明结束。定理3的证明序列）：对于序列，我们也先证明 在D内任一点z0)(z取它的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理, 0)(lim)(lim)(CnnCnnCdzzfdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见 在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因而 在D内解析。)(z)(z其次，设U的边界即圆K也在D内，于是10)()(knzzzf定理3的证明：对于 一致收敛于 。由定理2.2，我们有Kz10)()(kzzzdzzzzfidzzzziKknnKk1010)()(lim21)()(21也就是dzzzzfiKknn10)()(21lim,.).3 ,