【2020】高中数学第一章三角函数章末复习课学案新必修4

1、1 / 12 教学资料范本 【2020】最新高中数学第一章三角函数章末复习课学案新 人教 A版必修 4 编辑： _ 时间： _ 2 / 12 第一章三角函数 章末复习课 提纲挈领复习知识y 整合网络构建 警示易错提醒 1. 关注角的概念的推广 (1) 由于角的概念的推广，有些术语的含义也发生了变化.如小于 90 的角 可能是零角、锐角或负角. (2) 注意象限角、锐角、钝角等概念的区别和联系，如锐角是第一象限角， 但第一象限角不一定是锐角. 3 / 12 2. 确定角所在象限的关注点 由三角函数值符号确定角a的象限时，不要忽视a的终边可能落在坐标轴 上，如 sin a 0 时，a终边在第三、四

2、象限或 y 轴负半轴上. 3. 关注正切函数的定义域 正切函数 y = tan r n x 的定义域为 ixR xMk n+2，kZ：不可写为 x| XM k 360+ 90 , k Z. 有关正切的公式(同角三角函数商关系，诱导公式)应用时有限制条件. 4. 平方关系应用的关注点 由平方关系 sin2a+ cos2 a= 1 ,开方后求另一个三角函数值，易错的地方 是未对角所在象限进行讨论. 5. 正确应用诱导公式 n (1) 明确诱导公式的基本功能：将 k 2 a (k Z)的三角函数值化为a的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用. (2) 熟悉应用口诀解题，一方面注意函数名称，另一方面

3、注意符号的变化. 6. 关注三角函数的定义域、值域 (1) 解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即1 sin x 1， K cos x 0)的单调区间，先 研究正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的相应单调区间，再把其中的“ x”用“ 3 x + ”代替，解关于 x 的不等式即 可求出所求的单调区间，但要特别关注 A 勺正负. (2) 正切函数只有单调递增区间无单调递减区间. 4 / 12 总结归纳专题突破5 / 12 专题一三角函数的概念 三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧 度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌

4、握任意角的正弦、余弦、正切 的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函 数线求三角函数的定义域. 例 1 设角 a 属于第二象限，COS =一 COS -2，试判定 角属于第几象限. (2)求函数 y = ” 3tan x +“ 3 的定义域. n 解: (1)依题意得2 k n + 2 a 2k n+n (k Z)， 所以 kn+；v；vkn + 2(k Z). 当 k = 2n(n Z)时，；为第一象限角； a 当 k = 2n+1(n Z)时，2为第三象限角. a a 十、 a 又 cos = cos 0，所以 cos 0. 所以;应为第二、三象限角或终边落在

5、X 非正半轴上或 y 轴上. 综上所述，2 是第三象限角. 所以 kn n wxvkn + ；，所以函数 y = 3tan x + 3 的定义域为 cx kn 6= x 0，即 tan 6 / 12 1 由a所在象限，判断笔 角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义， 用数形结合的方法确定；的所属象限；另一种方法就是将 k 进行分类讨论. 2 求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解 题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域. 变式训练 若B为第四象限的角，试判断 sin (cos 0) cos(s in 9 )的符号； (2)已

6、知角a的终边过点 P( 3 cos 9，4cos n 、 9 )，其中9 1-2，冗卜求a的正切值. n n 解： 因为9为第四象限角，所以 0cos 9 12， 2 1s 9 0，cos(sin 9 )0， 所以 sin(cos 9) cos(sin 9 )0. 因为9 忖，n，所以 cos 9 0， 所以 r = x2 + y2= 9cos2 9 + 16cos2 9= 5cos 9， x 3 cos 厂 5, tan 专题二同角三角函数的基本关系与诱导公式 在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中 的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“

7、 1 的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简 ，求值时，要注意正负号的选取. 故 sin =y=_ 4 r 7 / 12 9 sin 9 )的值.例 2 已知 1 + tan 9 n ) (2 n 9 ) =4，求(sin 9 3 cos 9 ) (cos 8 / 12 ” 、 r 2+ tan 0 解：法一：由已知 i tan 0 =-4, 0 = 4(1 tan 0)，解得 tan 0 = 2, 3 cos 0 )(cos 0 sin 0 )= 843 1 4+1 5 、亠一丄片 2+ tan 0 法一：由已知 1 tan 0 - 4, sin 0 解得 ta

8、n 0 -2,即 cos 0 -2, 所以 sin 0 -2cos 0 , 所以(sin 0 3cos 0 )(cos 0 sin 0 ) (2cos 0 3 cos 0 )(cos 0 2 cos 0) cos2 0 1 1 sin2 0 + cos2 0 - tan2 0 +1 - 5. 归纳升华 三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式 及诱导公式解题中的常用技巧有：（1）弦切互化，减少或统一函数名称；（2） “ 1”的代换，如：1 sin 2 a + cos? a （常用于解决有关正、余弦齐次式的化简 求值问题中），1 -tan : 4 k n 等；（3）若式子

9、中有角 2 ， k Z,则先利用诱导公式化简. 变式训练已知 tan a - 2,求下列各式的值： 1 （1） - 2 3 2 （2）2sin a qSin a cos a + 5cos a . 所以 2+ tan 所以（sin 0 4sin 0 cos 2 2 0 sin 0 3 cos 0 = 4sin 0 cos 0 sin2 0 3cos2 0 4tan 0 tan2 0 3 - - - - sin2 0 + cos2 0 tan2 0 +1 2 cos 0 9 / 12 sin2 a sin a cos a cos2 a 10 / 12 K 亠 sin2 a + C0S2 a tan

10、2 a +1 (1)原式sin2 a sin a cos a cos 2 a tan2 a tan a 1 3 2sin2 a qSin a cos a + 5cos2 a Sin2 a + cos2 a 3 2tan2 a n a +5 tan2 a +1 2X 4 2+5 4+1 专题三三角函数的图象及变换 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体 现在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及 通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质. 例 3函数 y = Asin( wx+ )的部分图象如图所示，贝叽 解: 4+1 4 5. 11 / 12

11、 A. y = 2 sin 2x-6 B y = 2 sin C. y = 2 sin x+ 扌 D y = 2 sin ix+ 才 T 冗 解析：由图象知2= 3 =，故 T= n，因止匕3= = 2. 2 12 / 12 又图象的一个最高点坐标为 i 3， 2 ，所以A= 2,且 2X 3 +=2k n + ； n n II (k Z)，故 =2k n(k Z)，结合选项可知 y = 2s in 2xgJ-故选 A. 答案：A 归纳升华 人 ymax- ymi n yma 灶 ymin 2 n 出“工 A= 2 , k 2 , 3 = T，由五 n 3 点作图法”中方法令3 x += 0,

12、 2 , n , 2 n或2 n求 . 2 图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应. X 变式训练 函数 y = sin 2 的图象沿 x 轴向左平移n个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是 ( II =cos 2x 的图象，它的一个对称中心是(n , 0). 答案：B 专题四三角函数的性质 三角函数的性质，重点应掌握 y = sin x, y= cos x, y = tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数 y = Asin( 3 x + ) , y = Acos( 3 x+ )及 y = Atan( 3 x + )的相关性质.在研 究

13、其相关性质时，将3 x +看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技 巧. 1 求解析式的方B.( n ,0 A. (0,0 13 / 12 X 解析：函数 y= sin 2 的图象沿 x 轴向左平移n个单位长度后得到函数 y 二 sin 2 (x+ n) 14 / 12 ( n、 例 4 已知函数 f(x) =2 sin 2x+百|+ a+ 1(其中 a 为常数). (1) 求 f(x)的单调区间； -n 1 若 x 0, 2时，f(x)的最大值为 4,求 a 的值； (3)求 f (x)取最大值时 x 的取值集合. 解：(1)由一 2 + 2k n 2x + W ? + 2k n , k

14、 Z,解得3 + k n x + kn , k Z,所以函数 f (x)的单调增区间为 一 ；+k n , 6 +k n 3 2 (k Z)，由 2 + 2k n W2x + W ? +2k n , k Z,解得 + k n WxW 3 + k n , k Z, 所以函数 f (x)的单调减区间为|-6 +k n , 3- +k n (k Z). (2) 因为 OW xw寺，所以-6W2x + 6W 冒, 1 ( n、 所以一产 sin 2x+ W 1, 所以 f(x)的最大值为 2+ a+ 1 = 4,所以 a= 1, (3) 当 f (x)取最大值时，2x + = 2 +2k n , 所以

15、2X = 3 +2k n，所以 x = + k n , k Z. 所以当 f(x)取最大值时，x 的取值集合是 r 、 cx x=言 +k n , k Z r. 归纳升华 1. 形如 y= Asin( co x + ) + k 单调区间求法策略：可把“ co x +”看作一 个整体，代入正弦函数的相应区间求解. 2. 求形如 y = Asi n( o x + ) + k 的值域和最值时，先求复合角“ o x +” 的范围，再利用 y= sin x 的性质来求解. 15 / 12 变式训练(20 xx 安徽卷)设函数 f(x)(x R)满足 f(x + n ) = f(x) + sin x，当

16、0W x n 时，f (x) = 0,则 f A.1 B.导 C0 D - - 1 解析：因为 f (x+2 n ) = f (x + n ) + sin( x + n ) = f (x) + sin x- sin x = f(x)，所以 f (x)的周期 T= 2 n , 5 n ) 又因为当 0W xn时，f(x)二 0,所以 f - 0, I 6 丿 即 f K+ n 戶 f K+ sin 0， l 6 丿l 6丿 i 6丿， (八 1 所以f5 尸 2， 空彳冗、j： n 、上n 、 1 所以f k 尸f (n 瓦尸f6 r 2 答案：A 专题五转化与化归思想 化归思想贯穿本章的始终，

17、 在三角函数的恒等变形中， 同角关系式和诱导 公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常 把函数 y = Asin( 3 x+ )化归为简单的 y= sin x 来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法. 1 (n 2、 例 5 求函数 y = 2sin &xJ 的单调区间. 1 (2 n、 解：将原函数化为 y = sin gx壬丿 由 2k n n 2 n n 2 w 3x 4 2kn +2(k Z)， 得 3 n 3 9 ；n x 3k n+；n (k Z)，此时函数单调递减. 8 8 由 2k n n 2 n 3 9 21 + yw孑W2kn

18、 + ?n (k Z)，得 3k n + n wx3k n +8 n (k Z)，此时函数单调递增.16 / 12 故原函数的单调递减区间为 3kn点冗，3kn+叮冗 (k Z), 单调递增区间为-|3k n + 8n , 3kn + n (k Z). 二归纳升华 1 求形如函数 y = Asin( 3 x + ) , ( 3 sin a ， a + n 2f( a )结合 得 sin a 2COS a ,所以 f( 7t )+f+ 2 sin a cos a 变式训已知函数 f( a ) tan ( a + n ) sin ( a + n ) (1)化简 f( a )； . n 1 5 n 3 n 亠 n 右 f ( a ) f+T 丿8，且 Z 三 a ，求 f ( a ) +