数列多选题专项训练(讲义及答案)含答案

1、一、数列多选题一n 2an1 .(多选题)已知数列an中，前n项和为Sn ,且& an,则的值不可能为 3an i()A. 2B. 5C. 3D. 4答案：BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案.【详解】 解：;，,时，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2.的最大值为3.故选：BD.【点睛】本解析：BD【分析】an2利用递推关系可得1，再利用数列的单调性即可得出答案.an 1n 1【详解】即 n n 2解：: Sn an,3n 2 时,n 2 n 1an Sn Sn 1 an -a n 1 ,33化为:ann 1 12n 1 n 1由于数列 一2一单调递减，n

2、 1一,一2 一可得：n 2时，取得最大值2.n 13.a .一 .的最大值为an 1故选：BD.【点睛】 本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.已知数列an的前n项和为Sn Sn 0 ,且满足3n 4&iSn 0(n 2),为二，则4下列说法错误的是()1A.数列 an的前n项和为Sn 4nB.数列 an的通项公式为an 4n(n 1)1，,C.数列 an为递增数列D.数列 一为递增数列Sn答案：ABC【分析】数列的前项和为，且满足，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，时，进而求出.【详解】数列的前项和为，且满足，,化为：，:数列是等差数列

3、，公差为4,，可得解析：ABC【分析】数列an的前n项和为Sn( Sn10),且满足 an 4Sn 50( n 2) , a1,可得:411Sn Sn1 4Sn 1Sn 0,化为：-Sn Sn 14,利用等差数列的通项公式可得Sn , n 2 时，anSnSn 1114n 4 n 114n n 1【详解】数列an的前n项和为Sn(Sn 。)，且满足小4Sn 1Sn 0(n11， Sn Sm 4SmSn 0,化为：丁丁 4, Sn Sn 1一 1一、,斗二数列 一 是等差数列，公差为 4,11一 4 4 n 1 4n,可得 Sn 一Snn 4nn 2 时，anSn Sm114n 4 n 114n

4、 n 1an14(n 1)(n4n n 12)对选项逐一进行分析可得，A, B, C三个选项错误，D选项正确.故选：ABC.【点睛】11，本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为 4 ,进而求得其它性Sn Sn 1质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题 223.(多选)在数列an中，若anan1 P(n 2,n N ,p为常数)，则称an为 等方差数列”.下列对 等方差数列”的判断正确的是()A.若an是等差数列，则 an是等方差数列 nB. 1是等方差数列C. 2n是等方差数列.D.若an既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义

5、，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A,若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B,数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可【详解】2222对于A，右an是等差数列，如an n ,则an an 1 n (n 1) 2n 1不是常数，故an不是等方差数列，故 A错误；n .22n 2n 1 2对于B,数列 1 中，an an 1 ( 1) ( 1) 0是常数，( 1)是等方差数列，故B正确；2d 2对于C，数列2中，a2 a212n2n 13 4n1不是常数，2不是等方差数列，故C错误；对于D,

6、 ； an是等差数列，an an 1 d ,则设% dn m ,an是等方差数222列，an an i an an i d dn m dn d ma d 2d n (2m d)d 是常数，22故2d2 0,故d 0,所以(2m d)d 0, an an1 0是常数，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差 数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.4.在等差数列 an中，公差d 0,前n项和为Sn,则()A. a4a6al a9B.S130 , SI40 ,则 a7 a82一C.若SS15,则Sn中的最大值是S12D.若Sn n

7、 n a ,则a0答案：AD【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和，进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及解析：AD【分析】对于A,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B,根据等差数列的前 n项和公式得到a7 0和27 a8 0,进而可得a8 0,由 此可知|a7 | | a81 ,故B不正确；对于C,由S9 S5得到，a12 a13 0,然后分类讨论d的符号可得答案；对于D ,由Sn求出an及a1，根据数列 a 为等差数列可求得a 0.【详解】对于 A,因为 a4a6 a1a9 (

8、a1 3d)(a1 5d) a1 (a1 8d) 15d2 ,且 d 0 ,所以a4a6 a1a9 15d2 0,所以a4a6,故A正确； 对于 B,因为 S13 0, S14 0,所以 13(a7 a7) 13a7 0,即 a7 0,214(a7%)27( a7 ag) 0 ,即 a7a80,因为a70,所以0 ,所以| a71 | a81 a7 a8 0 ,即 |a7 11a81,故 B 不正确；对于C ,因为S9S15,所以a10a11a14 a15 0 ,所以 3(a12 a13) 0 ,即a12 a13 0,当d 0时，等差数列an递增，则a12 0, a13 0 ,所以Sn中的最小

9、值是2,无最大值；当d 0时，等差数列an递减，则a120,a13 0,所以Sn中的最大值是S12 ,无最小值，故C不正确;2对于 D ,右 & nn a ,则aSia , n 2 时，22an Sn Sn 1 nn a (n1)(n 1) a 2n2,因为数列 an为等差数列，所以ai 2 1 2 0 a ,故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式是解题关键.5 .已知递减的等差数列an的前n项和为Sn, S5 $7,则()A. a6 0B. S6 最大C. S13 0D. S11 0答案：ABD【分析】转化条件为，进而可得，再结合等差数列的性质及前n

10、项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，故 A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误解析：ABD【分析】转化条件为a6 a7 0,进而可得a6 0 , a7 0 ,再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为 S5 S7,所以 S7 S5 0,即 a6 a7 0 ,因为数列 an递减，所以a6 a7,则a6 0, a7 0,故A正确；所以S6最大，故B正确；所以 S13 a1 a1313 13a7 0,故 C 错误；2所以a1 a11H 11a6 0,故D正确.2故选：ABD.6 .已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1 0,2a5 I

11、 a” = 0,则()A, a8 0B,当且仅当n= 7时，Sn取得最大值C. S4 s9D,满足Sn 0的n的最大值为12答案：ACD【分析】由题可得，求出可判断A;利用二次函数的性质可判断B;求出可判断C;令，解出即可判断D.【详解】解得,设等差数列的公差为，则, ，且，对于A,故A1E确；对于B,的对称解析：ACD【分析】由题可得a1 6d , d 013dn ,求出2a8 d0可判断A;利用二次函数的性质可判断B；求出S4,&可判断C;令Snd n2213dn20,解出即可判断D.设等差数列an的公差为d ,则2%a)iai +4d+4+10d* ai-n n 10, d 0,且 Sn

12、 na1+213dn2对于a8a1+7d6d 7d d对于Sn值，故2B错误；13d n的对称轴为n213一,开口向下,26或7时，Sn取得最大对于C, S4-2168d 26d18d , S981詈 918dMS4S9 ,故C正确;对于D,令Sn13dn213,故的最大值为12,故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列Snn n 1na1+d2dn是关于n的二次函数,2当a1与d异号时，Sn在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当a1与d同号时，Sn在n 1取最值.7.已知数列an的前n项和为Sn, Snn2 5n,则下列说法正确的是（）B. an 0A. an为等差数列21

13、C. Sn最小值为D. an为单调递增数列4答案：AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对 A, B, D进行判断，对进行配方可对 C进行判 断【详解】解：当时，当时，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为 2的等差数列，因解析：AD【分析】S,n 1利用an求出数列的通项公式，可对 A, B, D进行判断，对Sn Sn1,n 22Sn n 5n,进行配万可对 C进行判断【详解】解：当 n 1 时，a Si 1 54,当 n 2 时，an Sn Sn 1 n2 5n (n 1)2 5(n 1) 2n 6,当n 1时，a14满足上式，所以 2n 6,由于an an 12 n 2 ,

14、所以数列an为首项为 4,公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以an为单调递增数列，所以 A, D正确，B错误，o5 o 25由于Sn n 5n (n -)，而n N+,所以当n 2或n 3时，Sn取最小值，24且最小值为 6,所以C错误，故选：AD【点睛】此题考查an,Sn的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n项和的最值问题，属于基础题 28.已知数列an满足：a1 3,当n 2时，an Jan 1 1 11 ,则关于数列4说法正确的是()A. a28B.数列an为递增数列_2G数列an为周期数列D. an n 2n答案：ABD【分析】由已知递推式可得数列是首

15、项为，公差为 1的等差数列，结合选项可得结果【详解】得，一，即数列是首项为，公差为1的等差数列， ,得，由二次函数的性质得数列为递增数歹I,解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列Jan 1是首项为 g 1 2,公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 2 2 an 向 1 1 11 得 an 1 值11 1,4 1 Jan 1 1 1 ,即数列内 1是首项为Ja 1 2,公差为1的等差数列， 7a 2 (n 1) 1 n 1,2an n 2n,得a2 8 ,由二次函数的性质得数列an为递增数列，A. a60所以易知ABD正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项

16、公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属 于中档题.9.设等差数列an的前n项和为8,公差为d.已知a3=12, S120, a70, a7V0,利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a70, a60.再利用 a3=a1+2d= 12,可得 d0.利用 S13= 13a7V0.可得Sn0, a7V0,利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a70, a60,再利用a3=ai+2d =12,可得24一 vdv- 3. ai0.利用 Si3= 13a7 0,可得 &0.7至w 12时，13时，0.进而判断anananan出D是否正确.【详解】12 a6 a?- S120, a70, a1+6

17、dv0.a6+a70, a60.2a1+11d0, a1+5d0,又. a3 = a1+2d= 12,24 d0.7S3=13a1a13213a70, 7而W12时，1对，0.ananananSn对于：7前W12时，一0,但是随着n的增大而减小；an0, anSn但是随着n的增大而减小，可得： *0,但是随着n的增大而增大.an，n=7时，Sn-取得最小值. an综上可得：ABCD都正确.故选：ABCD.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.10.公差为d的等差数列 an ,其前n项和为Sn , S11 0, S12 0,下列说法正确的有 ()A.d 0B.a70C.Sn中S5最大D.a4a9答案：AD【分析】先根据题意得，再结合等差数列的性质得，中最大，即：.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，由于，所以，所以，中最大，由于，所以，即：解析：AD【分析】先根据题意得aian0,aia