合情推理与演绎推理

1、合情推理与演绎推理目标要求 ：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简 单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用 .2.了解演绎推理的重要 性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 .3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异考查角度 合情推理 1（2014 ·课标全国卷 ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A， B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为 解： 由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市 ”，说明甲去过 A

2、，C 城市，而乙没去过 C 城市，说明乙去过城市 A ，由此可知，乙去过的城市为 A.【答案】 A2（2013 ·陕西高考 ）观察下列等式：（11）2×1，（21）（22）22×1×3， （31）（32）（33）23×1×3×5，照此规律，第 n 个等式可为 解：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每第 1 页 共 22 页个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持致，其中左边连乘式中第二个加数从 1开始，逐项加 1 递增，右边连 乘式中从第二个乘数开始，组成以 1为首项， 2为公差的等差数列，

3、项数与第几等式保持一致，则照此规律，第 n 个等式可为 （n 1）（n 2)(nn)2n×1×3×× (2n1)【答案】 （n1）（n2）（nn）2n×1×3×× （2n1）3（2013 ·湖北高考 ）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第 n 个三角形数为 n n21 21n212n.记第 n 个 k 边形数为 N（n，k）（k3），以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数1 2 1 N(n,3)2n22n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n

4、,5)23n212n，六边形数N(n,6)2n2n，可以推测 N（n，k）的表达式，由此计算 N（10,24） .解：由 N（n,4）n2，N（n,6）2n2n，可以推测：当 k 为偶数 kk时，N（n，k） 21 n2 22 n，于是 N（n，24）11n2 10n.故 N（10,24） 11× 10210×10 1 000.答案】 1 000第 2 页 共 22 页命题规律预测 命题规律从近几年的高考试题看， 对本节内容的考查主要体现在以下两个方 面：1. 对归纳推理的考查是命题的热点，对类比推理的考查相对较弱2. 题型主要以填空题的形式出现，难度中高档考向预测预测 2

5、016 年高考仍将以考查归纳推理和类比推理为主，估计试题 难度稍大，对学生的数学能力的考查是重点考查方向 .考向一 归纳推理x【例 1】 (2014 ·陕西高考 )已知 f(x)1x，x0，若 f1(x)f(x)， 1xfn1(x)f(fn(x)，nN，则 f2 014(x)的表达式为 由 fn1(x) f(fn(x)分别求出 f2(x)，f3(x)，然后观察 f1(x)，f2(x)，f3(x)中等式的分子与分母系数间的关系，猜想 f2 014(x)的表达式xxx1 xx1 2xx1 x1 3x12x解：f1(x) x ，f2(x)x x ，f3(x) x1x1 x 12x1x由数学

6、归纳法得 f2 014(x)12 014x【答案】xf2 014(x)12 014x第 3 页 共 22 页 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要 细心观察， 寻求相邻项及项与序号之间的关系， 同时还要联系相关的 知识，如等差数列、等比数列等(2) 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳对点练习 如图 11-2-1 所示，一个质点在第一象限和坐标轴上运动， 在第 一秒钟内它由原点运动到点 (0,1)，然后按图中所示在与 x轴、y 轴平 行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么 2 000 秒后，这个 质点所处位置的坐

7、标是 ( )图 11-2-1A (44,25)B(45,25)C (25,45)D(24,44)【解析】 质点到达点 (1,1)处，走过的单位长度是 2，接下来质 点运动的方向与 y 轴方向相反；质点到达点 (2,2)处，走过的单位长度是 6 24，接下来质点运动的方向与 x 轴方向相反；第 4 页 共 22 页质点到达点 （3,3）处，走过的单位长度是 12 246，接下来质 点运动的方向与 y 轴方向相反；质点到达点 （4,4）处，走过的单位长度是 2024 68，接下 来质点运动的方向与 x 轴方向相反；猜想：质点到达点 （n，n）处，走过的单位长度是 2462n n（n 1），且 n

8、为偶数时，接下来质点运动的方向与 x 轴方向相反； n 为 奇数时，接下来质点运动的方向与 y 轴方向相反所以 2 000 秒后是 指该质点到达点 （44,44）后，继续移动了 20 个单位，由图中规律可得 该质点沿与 x 轴相反的方向前进了 20 个单位，即该质点所处位置的 坐标是 （24,44）【答案】 D考向二 类比推理【例 2】 （1）（2014 郑·州模拟 ）已知数列 an为等差数列，若 am a，anb（nm1，m，nN*），则 amnnbma.类比等差数列 an nm的上述结论，对于等比数列 bn（bn>0，nN*），若 bm c， bn d（n m2，m，nN*

9、），则可以得到 bmn .（2）（2014 南·昌模拟 ）在平面上，若两个正三角形的边长为 12， 则它们的面积比为 1 4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱 长比为 1 2，则它们的体积比为 第 5 页 共 22 页(1)类比等差和等比数列的性质求解；(2)类比平面图形与空间图形的内在联系求解解：法一anam b a： 设数列 an 的公差为 d1，则 d1nm nmb a bnam 所以 am namnd1 an· n m nm类比推导方法可知：设数列 bn的公比为 q，由 bnbmqnm 可知n法二：设数列 an的公差为 d1，数列 bn的公比为 q，在等差数列中

10、， an a1 (n1)d1，在等比数列中， bn b1qn1，所以 bm nnbma因为 am nnm(2)两个正三角形是相似三角形，它们的面积比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体， 体积比为相似比的立方，它们的体积比为 18.n m dn答案】 (1)cdm (2)18第 6 页 共 22 页类比推理的分类及处理方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法：(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题 时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入 手，提出类比推理型问题， 求解时要认真分析两者之间的联系与区别， 深

11、入思考两者的转化过程是求解的关键；(3) 类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把 这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移对点练习 在平面上，设 ha、hb、hc是三角形 ABC三条边上的高， P为三 角形内任一点， P 到相应三边的距离分别为 Pa，Pb，Pc，我们可以得 到结论： PhaPhb Phc1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为 ha hb hc解： 设 ha，hb，hc，hd分别是三棱锥 ABCD 四个面上的高， P为三棱锥 ABCD 内任一点， P 到相应四个面的距离分别为 Pa，Pb，Pc，Pd.【答案】Pa Pb Pc Pd 1 hahbhch

12、d考向三演绎推理【例 3】n2 数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1 n于是我们可以得到结论：PaPbPcPd1hahbhchd1第 7 页 共 22 页Sn（nN*），证明：（1） 数列 Snn 是等比数列；（2）Sn14an.按照“三段论 ”的模式给予求解n2证明： （1）an 1Sn1Sn，an1 n Sn，（n2）Snn（Sn1 Sn），即 nSn12（n1）Sn.Sn 1Sn故 2 ·nn（小前提 ）n1n故 Snn 是以 2 为公比， 1 为首项的等比数列 （结论 ）（大前提是等比数列的定义，这里省略了 ）Sn1Sn1（2）由（1）可知4 ·

13、（n2），n 1n1Sn 1n12Sn1 4（n1） · 4 ··Sn14an（n2）（小前提 ）n1n1又a23S13，S2a1a21344a1，（小前提）对于任意正整数 n，都有 Sn14an.（结论 ） 演绎推理的结构特点：（1）演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论， 它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个 判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判 断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，揭示了第 8 页 共 22 页 一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论（2）演绎推理的

14、前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找 准正确的大前提一般地， 若大前提不明确时，一般可找一个使结论 成立的充分条件作为大前提对点练习 如图 11-2-2所示，D，E，F分别是 BC，CA，AB上的点， BFD A，且 DEBA.求证： EDAF（要求注明每一步推理的大前提、 小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来 ）图 11-2-2证明： （1）同位角相等，两条直线平行， （大前提）BFD 与A 是同位角，且BFDA，（小前提 ） 所以 DFEA.（结论 ） （2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形， （大前提 ） DEBA 且 DFEA，（小前提 ） 所以四边形 AFDE

15、 为平行四边形 （结论 ） （3）平行四边形的对边相等， （大前提 ）第 9 页 共 22 页ED 和 AF 为平行四边形的对边， （小前提 ）所以 EDAF.（结论 ）上面的证明可简略地写成：BFDA? DF EA? 四边形 AFDE 是平行四边形 ? ED DEBAAF.【例】 （2014·临沂模拟 ）如图 11-2-3 所示，坐标纸上的每个单元 格的边长为 1，由下往上的六个点： 1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对 应数列 an（ nN）的前 12项（即横坐标为奇数项， 纵坐标为偶数项 ）， 按如此规律下去，则 a2 013 a2 014a2 015 等于（）A1 00

16、5B1 006C1 007D2 015解：观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半，奇 数项的值有正负之分第 10 页 共 22 页则 a4n3n，a4n1 n，a2nn.此处在求解时常因找不出 a4n3与 a4n1的关系，导致结论错误又 2 0134×5043,2 0154×504 1，a2 013 504， a2 015 504，a2 0141 007，a2 013a2 014a2 015 1007.【答案】 C(1)正确书写数列 an的前 n 项，为归纳探索项与项间的关系作出铺垫(2)仔细观察数列 an 中各项的特征，明确 “a2nn，a4n3a4n1 0”是

17、解题的关键所在对点练习 (2014·荆州模拟 )如图 11-2-4 是网络工作者经常用来解释网络 运作的蛇形模型：数字 1 出现在第 1 行；数字 2,3出现在第 2 行；数 字 6,5,4(从左至右)出现在第 3行；数字 7,8,9,10出现在第 4 行，依次 类推，则(1)按网络运作顺序第 n行第 1个数字(如第 2行第 1 个数字 为 2，第 3 行第 1个数字为 4，)是；(2)第 63 行从左至右的第 3 个数字应是 第 11 页 共 22 页图 11-2-4解： 设第 n 行的第 1 个数字构成数列 an ，则 an1ann，且 n2n2a11，an 2 ，而偶数行的顺序

18、从左到右，奇数行的顺序从 右到左，第 63行的第 1个数字为 1 954，从左至右的第 3个数字是从 右至左的第 61个数字，从而所求数字为 1 954602 014.答案】n2n222 0141下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A 某校高三有 8个班， 1班有 51人，2班有 53人，3班有 52 人，由此推测各班人数都超过 50 人B由三角形的性质，推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱 形的对角线互相平分11D在数列 an 中，a11，an2(an1)，由此归纳出 an 的2an 1第 12 页 共 22 页通项公式解： A、D是归纳推理， B是类

19、比推理； C 运用了“三段论”是演绎推理【答案】 C2观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x) sin x，由归纳推理 可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导 函数，则 g( x)()Af(x)B f(x)Cg(x)D g(x)解：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数f(x)f(x)，f(x)是偶函数，从而 g(x)是奇函数g(x)g(x)【答案】 D3正弦函数是奇函数， f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x) sin(x21)是奇函数，以上推理 ()A 结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D 全不正确解：f(x)si

20、n(x21)不是正弦函数，上述推理过程中小前提不正确【答案】 C4通过圆与球的类比，由“半径为 R 的圆的内接矩形中，以正 方形的面积为最大，最大值为 2R2”猜想关于球的相应命题为 ( )第 13 页 共 22 页A 半径为 R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最 大值为 2R2B半径为 R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最 大值为 3R3C半径为 R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最 大值为 4 93RD半径为 R 的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最 大值为8 93R3解：正方形类比到空间的正方体， 即半径为 R 的球的内接六面体 2R 中，以正

21、方体的体积为最大，此时正方体的棱长 a 3，故其体积是 2R3 38 93R3.故选 D.【答案】 D 合情推理与演绎推理练习一、选择题1如图 11-2-5 是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁 所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 ( )图 11-2-5解：该五角星对角上的两盏花灯依次按顺时针方向亮两盏， 故下第 14 页 共 22 页一个呈现出来的图形是 A.【答案】 A2数列 2,5,11,20,32，x，中的 x 等于（）A 28B32C33D47解：由数与数间的关系，我们发现相邻两数间依次相差 “3,6,9,12,15，”故 x321547.【答案】 D3观察下

22、列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是 （ ）An（n1）（n2） （3n2）n2Bn（n1）（n2）（3n2）（2n1）2Cn（n1）（n2） （3n1）n2Dn（n1）（n2） （3n1）（2n1）2解：由前四个等式我们发现第 n 个等式左边共有 2n 1 项，故为 n（n1）（3n2）（2n1）2.【答案】 B4定义一种运算 “*：”对于自然数 n 满足以下运算性质：（1）1（ ）A n Bn1 Cn1 Dn2第 15 页 共 22 页解：由(n1)*1n*11，得 n*1(n1)*11(n2)*121【答案】 A1 5(2014 

23、3;银川模拟 )当 x(0， )时可得到不等式 xx2，xx x42x22x x2 23，由此可以推广为 xxpnn1，取值 p等于()A nn Bn2 Cn Dn11 4 x x 2解： x(0，)时可得到不等式 x1x2，xx422x2x x 23，在p 位置出现的数恰好是不等式左边分母 xn的指数 n的指数 次方，即 pnn.【答案】 A6(2014 ·长春模拟 )类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对 于给定的两个函数：S(x)axax，C(x) axax，其中 a>0，且 a1，下面正确的 运算公式是 ( ) S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)； S(xy)S

24、(x)C(y)C(x)S(y)； 2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A B C D 解： 经验证易知错误依题意，注意到 2S(x y)2(axy axy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有 2S(xy) S(x)C(y)第 16 页 共 22 页C(x)S(y)；同理有 2S(x y)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选 B.【答案】 B二、填空题7(2014 ·陕西高考 )观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中 F

25、， V，E 所满足的等式是 解：观察分析、归纳推理观察 F，V，E 的变化得 FVE2.【答案】 FV E28(2014 ·安徽高考)如图 11-2-6，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC 2 2，过点 A 作 BC 的 垂线，垂足为 A1，过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3；，依此类推，设 BAa1，AA1a2，A1A2a3， A5A6 a7，则 a7.图 11-2-6解： 根据题意易得 a1 2，a2 2 ，a31，an 构成以 a1 2，q的等比数列，第 17 页 共 22 页a7a1q62× 22 614.

26、1【答案】 149二维空间中圆的一维测度 （周长 ）l 2r ，二维测度 （面积）S r2，观察发现 Sl；三维空间中球的二维测度 （表面积 ）S4r2，三 4维测度 （体积）V43r3，观察发现 V S.则四维空间中“超球”的四 维测度 W2r4，猜想其三维测度 V .解：由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数 类比上述结论， “超球 ”的三维测度是四 维测度的导函数，即 VW（2 r4）8r3.【答案】 8r3三、解答题10（2012 ·福建高考 ）某同学在一次研究性学习中发现， 以下五个 式子的值都等于同一个常数： sin213°

27、cos217° sin 13 c°os 17 ；°sin215°cos215°sin 15 c°os 15 ；° sin218° cos212° sin 18 c°os 12 ；° sin2（18°）cos248°sin（18°）cos 48 ；° sin2（25°）cos255°sin（25°）cos 55 . °（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现

28、推广为三角恒等式，并 证明你的结论解： （1）选择式，计算如下：第 18 页 共 22 页sin215°cos215°sin 15 c°os 15 °12sin 30 °4.3(2)归纳三角恒等式 sin2cos2(30°)sin cos(30 °)4.证明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30 °)1cos 2 1 cos 60°2 2 2sin (cos 30 cos° sin 30 sin° )1 1 1 1 3 22cos 222(cos 60 c

29、76;os 2sin 60 s°in 2) 2 sin cos 12sin1 1 1 1 3 3 1 22cos 224cos 2 4 sin 2 4 sin 24(1 cos 2)3.4.114cos 21441cos 24 4 411（2014 ·阜阳模拟 ）在 RtABC中， ABAC，ADBC于 D， 111求证： A1D2A1B2A1C2，那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你 能得到怎样的猜想，并说明理由证明： 如图所示，由射影定理AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC， 1 1AD2BD·DCBC2 BC2 .BD·BC·DC·BCAB2·AC2.第 19 页 共 22 页又 BC2AB2 AC2，1 AB2 AC2