2020年中考数学二轮重难题型突破一新定义型

1、精品文档666类型一新定义型例1、对任意一个三位数n,如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为 相异数将一个 相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新 三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+ 321 + 132 = 666, 666+111 = 6,所以F(123) = 6.(1)计算：F(243), F(617);(2)若s, t都是 相异数"，其中s= 100x+ 32, t=150+y

2、(1咏wg 1y<9, x, y都是正整数)， 规定：k= 器，当F(s)+F(t)=18时，求k的最大值.【解答】解：(1)F(243) = (423 + 342 + 234)勺11 = 9;F(617)= (167+716+671) 411=14.(2) .s, t 都是 相异数"，s=100x+32, t=150 + y,.F(s)= (302 + 10x+ 230 +x+ 100x+ 23)勺11 = x+ 5, F(t)= (510 + y+ 100y +51+105 + 10y) -411 = y+6. .F(t)+F(s)=18, -x+ 5+ y+6= x+ y

3、+ 11=18,x+ y= 7.1 1 <x& 9, 1 <y< 9,且x, y都是正整数,x= 1 x= 2c或或y= 6 y= 5x= 37或y= 4x=4fc或 y=3x= 5y=2x= 6y=1. s是相异数 ，xW2, xW3.t是相异数 .ywi, y*x= 5y=2'x= 1x= 4c或c或y= 6y= 3F(s) = 6 T F(s) = 9- F(s) =10F(t) = 12 F(t)= 9 F(t) =8F(s)F(t)F(s)F(t)F(s) =5F(t) 4,5 .k的最大值为4.例2、如图1,在正方形 ABCD的内部，作/ DAE

4、= Z ABF=Z BCG=Z CDH ,根据三角形全等的条件，易得DAE0ABF0BCG0CDH,从而得到四边形 EFGH是正方形.类比探究如图2,在正4ABC的内部，作/ BAD = Z CBE=Z ACF, AD, BE, CF两两相交于 D, E,F三点(D, E, F三点不重合)(1) AABD, ABCE, CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明.(2) ADEF是否为正三角形？请说明理由.(3)进一步探究发现，4ABD的三边存在一定的等量关系，设 BD=a, AD = b, AB=c,请探索a, b, c满足的等量关系.【解答】解：(DABDBCEZ CAF;理由如下:

5、.ABC是正三角形， .Z CAB = Z ABC = Z BCA=60°, AB=BC, . /ABD = /ABC / 2, Z BCE = Z ACB-Z 3, /2=/3, ./ ABD = Z BCE,/ 1 = / 2在 ABD 和 ABCE 中， AB= BC/ ABD = / BCEABDA BCE (ASA);(2)ADEF是正三角形；理由如下： ABDA BCEA CAF, ./ ADB = Z BEC = Z CFA, ./ FDE = Z DEF = Z EFD , . DEF是正三角形；(3)作AGXBD于G,如图所示：. DEF是正三角形,ADG = 60

6、°,在 RtADG 中，DG = 1b,AG = 3b,在 RtAABG 中,c2= a+1b 2 + 苧b 2 ,.c2=a2+ab+b2.1例3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=1x与kky=-(kO)的图象性质. x1k小明根据学习函数的经验，对函数y=G与y=，当k>0时的图象性质进行了探究.kx下面是小明的探究过程：(1)如图所示，设函数 y=1x与y=k图象的交点为A, B,已知A点的坐标为(一k, 1), k x则B点的坐标为;(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N

7、.求证：PM=PN.证明过程如下：设Pm,m，直线PA的解析式为y=ax+b(awQ.ka+ b= 1则k ,ma+ b=一 mb=直线PA的解析式为请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.当P点坐标为(1, k)(kwi)时，判断4PAB的形状，并用k表示出4PAB的面积.【解答】解：(1)由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称,.A点的坐标为（一k, 1）,，B点的坐标为（k, 1）.故答案为：（k, 1）.（2）证明过程如下，设 P mA，直线PA的解析式为ka + b = 1则k ,ma + b= my= ax+ b(awQ .解得:1 a= mb1m 1k，

8、直线PA的解析式为y=mx+m-1当 y = 0 时，x= m k,，M点的坐标为（mk, 0）.过点P作PH，x轴于H ,如图1所示,P点坐标为m，m ,1 H点的坐标为（m, 0）,MH = xh xm = m (m k)= k.同理可得：HN = k.MH = HN,.PM = PN.故答案为:1a = 一mk ；b =yx+ -1.m m由可知，在 4PMN中，PM = PN,. PMN为等腰三角形，且 MH=HN=k.当P点坐标为（1, k）时,PH = k,.MH = HN=PH,.Z PMH=Z MPH =45°, Z PNH = Z NPH =45°,MPN

9、 = 90°,即/ APB=90°,. FAB为直角三角形.当k>1时，如图1,S/ PAB=S/ PMN-S/ OBN+ S/ OAM,11, 1= 2MN . PH ON . yB+20M .以|,1八一 1 . 1 ,=2X2kxk 2（k+ 1） X + 2（k 1） M,= k2- 1;当0vkv1时，如图2,sA PAB = SA OBN 一 SA pmn + SA OAM ,= 20N . yB-k2+10M . |yA|,= 2（k+ 1） >1-k2+-（1 -k） M,= 1-k2.例4、问题呈现：如图1,点E、F、G、H分别在矩形 ABCD

10、的边AB、BC、CD、DA上，AE = DG ,求证：2s四边形EFGH=S矩形ABCD. （ S表不'面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图 1中AH汨F,点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点 A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1clD1.如图2,当AH>BF时，若将点G向点C靠近（DG>AE）,经过探索，发现：2 S 四边形EFGH = S矩形ABCD + S矩形A1B1clD 1 .如图3,当AH>BF时，若将点 G向点D靠近（DGvAE）,请探索S四边形efgh

11、、S 矩形ABCD与S矩形AiBiCiDi,之间的数量关系，并说明理由.迁移应用：请直接应用 实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4,点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH>BF, AE>DG, S四边形 EFGH =11, HF = 429，求 EG 的长.（2）如图5,在矢I形 ABCD中，AB=3, AD = 5,点E、H分别在边 AB、AD上，BE=1, DH=2,点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=，连接EF、HG ,请直接写 出四边形EFGH面积的最大值.四边形ABCD是矩形, .AB /CD, / A=90°,

12、. AE = DG ,四边形AEGD是矩形,-' S/ HGE=1S四边形EFGH1同理 S/ EGF = 2S矩形BEGC,S 四边形 EFGH = SHGE + S/_ 1EFG = 2S 矩形ABCD .实验探究：结论：2 S四边形EFGH = S矩形ABCD S矩形A1B1clD1 .理由:2占短形越。11sahgd12%物ID叫'saefb1=2 ' L-：:. 1 .：酶鬲必 2s - S2$+2阮值+2酝*2s矩形- '- 2s四边形EFGH=S矩形ABCDS 矩形 A1 B1C1D1 迁移应用：解：(1)如图4中，: 2S四边形 EFGH = S

13、 矩形 ABCD S 矩形 AiBiCDi) 二 S 矩形 ABCi D=25 2M1=3=AiBiAiDi,二.正方形的面积为25, 边长为 5, / AiDi2=HF2 - 52=29 - 25=4 ,AiDi=2, AiBi=3,EG2=AiBi2+52=i09, EG=109 .242(2)2 S 四边形 EFGH = S 矩形 ABCD + S 矩形 AB1clD1.，四边形AB1cD面积最大时，四边形 EFGH的面积最大.如图5-1中，当G与C重合时，四边形AB1c1D1面积最大时，四边形 EFGH的面积最 大.此时矩形 A1B1c1口1面积=1 . (J102)=yi02如图5

14、2中，当G与D重合时，四边形AB1c1D面积最大时，四边形 EFGH的面积最大.此时矩形AiBRiDi面积=2 . 1 = 2, < 2 > %： 10 - 2,一四边形EFGH的面积最大值=例5、定义：点 P是ABc内部或边上的点(顶点除外)，在PAB, APBc, PcA中，若至少有一个三角形与 4ABC相似，则称点P是4ABC的自相似点.例如：如图 1,点 P 在 4ABC 的内部，/ PBC=/A, / BCP=/ABC,贝 UBCPs ABC, 故点P是 ABC的自相似点.请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点 M是曲线y=3-3(x>

15、 0)上的任意一点，点N是x轴正半轴上x的任意一点.(1)如图2,点P是OM上一点，/ ONP=Z M,试说明点P是AMON的自相似点；当点M的坐标是(43,3)，点N的坐标是(3,0)时，求点P的坐标；(2)如图3,当点M的坐标是(3,43)，点N的坐标是(2, 0)时，求AMON的自相似点的坐标;(3)是否存在点 M和点N,使AMON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标;若不存在，请说明理由.图1【解答】解：（1） / ONP = Z M, / NOP=Z MON , . NOPA MON ,.点P是AMON的自相似点；过P作PDx轴于D,则tan/POD = MN= 4 ./ MO

16、N = 60°, 当点M的坐标是（质,3），点N的坐标是（、0）, ./ MNO = 90°, NOPA MON , ./ NPO = Z MNO = 90°,在 RtAOPN 中，OP= ONcos60°=虫2 ，1，PO=PN, OQ=2ON=1, P的横坐标为1,33y= "3-X1 =, eb10936e.png7；如图4所示: 由勾股定理得：MN = yJ(y3)2n =2,P是AMON的相似点， . PNMA NOM ,. PN_MN PN_ 2 ON=MO,即 2 =丽,解得：PN = 232V3 = a333 x3即P的纵坐标为2：F，代入y =3解得：x=2,- P 2,综上所述： MON的自相似点的坐标为 1,、3或2,笠；(3)存在点 M和点N, > AMON无自相似点，M(V3,3),N(2、/3,0);理由如下:- M( 3,3),N(2 3,0),.OM = 23= ON, / MON = 60°, . MON是等边三角形,点P在AMON的内部, / PON 丰乙 OMN , / PNO 七 MON ,存在点 M和点N, >AMON无自相似点.S 四边形 EFGH = Qe +9