专题直线与圆锥曲线

1、专题五直线与圆锥曲线基础知识自主学习要点摭理1. 直线与圆锥曲线的位置关系(1) 从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.(2) 从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断. 设直线I的方程为Ax+ By+ C = 0,圆锥曲线方程f(x, y)= 0.Ax+ By + C = 0t 一由*，消兀f(x, y)= 0如消去y后得ax2 + bx+ c= 0. 若a= 0,当圆锥曲线是双曲线时，直线I与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 I与抛物线的对称轴平行(或重合). 右 aM 0，设 = b?

2、 4ac.a. A0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b. A0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c. A0时，直线和圆锥曲线没有公共点.2. 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1) 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点Pi(xi, yi), P2(X2, y?)，则所得弦长|PiP2|=_或 |Pi P2I=.(2) 当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式).(3) 求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之 和，往往比用弦长公式简捷.3. 圆锥曲线的中点弦问题2 2遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在椭圆弓+書=i中，以P(X0

3、,a bb22 2y0)为中点的弦所在直线的斜率k= 嚳；在双曲线x2-書=i中，以P(x0, y°)为中ay。a bb2点的弦所在直线的斜率 k=呼°在抛物线y2= 2px(p>0)中，以P(x°, y°)为中点的弦a y0所在直线的斜率k= P.y0难点正本疑点清源1. 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及 有两个相异公共点.还可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几1 / 12最值的讨论求解往往需要建立目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来求解.变

4、式训练22 2(X1, y”, B(X2, 丫2)是椭圆* +乍=1 (a>b>0)上的两点，已知向量a b个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数 问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲 线方程等问题解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.当直线与圆锥曲线相交时： 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来， 相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条

5、件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围， 曲线定义不能题型分类深度剖析n = X2，y2，若m-n= 0且椭圆的离心率e= J，短轴长为2, O为坐标原点.lb a 丿2(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线AB的斜率存在且直线 AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的 斜率k的值；(3) 试问： AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.题型三圆锥曲线中的定值或定点问题【例3】已知定点C( 1,0)及椭圆x2+ 3y2 = 5，过点C的动直线与椭圆相交于 A，B两点，在x

6、轴上是否存在点 M，使MA mb为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.探究提高 本题的难点是由MA MB的表达式，如何确定 m值使其与直线的斜率无关， 化解的方法就是对 k进行集项，只有当k的系数等于零时，式子的值才能与 k无关， 即在m2+ 2m 1 6mt14中6m+ 14= 0.本题当然也可以先通过特殊位置确定数量3 3(3k + 1)积的值和M的坐标，再进行具体证明.变丈训班鼻椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，该椭圆经过点 P 1，3且离心率 鹉(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线l: y= kx+ m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB

7、为 直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标.题型四圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题2【例4 已知椭圆号+ y2= 1的左焦点为F，O为坐标原点.(1) 求过点O、F，并且与直线l : x= 2相切的圆的方程；(2) 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.探究提高直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中 点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方

8、法的热点题型.2 2WH 已知椭圆C：字+器=1 (a>b>0)与直线x+ y 1 = 0相交于A，B两点.(1) 当椭圆的半焦距c= 1,且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；(2) 在(1)的条件下，求弦 AB的长度；(3) 当椭圆的离心率 e满足专we2，且以AB为直径的圆经过坐标原点 O，求椭圆32长轴长的取值范围.24圆锥曲线中的函数思想2 2试题：(12分)已知椭圆中+y = 1上的两个动点P, Q,设P(xi, yi), Qg y0且xi + X2 =2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;设点A关于原点0的对称点是B,求|PB|的最小值及相应的

9、P点坐标.审题视角(1)引入参数PQ中点的纵坐标，先求kpQ，利用直线PQ的方程求解.(2)建立|PB关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值.规范解答(1)证明 T P(x1, y1), Q(x2, y2),且 X1+ X2= 2.<2小 2.X1+ 2y1= 4当X1* X2时，由丫,、x2+ 2y2= 4y1 y21 X1 + X2得 =2.X1 X22 y1 + y2y1 y21设线段 PQ 的中点 N(1, n), kPQ= -,4 分X1 X22n线段PQ的垂直平分线方程为y n=2n(x 1), (2x 1)n y = 0,1该直线恒过一个定点A(2 0).6分当X1

10、= X2时，线段PQ的中垂线也过定点A(2 0).综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(2, 0).7分(2)解 由于点B与点A关于原点O对称，1故点 B( 2，0).8 分. 2w XW 2，2, - = 2 X2 0,2,21221?79|PB| = (X1 + 2)+ y1 = 2(X1 + 1) +4，10 分3当点P的坐标为(0, 士. 2)时,|PB|12 分批阅笔记(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或重要不等式等求最值，本题是建立二次函

11、数、利用二次函数的图象求最值.(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ的中垂线方程，原因是想不到引入参数表 示PQ的中点.第二个易错点是，易忽视P点坐标的取值范围. 实质上是忽视了椭圆的范 围.思想方法-感悟提高方法与技巧1. 解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，若根据已知条件能求出两交点的坐标， 这不失为一种彻底有效的方法；若两交点的坐标不好表示，2 2（弦长为Al).可将直线方程y= kx+ c代入椭圆方程 予+ b2= 1整理出关于x（或y）的一元二次方程 Ax2 + Bx+ C= 0, A= B2 4AC >0 ,可利用根与系数之间的关系求弦长2. 弦

12、的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题.求弦“点差法”和“对称长可注意弦是否过圆锥曲线焦点；弦的中点问题还可利用AO BO = 0.法”；解决AO丄B0,可以利用向量品丄品的充要条件即失误与防范在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题直线y= kx+ 2与抛物线y2= 8x有且只有一个公共点，则A . 1B . 1 或 32 2AB为过椭圆拿+泊=1中心的弦,C. 0k的值为D. 1 或 02.F(c,O)为它的焦点，则FAB的最大面积为3.A . b2B . ab2斜率为1的直线I与椭圆x

13、+ y2=4C. acD. bc1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为4 .10C. 5二、填空题B. 58.104.已知椭圆2x + y2= 1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于P,则 |PF2|=.x轴的直线与椭圆相交,5.6.个交点为直线y= kx 2与抛物线y2= 8x交于不同两点 A、B，且AB的中点横坐标为2,则k 的值是.2 2直线y= kx+ 1与椭圆* + '= 1恒有公共点，贝U m的取值范围是 .5 rm三、解答题X2 y2= 1的左支交于 A、B两点，若另有一条直线 l经Q.7.已知直线y= kx 1与双曲线 过P( 2,0)及线段AB的中点(1) 求k的

14、取值范围；(2) 求直线l在y轴上的截距b的取值范围.&已知椭圆的一个顶点为 A(0, 1)，焦点在x轴上.若右焦点到直线x y+ 2.2= 0的距离为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线y= kx+ m (kz 0)与椭圆相交于不同的两点M , N.当|AM|=|AN|时，求m的取值范围.B组专项能力提升题组一、选择题1. 过抛物线y2= 2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°勺直线I与抛物线在第一、四象限分 另咬于A、B两点，则鴛1的值等于(B卜1C . 3D . 2P、Q2. 已知椭圆E的左、右焦点分别为 F1、F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于 两点

15、，若 PF1F2为直角三角形，则椭圆 E的离心率为(1D.3A冷 BlC.#3. 如图，已知过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线x-my+ m=0与抛物线交于 A、B两点，且厶OAB(O为坐标原点)的面积为2.2 , 贝Um6 +m4的值是(A . 1B. 2C . 2D . 4二、填空题4 .设抛物线x2= 4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线I与抛物线相交于 A、B两点，且点P恰为AB的中点U |AF|+ |BF|=.5 .已知双曲线a2-» 1 (a>1, b>0)的焦距为2c,离心率为e,若点(-1,0)与(1,0)到直线X y= 1的距离之和

16、s>£c,则e的取值范围是a b56.若过抛物线y2= 2px (p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|= 2|BF|,且|AF|= 3,则抛物线的方程为 .三、解答题22広7 .已知椭圆G : ox2 +治=1 (a>b>0)的离心率为 §，右焦点为(2.2, 0)，斜率为1的直线I与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P( 3,2).(1) 求椭圆G的方程；求 PAB的面积.答案要点梳理1. (2) > =<2. (1) .1 + k2|xi-X2|- , 1 + £|yi

17、y2|题型分类深度剖析2 2【例 1】(1)4 + y3 = 1 证明 当yo= 0时，由X20 + y20= 1，可得xo=戈. 当Xo= 2,y°= 0时，直线I的方程为x= 2,此时直线I与曲线C有且只有一个交点(2,0). 当Xo= 2, yo = 0时，直线I的方程为x= 2,此时直线I与曲线C有且只有一个交 点(一2,0).12 3X0X当0时，直线I的方程为y =联立方程组，得12 3X0X2 24+=1.y_32消去 y, 得 (4y20+ 3x20)x 24x°x+ 48 16y20= 0.(*)由点P(x°, y°)为曲线C上一点，得

18、X20+ *0= 1于是方程(*)可化简为x2 2X0X + x20 = 0,4312 3x0x解得x= X0,把x= X0代入方程y=-,可得y = yo.故直线I与曲线C有且只有一个4yo交点 P(X0, y°).综上，直线I与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(X0, y。).-pm变式训练1解 设 P(X1, y1), Q(X2, y2),则 OP + OQ = (X1 + X2, y1 + y2)由方程得，X1+ X2= 4 2k> ,1 + 2k厂 一W2k2厂y1 + y2= k(X1 + X2) + 2 .2 = + 2.21 + 2k (OP丄 AB , (X

19、1 + X2) (-2) + y1 + y2= 0,RnW2k厂W2k2c 匚 c即：一 2 ( '.2)2+ 2 2= 0.1 + 2k1 + 2kk使OP + OQ与AB垂直.解得：k=寸2，由知k2>1,与此相矛盾，所以不存在常数【例2】(1)x2= 6y (2)四边形ACBD面积的最小值是722变式训练 2 (1)4 + X2= 1(2) ± 2(3) 解 当直线AB的斜率不存在时, 即 xi = X2, yi = y2,v21由 m-n = 0,得 x21 =0，即 y21 = 4x21, 又A(X1, V1)在椭圆上，所以x21 +罟=1 ,所以凶|= ,

20、|y11= . 2,、 1所以 SAOB = 2凶| |y1 V2|=凶| -|= 1,所以 AOB的面积为定值.当直线AB的斜率存在时：y= kx+ b设直线AB的方程为y= kx+ b,，得(k2+ 4)x2 + 2kbx+ b2 4 = 0,22 kbb2 4贝 U X1 + X2 =二,X1x2 =二,k + 4k + 4X1X2 +V1V24=0,(kx1+ b)(kx2+ b)4=0,整理得：2 22b2 k2 = 4,得X1X2 +所以 Saaob =-2|AB|1+ k=；|b：(X1 + X2)2 4X1X2|b4k2 4b2+ 164b2=12b|'，所以 AOB的

21、面积为定值.【例3】解 假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA MB为常数.设A(X1, V1), B(x2, V2).当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y= k(x+ 1), 将 y= k(x+ 1)代入 x2 + 3y2= 5,消去V整理，得(3k2+ 1)x2 + 6k2x+ 3k2 5 = 0.422.= 36k4 4(3k2+ 1)(3k2 5)>0 , 6k2xi + X2= -2,3k + 12 -3k 5X1 X2 = 2.3k + 1所以 MA MB = (xi m)(X2 m)+ y$2= (xi m)(X2 m) + k2(xi+ 1)

22、(x2+ 1) = (k2 + 1)XiX2 +2 2 2(k m)(xi + X2) + k + m .T T(6m 1)k2 5223k + 1广"2八 c142m 3 (3k + 1) 2m 32- + m23k + 1整理，得MA MB =+ m22 1 6m+14=m + 2m z7T 4m= 3,此时 MA MB = 9. A 1 2、J 羊、 S 1 W Bl3 3(3 k + 1)注意到MA MB是与k无关的常数，从而有 6m + 14 = 0,当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为7-T -T 4当m=-时，亦有MA MB = 9.r 7 I t >

23、;综上，在x轴上存在定点 M - 0，使MA MB为常数.2 2变式训练3 (1)7 + y = 14 3证明设 A(Xi, yi), B(X2, y2),y= kx+ m,联立x2 y2X + y = 14 + 3'，得(3 + 4k2)x2+ 8mkx+ 4(m2 3) = 0.2 2 2 2< = 64m k 16(3 + 4k )(m 3)>0 ,8mkxi + X2=,J3+ 4k4(m2 3)X1 X2=.k3+ 4k又 yiy2 = (kxi+ m)( kx2 + m)2 22 23(m 4k)=k X1X2+ mk(xi + X2)+ m =3+ 4k椭圆的

24、右顶点为 A*2,0), AA2丄BA2,-(xi 2)(x2 2) + yiy2= 0,yiy2 + X1X2 2(xi + X2)+ 4 = 0,2 2 23(m 4k )4(m - 3) i6mk ,门2 +T + 4 = °,3 + 4k 3+ 4k3+ 4k-7m + 16mk + 4k = 0,k解得 mi = 2k, m2 = ,2 2由，得 3+ 4k m >0 ,当mi = 2k时，I的方程为y= k(x 2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾.当m2= 学时，I的方程为y= k x 2，直线过定点 7 0 ,直线I过定点，定点坐标为 2, 0【例 4】(1)

25、 x+1 2+ (y土,2)2 = 9(2) 点G横坐标的取值范围为一2， 0变式训练 4(1)- + y = 1(2)8 3325(3) ( .5, . 6)课时规范训练A组1.D 2.D3.C4.75.26.m> 1 且 m 57. (1) 2<k< 1(2)b< 2 或 b>2 + 22x 2 &解(1)依题意可设椭圆方程为 了+ y = 1,a则右焦点F( a2 1, 0),由题设得忌 =3,2解得a2= 3故所求椭圆的方程为 专+ y2= 1.y= kx+ m,设P为弦MN的中点，由x22x3+y2=1222得(3k + 1)x + 6mkx+

26、3(m 1) = 0,T直线与椭圆相交， = (6mk)2 4(3k2 + 1) x 3(m2 1)>02 2? m <3k + 1 Xp =xm+ Xn3mk,3k + 1从而yP= kxP+ m=m,3k + 1yp+ 1kAP= 一Xp又/ |AM|= |AN|,2m+ 3k + 1则一=3mk2m+ 3k + 13mk ， AP 丄 MN ,即 2m= 3k2 + 1.把代入得m2<2 m,解得0<m<2;由得k22m 13>0，综上求得解得m>±1 m的取值范围是2<m<2.3. C4.10 5. -5,56.y2= 3x7.解 (1)由已知得c= 2 2, £=严.a 3解得 a= 2弋：3，又 b = a c = 4.2 2所以椭圆g的方程为+丁 = 1.(2)设直线l的方程为y= x + m.y= x+ m由 22X V