专题空间中平行与垂直

1、第2讲空间中的平行与垂直自主学习导引真题感悟1. （2012浙江）设I是直线，a B是两个不同的平面A .若 I / aI B,贝UallBB.若 I / a,I 丄B,贝 Ua丄BC .若 a丄B, I丄a, 贝U I丄BD .若 aX BI / a,则 I 丄 B解析 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法.设aB= a,若直线I / a,且I? a , I? B ,则I / a, I / B,因此a不一定平行于B ,故A错误； 由于I / a,故在a内存在直线I 7/ I ,又因为I丄B,所以I'丄B,故a丄B,所以B正确；若a丄B, 在B内作交线的垂线I ,则I丄a此时I在

2、平面B内，因此C错误；已知a丄B,若aAB= a , I / a,且I不在平面a, B内,则I /a且I / B,因此D错误.答案 B2. （2012 江苏）如图,在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，A1B1 = AG , D、E分别是棱BC、CG上 的点（点D不同于点C）,且AD丄DE , F为B1C1的中点.求证：（1）平面ADE丄平面BCC1B1;直线A1F /平面ADE.证明（1）因为ABC -A1B1C1是直三棱柱，所以C C1X平面ABC.又AD?平面ABC ,所以C C11AD.又因为 AD dDE , C C1 , DE?平面 BC 0 B,C GCDE = E ,所以AD丄平

3、面BC C1 B1.又AD?平面ADE,所以平面 ADE丄平面BC Ci Bi.因为Ai Bi = Ai Ci, F为Bi Ci的中点，所以AiF JBi Ci.因为C Ci丄平面Ai Bi Ci，且AiF?平面Ai Bi Ci,所以 C CilAiF.又因为 C Ci, Bi Ci?平面 BC Ci Bi, C CiPBi 0 = Ci, 所以AiF丄平面BC Ci Bi.由(i)知AD丄平面BC Ci Bi，所以AiF / AD.又AD?平面ADE, AiF?平面ADE，所以AiF /平面ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点，多以选择题与解答题的形式出现，难度 中等，

4、解答高考题时，推理过程不完整是失分的重要原因，需引起特别注意.网络构建_直线与平空间的平 面平行 行关系|平面与平面平行线血平行的定义线面平行的判定线面平行的性质面面平行的定义面面平行的判定面面平行的性质公理11平面鶴基1一 -公埋21净性质公理3空间的垂宜关系直线与直线垂直 L线面垂直的定义 直线与平|线面垂直的判定线直垂直的性庚 面面垂直的冠面面垂直的判定面面垂直的性质面垂直高频考点突破考点一：线线、线面的平行与垂直【例1】如图，在平行四边形 ABCD中，CD = 1,Z BCD= 60°且BD丄CD，正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点.

5、(1) 求证：BD丄平面CDE;(2) 求证：GH /平面CDE;(3) 求三棱锥D CEF的体积.审题导引(1)先证BD丄ED，BD丄CD，可证BD丄平面CDE;(2) 由 GH / CD 可证 GH / 平面 CDE;(3) 变换顶点，求Vc def.规范解答证明四边形ADEF是正方形, ED 丄 AD，又平面ADEF丄平面ABCD， 平面 ADEF G平面 ABCD = AD. ED丄平面 ABCD，二 ED丄BD.又 BD 丄 CD，且 ED ADC = D，BD丄平面CDE.证明-G是DF的中点，又易知H是FC的中点，在厶 FCD 中，GH / CD,又.CD?平面CDE, GH?平

6、面CDE,GH / 平面 CDE.(3)设Rt BCD中，BC边上的高为h,v CD = 1，/ BCD = 60° BD 丄 CD，1i二 BC= 2， BD=羽，二 22*=2対3， h=孑，即点C到平面DEF的距离是孑，I Vd - CEF = VC DEF = 31>2X >23=33.【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1) 证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2) 证线面平行常用的两种方法：一是利用线

7、面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线 平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行.(3) 证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直； 二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教材中 的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等.【变式训练】1. (2012山东实验中学一诊)如图，在几何体ABCDEP中，底面ABCD是边长为4的正方形，FA丄平面 ABCD，PA / EB，且 PA= 2BE= 4 2.(1) 证明：BD/平面PEC；(2) 若G为BC上的动点，求证：AE

8、丄PG.证明 连接AC交BD于点0,取PC的中点F,连接OF, EF, EB/ PA,且 EB = 1pA,1又 OF / PA, 且 OF = 2PA, EB / OF, 且 EB = OF,四边形EBOF为平行四边形， EF/ BD.又 EF?平面 PEC, BD?平面 PEC, / BD /平面 PEC.连接 bpjIbmPa；,/ EBA=/ BAP= 90° EBAs BAP, / PBA=Z BEA,/ PBA+ / BAE= / BEA+ / BAE= 90°, PB 丄 AE. PA丄平面 ABCD , PA?平面 APEB ,平面ABCD丄平面APEB ,

9、 BC 丄 AB ,平面 ABCD G平面 APEB=AB , BC丄平面 APEB ,二 BC丄AE , / AE丄平面 PBC , G为BC上的动点,二PG?平面PBC ,二AE丄PG.考点二：面面平行与垂直【例2】如图所示，已知在三棱锥 A BPC中，API PC, AC丄BC, M为AB的中点，D为 PB的中点，且 PMB为正三角形.求证：DM /平面APC;(2) 求证：平面 ABC丄平面APC;(3) 若BC= 4，AB= 20,求三棱锥 D BCM的体积.审题导引(1)只要证明MD / AP即可，根据三角形中位线定理可证；(2) 证明 APIBC;(3) 根据锥体体积公式进行计算

10、.规范解答(1)证明 由已知，得MD是厶ABP的中位线，所以MD / AP.又 MD?平面 APC，AP?平面 APC，故 MD / 平面 APC.(2)证明 因为 PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD JPB.所以APJPB.又 APJPC，PBPPC= P,所以 API平面PBC.因为BC?平面PBC，所以APJBC.又 BC丄AC，AC AAP= A，所以BC丄平面APC.因为BC?平面ABC，所以平面 ABC丄平面APC.(3)由题意，可知 MD丄平面PBC，所以MD是三棱锥D BCM的一条高，所以 V-DBC=SCD X MD = 3X 2 21 X 5.3= 10.7.【规律

11、总结】面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条 件，还是在具体的解题中，通过找 “中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平 行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通 过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两 个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直.【变式训练】2. 如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD丄平面ABCD, AB= AD,/ BAD= 60° E、F分 别是AP、AD的中点.求证：（1）直

12、线EF /平面PCD;平面BEF丄平面FAD.证明（1）在AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF /D.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF /平面PCD.（2）如图，连接 BD.因为 AB= AD，ZBAD = 60°所以MBD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF山D.因为平面 PAD丄平面ABCD，平面PAD G平面ABCD = AD，BF?平面ABCD，所以BF丄平面PAD.又因为BF?平面BEF，所以平面 BEF丄平面PAD.考点三：平面图形的折叠问题【例3】(2012 南京模拟)在厶ABC中，/ BAC = 90°,/ B= 60

13、°, AB= 1, D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图1)将 ABD沿着AD折起到 AB'D的位置，连接 BC(如图2).图1图2(1) 若平面AB D丄平面ADC，求三棱锥B - ADC的体积；记线段B C的中点为H，平面B ED与平面HFD的交线为I，求证HF /I;(3)求证：AD丄B E.审题导引(1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B到平面ADC的距离，可利用线面垂直求得；(2) 线面平行？线线平行；(3) 线面垂直？线线垂直.规范解答(1)在直角ABC中，D为BC的中点，所以 AD= BD= CD.又/B = 60°,所以 A

14、BD是等边三角形.取AD中点O,连接B O,所以B O丄AD.因为平面 AB D丄平面ADC,平面AB D G平面ADC = AD,B O?平面 AB D,所以B'O丄平面ADC.在ABC 中，/BAC= 90°ZB = 60° AB= 1,D为BC的中点，所以 AC = , 3, B 'O = 2.所以 Sdc =2x 1 x 3=¥.1 1 所以三棱锥B - ADC的体积为V=3X SzadcX BO = 8.(2)证明因为H为B C的中点，F为CE的中点,所以 HF / B E.又HF?平面B ED, B E?平面B ED,所以HF /平面B

15、 ED.因为HF?平面HFD，平面B 'EDA平面HFD = l,所以HF / l.证明由知，B ' O1AD.寸31因为 AE = 3, AO = 2，/DAC= 30°所以 EO=，AE2 + AO2- 2AE AOcos 302 2 2所以 AO + EO = AE .所以 ADJEO.又 B O?平面 B EO, EO?平面 B EO, B OA EO = O,所以AD丄平面B'EO.又BE?平面B'EO，所以AD JB'E.【规律总结】 解决翻折问题的注意事项解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折

16、前 后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉 的几何体中去解决.【变式训练】3. 如图1,直角梯形 ABCD中，AD / BC，Z ABC= 90° E、F分别为AD和BC上的点，且EF/ AB, AD = 2AE= 2AB = 4FC = 4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使AD = AE.(1)求证：BC/平面DAE;求四棱锥D AEFB的体积.解析 (1)证明 IBF/ AE，CF/ DE，BFPCF = F，AEPDE= E，平面CBF /平面DAE.又 BC?平面 CB

17、F，二 BC / 平面 DAE.取AE的中点H，连接DH.EFdDE，EFJEA，/EF丄平面DAE.又 DH?平面 DAE，/EF JDH.AE= DE = AD = 2，/-DH JAE，DH = 3.DH丄平面AEFB.则四棱锥D AEFB的体积V=3X 3X2X2= 孕.名师押题咼考【押题1】已知直线a、b与平面a B,且b丄a则下列命题中正确的是若a/ a则a丄b；若a丄b,则a/ a若b / B,贝U a丄B；若a丄B,则b/ BA BC D解析 命题，若a/ a过直线a作一平面y使得aG尸c,则由线面平行的性质定理可得a/ c ,又因为b± a c? a ,所以b

18、77;c ,故有a丄b,所以该命题为真；命题，若a丄b , b± a , 则直线a与平面a的位置关系有两种：a? a或 a / a ,故该命题为假；命题,若b/ B,则过直线b作一平面使得SGB= d,则由线面平行的性质定理可得b/ d , 又b丄a,所以d丄a ,因为d? B ,所以由面面垂直的判定定理可得 a丄B,故该命题为真；命题 ,若a!B, b丄a则直线b与平面B的位置关系有两种：b? B或 b/ B,故该命题为假综上,为真命题,故选A.答案 A押题依据线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，在高考试题中通常会有一道解答题和一道选择题或填空题，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大.【押题2】女口图,在三棱