《点集拓扑学》章§子空间

1、第3章 子空间（有限），积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法.为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§ 3.2 中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般 情形的研究留待以后去作.§ 3.1 子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法.讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察.所谓“自然的方式”应当是什么

2、样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起， 以便得到必要的启发.考虑一个度量空间和它的一个子集. 欲将这个子集看作一个度量空间， 必须要为它的每 一对点规定距离.由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的.我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X, P）是一个度量空间， Y是X的一个子集.因此，YXY _ XXX.显 然: YX YR是Y的一个度量（请自行验证）.我们称 Y的度量，是由X的度 量p诱导出来的度量.度量空间（Y,p）称为度量空间（X,p）的一个度量子空间.我们常说度量空间 Y

3、是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的.我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认 作一个度量子空间而不另行说明.例如我们经常讨论的： 实数空间R中的各种区间（a, b）,a, b ,（ a, b等；n + 1维欧氏空间匚 中的料10 =（迢內宀和）訂工分=1n维单位球面：M+1"（兀和凡就疋去武|工卡 1n维单位开、闭球体:.-1»+1"（心出宀砧）訂工分1）以及n维单位开、闭方体和I等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间(考虑相应的度量诱导出来的拓扑).定理3.1.1设Y是度量空间X的一个度量子空间则 Y的

4、子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个 X中的开集V使得U= VP Y.证明 由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆对于xX(y Y)，临时记度量空间 X( Y)中以x( y )为中心以£ > 0为半径的球形邻域为"二二门,儿* .首先指出：有二一-PY.这是因为zX属于 牛当且仅当zY且二二(z,y)<£ .现在设U 1,由于Y的所有球形邻域构成的族是 Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y 中的一族球形邻域，设为 A的并于是U畑 M仇沪u=(U M仇W设卩叫加肿口 US另一方面，设U= VP Y,其中V '二.如果y U,则有

5、y Y和y V. V,龙 J'按照定理的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务.定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合.集族A P Y|A A称为集族A在集合Y 上的限制，记作!/引理3.1.2 设Y是拓扑空间(X, T)的一个子集.则集族 是Y的一个拓扑.证明 我们验证'】满足拓扑定义中的三个条件：(1) 由于XT和Y=XH Y,所以Y:;由于 匚= n Y,所以:_： -:（2）如果 A, B，即丄兰匸二-：丿- A-Q I I：于是j4n5 = (2ny)n(5 n?) =(n£)nK; 2n5er,/n5eT|r（3）如果辽是集族'的一个子集

6、族，即对于每一个A辽，丫fU知上已门丫定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集.Y的拓扑*称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y, ' ，）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间.我们常说拓扑空间 Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且 Y的拓扑就是对于 X的拓扑而言的相对拓扑此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个 子空间而不另行说明.假设Y是度量空间X的一个子空间.现在有两个途径得到 Y的拓扑：一是通过X的度量 诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑

7、. 事实上定理已经指出经 由这两种途径得到的 Y的两个拓扑是一样的下面把这层意思重新叙述一遍.定理3.1.3设Y是度量空间X的一个度量子空间则 X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间.定理3.1.4 设X, Y, Z都是拓扑空间如果 Y是X的一个子空间，Z是Y的一个 子空间，贝V Z是X的一个子空间.证明 当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有 ZcYcX ；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（）=Un Y|U T:=un Yn z|U T=U n z|U t= '二因此Z是X的一个子空间.定理3.1.5设Y是拓扑空间X的一个子空间，y Y.贝V(2) 分别记

8、F和F为X和Y的全体闭集构成的族，则F =L(3) 分别记 &和方y为点y在X和Y中的邻域系，贝方y= S .证明(1)即是子空间和相对拓扑的定义.(2) 成立是因为： FX-UUeTr=(X-U ) n Y|U T=Y - Un Y|U T= ；：-三一 ：'(3) 设-则-，因此存在使得V= : n Y,令吋叫由于冋帆:卫冋并且L/1ny = uU)ny= u= u所以U 1：'.以上证明-.类似的论证指出 丄-L . -r定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集则(1) A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；(2) A在Y中的闭包是 A在X

9、中的闭包与 Y的交.证明 为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为 d (A)和二；而记A在Y中的导集和闭包分别为八(A)和一(A).(I ) 一方面，设y(A).则对于y在X中的任何一个邻域 U,根据定理3.1.5 ,UnY是y在Y中的一个邻域，所以 切仏为2©灯)门冶仞)奔0因此y d(A).此外当然有 y Y.所以y d(A) n y.这证明 灯(A) _d (A)n Y.另一方面，设涉d(A)n Y,v Un(j4- (j/) 0aj4cX?=> Vn(A-(y) c Y二 7 c 僅一 OO) = (P c (乂 一 ) cY = " c 僅一 3

10、)工 0所以 y = (A).这证明 d (A _ d (A)n Y.(2)成立是因为-.'(A)=A U h(A)=A U (d(A) n Y)=(A U d(A) n (A U Y)= J n Y定理3.1.7设Y是拓扑空间X的一个子空间，y Y.贝V(1) 如果B是拓扑空间X的一个基，贝V * b是子空间Y的一个基；(2) 如果*是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空间Y中 的一个邻域基.证明(1 )设B是X的一个基.对于 Y中的任何一个开集 U,存在X中的一个开集 V使 得U=V1 Y;存在B的一个子族'1,使得 y 八-因此U=-由于上式中 的每一个BnY是

11、：b中的一个元素，所以在上式中 u已经表示成了；卜中的某些元素之并 了 因此；卜是Y的一个基.(2)证明(略).“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分.这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味，然而我们在§ 2. 2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X tY.映射f称为一个嵌入，如果它是一个 单射，并且是从 X到它的象集f(X)的一个同胚.如果存在一个嵌入 f: XtY,我们说拓扑空 间X可嵌入拓扑空间Y.事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间 Y意思就是拓扑空间 X与拓扑空间Y的某一个子空 间同胚换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X “就是” Y 的一个子空间.不能嵌入的一个简单例子是， 一个离散空间， 如果它含有多于一个点， 就决不可能嵌入 到任