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文档简介
1、_第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)hA 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h);f ( x)dxh(2)2hA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h);f (x)dx2h(3)1 f ( 1)2 f (x1)3 f ( x2 )/ 3;f ( x)dx1(4)hh f (0)f (h)/ 2ah2 f (0) f (h);f ( x)dx0解:求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证
2、性求解。h(1 )若 (1)f ( x)dxA 1 f ( h)A0 f (0)A1 f ( h)h令 f (x) 1 ,则2hA 1A0A1令 f(x)x ,则0A 1hA1h令 f(x)x2 ,则2 h3h2 A1h2 A31从而解得A04 h3A11h3A 11h3_令 f (x)x3,则hh0f (x)dxx3dxhhA 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h) 0h故f ( x)dx A 1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) 成立。h令 f (x)x4,则hf (x)dxhA 1 f ( h)h x4 dxhA0 f (0)2 h55A1 f (h)2 h53故
3、此时,hf (x)dxA 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)hh故f ( x)dx A 1 f (h)A0 f (0) A1 f (h)h具有 3次代数精度。(2 )若2 hf ( x)dxA 1 f ( h)A0 f (0) A1 f ( h)2 h令 f (x)1 ,则4hA 1A0 A1令f (x)x ,则0A 1hA1h令 f (x)x2,则16 h3h2 A 1 h2 A13从而解得_A04 h3A18h3A 18 h3令 f (x)x3,则2 hf ( x)dx2 h02 hx3dx2 hA 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h)02 h故f ( x)dx
4、A 1 f ( h)A0f (0) A1 f (h) 成立。2h令 f (x)x4,则2 hf ( x)dxx4dx64h52 h2 h2 h516 h5A1f (h)A f (0)A f (h)013故此时,2 hf ( x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)2 h因此,2 hf ( x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)2 h具有 3 次代数精度。12 f ( x1 ) 3 f (x2 )/ 3(3 )若f (x)dx f (1)1令 f (x)1 ,则1f (x)dx2 f (1)2 f ( x1 )3 f (x2 )/ 31令 f (x)x ,则
5、012 x13x2令 f (x)x2,则2221 2x13x2_从而解得x10.2899x10.6899x2或x20.12660.5266令 f (x)x3 ,则110f ( x)dxx3dx11 f (1)2 f (x1)3 f ( x2 )/ 3012 f ( x1 )3 f (x2 )/ 3 不成立。故f (x)dx f (1)1因此,原求积公式具有2 次代数精度。hh f (0) f ( h)/ 2ah2 f (0) f ( h)(4 )若f (x)dx0令 f (x)1 ,则hh,0f (x)dxh f (0)f (h)/2ah2 f(0)f (h)h令 f (x)x ,则hh1 h
6、20f (x)dxxdx02h f (0)f (h)/2ah2 f(0)f (h)1 h22令 f (x)x2,则hh2dx1 h30f ( x)dxx03h f (0)f (h)/2ah2 f(0)f (h)1 h32ah22故有1h31h32ah232a112_令 f (x)x3 ,则hh3dx1 h4f (x)dxx004h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h41 h41 h412244令 f (x)x4 ,则hh4dx1 h5f (x)dxx005h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h51 h51 h512236故此时,hh f (0)f
7、 (h)/ 21 h2 f(0) f ( h),f (x)dx0121 h2 fhf ( x)dx h f (0) f (h)/ 2(0)f (h)因此,012具有 3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:1xdx, n8;(1)0 4x211 (1 ex ) 210;(2)dx, n0 x9(3) xdx, n 4;1(4)6 4sin2d , n 6;0解:(1)n8,a0,b1x1,h, f ( x)284 x复化梯形公式为h f ( a) 27T8f ( xk )f (b) 0.111402k 1复化辛普森公式为_h f ( a)77S84f ( x1 )2f ( x
8、k )f (b) 0.111576k 0k2k11(2) n10, a0,b1,h1(1e x ) 210, f ( x)x复化梯形公式为h f (a)9T102f ( xk )f (b)1.391482k1复化辛普森公式为h f (a)99S104f ( xk1 )2f (xk )f (b)1.454716k02k 1(3) n4, a 1,b9, h2, f (x)x,复化梯形公式为h f (a)3T42f ( xk )f (b)17.227742k 1复化辛普森公式为h f (a)33S44f ( x1 )2f (xk )f (b)17.322226k0k2k 1(4) n6,a 0,b
9、, h, f (x)4sin2636复化梯形公式为h5T62f ( xk )f (b)1.03562 f (a)2k1复化辛普森公式为h55f ( xk 1 )S6 f (a)4k02f (xk ) f (b) 1.0357762k13 。直接验证柯特斯教材公式(2 。 4)具有 5 交代数精度。证明:_柯特斯公式为bbaf (x)dx7 f (x0 )32 f ( x1) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 )7 f ( x4 )a90令 f (x)1 ,则bbaf (x)dx90ab a7 f ( x0 ) 32 f (x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f
10、( x4 ) b a90令 f (x)x ,则bb1 (b2a2 )f (x)dxxdxaa2b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b2a2 )902令 f (x)x2 ,则bb2dx1 (b3a3)f (x)dxxaa3b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b3a3 )903令 f (x)x3 ,则bb1 (b4a4 )f (x)dxx3dxaa4b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f (x2 )
11、 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b4a4 )904令 f (x)x4 ,则bb4dx1 (b5a5 )f (x)dxxaa5b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b5a5 )905令 f (x)x5 ,则_bb1 (b6a6 )f (x)dxx5dxaa6b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b6a6 )906令 f (x)x6 ,则hb af ( x)dx7 f (x0) 32 f ( x1) 12 f
12、 ( x2 ) 32 f (x3) 7 f ( x4 )090因此,该柯特斯公式具有5 次代数精度。4 。用辛普森公式求积分1e xdx 并估计误差。0解:辛普森公式为Sb a f (a)ab64 f () f (b)2此时,a0,b1, f ( x)e x ,从而有1 (11e 1 ) 0.63233S4e 26误差为R( f )ba ( b a )4 f (4) ( )180 21 1 e0 0.00035,(0,1)180 245 。推导下列三种矩形求积公式:bf (x)dx (b a) f ( a)f ( ) (b a)2 ;a2bf (x)dx (b a) f (b)f () (b
13、a)2 ;a2f ( ) (b a)3;bf (x)dx (b a) f ( a b )a224_证明:(1)f ( x)f (a) f ()( xa),( a, b)两边同时在 a, b 上积分,得bf (x)dx(ba) f ( a)f()ba)dxa( xa即bf (x)dx (b a) f ( a)f ( ) (b a)2a2(2)f ( x)f (b) f ()(bx),( a,b)两边同时在 a, b 上积分,得bf (x)dx(ba) f ( a)f()bx)dxa(ba即bf (x)dx(ba) f (b)f() (ba)2a2(3)f ( x)f ( a b )f ( ab
14、)( xab )f ( ) (xa b )2 ,(a, b)22222两连边同时在 a, b 上积分,得bf (x)dx(ba bfa b ba bf ( ) ba b2dxaa) f ()()( x)dx( x)22a22a2即bf (x)dx(ba) f ( ab )f() (ba)3;a224I16 。若用复化梯形公式计算积分exdx ,问区间 0,1 应人多少等分才能使截断误差不超0过110 5 ?若改用复化辛普森公式,要达到同样精度区间0,1 应分多少等分?2解:采用复化梯形公式时,余项为Rn ( f )ba h2 f ( ),12(a, b)_I1又ex dx0故 f (x)ex
15、, f( x) ex, a0,b 1.R ( f )1 h2 f ( )e h2n1212若 Rn ( f )110 5,则2h26 105e当对区间 0,1 进行等分时,1h ,n故有ne 10 5212.856因此,将区间213 等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时,余项为Rn ( f )ba ( h )4 f (4) ( ),(a, b)1802又f (x)ex ,f (4) (x)ex ,Rn ( f )1h4 | f (4) ( ) |eh428802880若 Rn ( f )110 5,则14402h410 5e当对区间 0,1 进行等分时1nh故有1n(1440105 )
16、4 3.71e_因此,将区间8 等分时可以满足误差要求。7 。如果 f (x) 0b,证明用梯形公式计算积分 Iaf ( x)dx 所得结果比准确值I 大,并说明其几何意义。解:采用梯形公式计算积分时,余项为RTf () (b a)3 , a,b12又f ( x)0 且 b aRT0又RT1TIT即计算值比准确值大。其几何意义为,f (x)0 为下凸函数,梯形面积大于曲边梯形面积。8 。用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过10 5 .(1) 21x dxe02(2) xsin xdx0(3)3x2 dx.x 10解:(1)I21x dxe0kT0(k)T1(k )T2( k)T3( k)
17、00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717_因此 I0.713727(2) I2x sin xdx0kT0(k )T1( k )03.45131310 618.62828310 7-4.44692310因此 I0(3) I3x 1 x2 dx0kT0( k )T1(k)T2( k)T3(k )T4( k)014.2302495111.1713610.151749934210.4437910.2012710.20457692544310.2663610
18、.2072210.2076210.2076672400791410.2222710.2075710.2075910.2075910.207590212433936510.2112610.2075910.2075910.2075910.20759070922222221T5( k)10.2075922因此 I10.20759229 。用 n2,3 的高斯 - 勒让德公式计算积分_3ex sin xdx.1解:I3ex sin xdx.1x1,3, 令 t x2 ,则 t 1,1用 n2的高斯勒让德公式计算积分I0.5555556 f ( 0.7745967)f (0.7745967)0.8888
19、889f (0)10.9484用 n3 的高斯勒让德公式计算积分I 0.3478548 f ( 0.8611363)f (0.8611363)0.6521452 f ( 0.3399810)f (0.3399810)10.9501410 地球卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是Sa 21( c )2 sin 2d ,0 a这是 a 是椭圆的半径轴, c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心) 的距离, 记 h 为近地点距离,H 为远地点距离,R=6371 ( km )为地球半径,则a(2 RHh)/ 2, c(Hh)/ 2.我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=2384(
20、km)。试求卫星轨道的周长。解:R6371,h439, H2384从而有。_a(2 RHh) / 2 7782.5c( Hh) / 2972.5S4a2 1( c )2 sin 2 d0 akT0(k )T1(k)T2( k)01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646I 1.564646 S 48708( km)即人造卫星轨道的周长为48708km11 。证明等式35nsin3! n25! n4n试依据 nsin()( n3,6,12)的值,用外推算法求的近似值。n解若 f (n)n sin,n又 sin xx1 x31 x53!5!
21、此函数的泰勒展式为f (n)n sinnn1 ()31 ()5n3!n5!n353!n25! n4Tn( k)_当 n3 时 ,nsin2.598076n当 n6时 ,nsin3n当 n12 时,n sin3.105829n由外推法可得nT0(n )T1(n)T2( n)32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故3.1415812 。用下列方法计算积分3 dy ,并比较结果。1y(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式。解3 dyI1 y(1) 采用龙贝格方法可得kT0(k )
22、T1(k )T2(k)T3( k )T4(k )01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.099259_31.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有 I1.098613(2) 采用高斯公式时3 dyI1 y此时 y1,3,令 xyz, 则 x1,1,1 1Idx,1 x 21f ( x),x2利用三点高斯公式,则I0.5555556 f (0.7745967)f (0.7745967)0.8888889 f (0)1.098039利用五点高
23、斯公式,则I0.2369239 f (0.9061798)f (0.9061798)0.4786287 f ( 0.5384693)f (0.5384693)0.5688889 f (0)1.098609(3) 采用复化两点高斯公式将区间 1,3 四等分,得II1 I2I 3I 41.5 dy2dy2.5 dy3dy1y1.5y2y2.5y作变换 yx5,则4_1 1I11 xdx,5f ( x)1,x5I1f ( 0.5773503) f (0.5773503) 0.4054054作变换 yx7,则41 1I 21 xdx,7f ( x)x1,7I 2f (0.5773503)f (0.57
24、73503)0.2876712作变换 yx9,则4I 311dx,1 x9f ( x)1,x9I 3f (0.5773503)f (0.5773503)0.2231405作变换 yx11,则4I 411dx,1 x11f ( x)1,x11I 4f (0.5773503)f (0.5773503)0.1823204因此,有I1.09853813. 用三点公式和积分公式求f (x)1在 x 1.0,1.1,和 1.2处的导数值,并估计误x)2(1差。 f (x) 的值由下表给出:x1.01.11.2F(x)0.25000.22680.2066_解:f ( x)1(1x) 2由带余项的三点求导公式可知
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