66关注三角形的外角

1、6 关注三角形的外角1.1.了解三角形外角的概念了解三角形外角的概念. .2.2.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明. .3.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明. .1.1.证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤: :(1)(1)理解题意理解题意: :分清命题的条件分清命题的条件( (已知已知),),结论结论( (求证求证););(2)(2)根据题意根据题意, ,画出图形画出图形; ;(3)(3)结合图

2、形结合图形, ,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求证求证”; ;(4)(4)分析题意分析题意, ,探索证明思路探索证明思路( (由由“因因”导导“果果”, , 执执“果果”索索“因因”.);.);(5)(5)依据思路依据思路, ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程明过程; ;(6)(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确, ,完善完善. .2.2.三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180. .ABCABC中中,A+B+C= 180,A+B+C= 180. .A+B+C= 18

3、0A+B+C= 180的几种变形的几种变形: :A= 180A= 180(B+C).(B+C).B= 180B= 180(A+C).(A+C).C= 180C= 180(A+B).(A+B).A+B= 180A+B= 180-C.-C.B+C= 180B+C= 180-A.-A.A+C= 180A+C= 180-B.-B.这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . ABC如图如图. 1. 1是是ABCABC的一个外角的一个外角, 1, 1与图中的其他角有什与图中的其他角有什么关系么关系? ?1+4=1801+4=180；1212；1313；1=2+3.1=2+3.ABCD

4、1234证明证明: :2+3+4=1802+3+4=180 ( (三角形内角和定理三角形内角和定理),), 1+4=180 1+4=180 ( (平角的定义平角的定义),), 1= 2+3.( 1= 2+3.(等量代换等量代换).). 12,13( 12,13(和大于部分和大于部分).).用文字表述为用文字表述为: :三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .在这里在这里, ,我们通过三角形内角和定理我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理直接推

5、导出两个新定理. .像这样像这样, ,由一由一个公理或定理直接推出的定理个公理或定理直接推出的定理, ,叫做这个公理或定理的叫做这个公理或定理的推论推论. .推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用. .三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论: :推论推论1:1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .推论推论2:2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .ABCD1234ABCD1234ABCABC中中: : 1=2+3;1=2+3;12,13.12,13.这个结论以后可以直

6、接运用这个结论以后可以直接运用. .例例1 1 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角EAC,EAC,B= C. B= C. 求证求证:ADBC.:ADBC.分析分析: :要证明要证明ADBC,ADBC,只需要证明只需要证明“同位角相等同位角相等”, ,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内角互补同旁内角互补”. .证明证明: :EAC=B+C (EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和邻的两个内角的和),B=C (),B=C (已知已知),),C= EAC(C= EAC(等式性质等式性质).).ADAD平分

7、平分 EAC(EAC(已知已知).).DAC= EAC(DAC= EAC(角平分线的定义角平分线的定义).).DAC=C(DAC=C(等量代换等量代换).).ADBC(ADBC(内错角相等内错角相等, ,两直线平行两直线平行).).ACDBE例题是运用了例题是运用了定理定理“内错角内错角相等相等, ,两直线两直线平行平行”得到了得到了证实证实. .2121例例1 1 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD平分外角平分外角EAC,EAC,B= C. B= C. 求证求证:ADBC.:ADBC.分析分析: :要证明要证明ADBC,ADBC,只需要证明只需要证明“同位角相等同位

8、角相等”, ,“内错角相等内错角相等”或或“同旁内角互补同旁内角互补”. .证明证明: :推理可得推理可得: :DAC=C (DAC=C (已证已证),),BAC+B+C =180BAC+B+C =180( (三角形内角和定理三角形内角和定理).). BAC+B+DAC =180 BAC+B+DAC =180 ( (等量代换等量代换).). ADBC( ADBC(同旁内角互补同旁内角互补, ,两直线平行两直线平行).). 这里是运用了定理这里是运用了定理“同旁内角互补同旁内角互补, ,两直线平行两直线平行”得到了证实得到了证实. .ACDBECABF1345ED2例例2 2 已知已知: :如图

9、如图, ,在在ABCABC中中, 1, 1是是它的一个外角它的一个外角, E, E为边为边ACAC上一点上一点, ,延延长长BCBC到到D,D,连接连接DE.DE.求证求证: 12.: 12.证明证明: :11是是ABCABC的一个外角的一个外角( (已知已知),),13(13(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角的内角).).33是是CDECDE的一个外角的一个外角 ( (外角定义外角定义).).32(32(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角的内角).).12(12(不等式的性质不等式的性质).).

10、把你所悟到的证明一个真命题的把你所悟到的证明一个真命题的方法方法, ,步骤步骤, ,书写格式以书写格式以及注意事项及注意事项转化为转化为一种方法一种方法. .ABCD1.1.已知已知: :如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中, ,外角外角DCA=100DCA=100,A=45,A=45. .求求:B:B和和ACBACB的大小的大小. .解解: :DCADCA是是ABCABC的一个外角的一个外角( (已知已知),),DCA=100DCA=100( (已知已知),),A=45A=45( (已知已知),),B=100B=100-45-45=55=55.(.(三角形的一个外角等于和它不三角形的一

11、个外角等于和它不相邻的两个内角的和相邻的两个内角的和).).又又DCA+BCA=180DCA+BCA=180( (平角定义平角定义).).ACB=80ACB=80( (等式的性质等式的性质).).2.2.已知已知: :国旗上的正五角星形如图所示国旗上的正五角星形如图所示. .求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度数的度数. .分析分析: :设法利用设法利用外角外角把这五个角把这五个角“凑凑”到一个三角形中到一个三角形中, ,运用三角形内角和定理来求解运用三角形内角和定理来求解. .ABCDEF1H2解解: :11是是BDFBDF的一个外角的一个外角( (外角的定义外角的定义),),

12、1=B+D( 1=B+D(三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和).).又又 2 2是是EHCEHC的一个外角的一个外角( (外角的定义外角的定义),), 2=C+E( 2=C+E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和个内角的和).).又又A+1+2=180A+1+2=180( (三角形内角和定理三角形内角和定理).). A+B+C+D+E =180 A+B+C+D+E =180( (等式性质等式性质).).3.3.已知已知: :如图所示如图所示. . 求证求证:BDC:BDCA.A.证明证明: :(1

13、) BDC(1) BDC是是DCEDCE的一个外角的一个外角( (外角定义外角定义),), BDCCED( BDCCED(三角形的一个外角三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).). DEC DEC是是ABEABE的一个外角的一个外角 ( (外角定义外角定义),), DECA( DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的任三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角何一个外角).). BDCA ( BDCA (不等式的性质不等式的性质).).BCADE1 1. .（河北（河北中考）如图，在中考）如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC延长线上一点，延长

14、线上一点，B = 40B = 40，ACD = 120ACD = 120，则则A A等于等于( )( )(A)60(A)60 (B)70 (B)70 (C)80 (C)80 (D)90 (D)90【解析解析】选选C.C.根据三角形外角的性质可得，根据三角形外角的性质可得，ACD ACD =B+A=B+A，所以，所以A=ACD -B= 120A=ACD -B= 120-40-40= 80= 80. .2.2.如图，如图，ABCDABCD，则下列说法正确的是，则下列说法正确的是( )( )(A)3=21+2(A)3=21+2(B)3=21-2(B)3=21-2(C)3=1+2(C)3=1+2(D)

15、3=180(D)3=180-1-2-1-2【解析解析】选选C.ABCDC.ABCD，1=BCD1=BCD，3 3是是CODCOD的外角，的外角，3=2+BCD=2+1.3=2+BCD=2+1.3.3.如图，直线如图，直线abab, ,则则ACB=_.ACB=_.【解析解析】延长延长BCBC交直线交直线a a于点于点D D，直线直线abab, ,ADC=B=50ADC=B=50. .ACBACB是是ACDACD的外角，的外角，ACB=A+ADC=28ACB=A+ADC=28+50+50=78=78. .答案：答案：78784.4.如图，已知如图，已知CECE为为ABCABC外角外角ACDACD的平分线，的平分线，CECE交交BABA的的延长线于点延长线于点E E，求证：，求证：BACBACB.B.【证明证明】CECE平分平分ACDACD1=21=2BACBAC1 1BACBAC2 222B BBACBACB B理解几何命题证明的方法理解几何命题证明的方法, ,步骤步骤, ,格式及注意事项格式及注意事项. .三角形内角和定理三角形内角和定理. . 三角形三个内角的和等于三角