132(2)函数的奇偶性性质

1、1函数的单调性与奇偶性经常结合在一起，注意掌握下列结论：奇函数在a，b和b，a上有相同的单调性；偶函数在a，b和b，a上有相反的单调性知识梳理知识梳理（2）两偶两偶函数之函数之积积(商商)也也为偶为偶函函数；数；一奇一偶一奇一偶函函数之积数之积(商商)为奇为奇函数函数(注意：取注意：取商时分母不为零商时分母不为零)2.2.在定义域的公共部分内在定义域的公共部分内（1）若）若f(x)和和g(x)都是奇函数，都是奇函数，则则f(x) + g(x)f(x) - g(x) f(x)g(x) f(x)g (x)的奇偶性如何？的奇偶性如何？思考思考2:2:二次函数二次函数 是偶函是偶函数的条件是什么？数的

2、条件是什么？ 一次函数一次函数 是奇函数的条是奇函数的条件是什么？件是什么？2( )f xaxbxc( )f xkxbb=0b=0思考思考1:1:常数函数常数函数 具有奇偶性具有奇偶性吗？吗？( )(0)f xa a有没有又奇又偶函数有没有又奇又偶函数推广？推广？已知函数在某区间上的函数解析式，求对称区间上的函数解析式求解方法是求解方法是：首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可要点一要点一 利用奇偶性求函数解析式例例1已知函数已知函数f(x)是定义在是定义在R上的上的奇函数，奇函数，当当x0

3、时，时，f(x)2x23x1，求：，求：(1)f(0)；(2)当当x0时的解析式是已知的，利用奇时的解析式是已知的，利用奇函数的定义，即可求出函数的定义，即可求出x0时的解析式时的解析式“求谁设谁求谁设谁”【反思与悟【反思与悟】若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定义，即处有定义，即f(0)有意义，有意义，则必有则必有f(0)0 , f(x)在定义域内的解析式分区间给出时，在定义域内的解析式分区间给出时，f(x)的解析的解析式要用分段函数表示式要用分段函数表示变变(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，时，f(x)f(x)(x)1(x)x(1x)；当当x0时，时，f(0)f(0)，即，

4、即f(0)0.当当x0时，时，f(x)x(1x)例例1 1 已知已知f(xf(x) )是奇函数，且当是奇函数，且当 时，时， , ,求当求当 时时f(xf(x) )的解析的解析式式. .0 x 2( )3f xxx0 x 例例2 2 设函数设函数 ，已知，已知 是是偶函数，求实数偶函数，求实数m m的值的值. .2( )23f xxmx(1)f x作业作业例例3 3 已知已知f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任上的奇函数，且对任意实数意实数x x都有都有 ，若当，若当 时，时， , ,求求 的值的值. .(3)( )0f xf x 3, 2x ( )2f xx1( )2f

5、4.探要点、究所然奇函数奇函数在关于在关于原点对称的区间上的单调性相同原点对称的区间上的单调性相同偶函数偶函数在关于在关于原点对称的区间上的单调性相反原点对称的区间上的单调性相反要点二要点二 函数奇偶性与单调性的综合问题函数奇偶性与单调性的综合问题变变2已知函数已知函数f(x)是偶函数，在是偶函数，在x0时单调递增，设时单调递增，设x10，且，且|x1|f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) Df(x2)f(|x2|)，f(x1)f(x2)选选A.答案：答案：A自变量的正负不统一，自变量的正负不统一，应利用图象的对称性应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间将自变量化归到同一个单调区间，然后再根，然后再根据单调性判断据单调性判断【分析【分析】f(x)是奇函数是奇函数列关于列关于x的恒等式的恒等式列关于列关于a，b的方的方程程定义法证明单调性定义法证明单调性当1x1x20时，x1x20,0 x1x21，x1x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(1,0)上是减函数例例4.例例5.2.已知奇函数yf(x)，x(1,1)在(1,0上是减函数，解不等式f(1x)f(13x)0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式作业作业5. 已知定义在R上偶函数yf(x)，在(0，)上是增函数，解不等式f(x)f(1),求x取值范围取值范围3.3. 已知已知f(xf