2020年高考理科数学仿真模拟卷(解析版)

1、2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4 .测试范围：高中全部内容.、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.已知集合 A 2, 1,0,1,2 , BA. 1,2B,

2、 0,1,2x| y Vx，则 AI B ()C.2, 1D.2, 1,0a i2,已知复数z a R是纯虚数，则a的值为（）2 iA.1B.一2C.2D. 22ln3 , c 3ln 2 ,则下列选项正确的是（A a>DAEB - e > a > bC mAbA廿14.已知函数f （x）,则y=f （x）的图象大致为（x ln x 1精品文档欢迎下载23C.O5.在ABC中,D为BC上一点,uuvE是AD的中点，若BDULUVDC，uuv CE1 uuv -AB 3uuu/AC ,则 ()B.C.D.6.已知数列an满足ai1 ， a212an 13an 1ann 2, n

3、. . . - _ .N ,则数列an的通项an(B.12n 1C.D.12n 1 17.已知函数f (x) 2sin(x )(06,-）的图象经过点一 2(6,2)和q2）.若函数g(x)f（x） m在区间一 ,0上有唯一零点，则实数 m的取值范围是（2A.1,1C.2,1D. 2U( 1,18.已知A 3,2 ,若点P是抛物线y28x上任意一点，点 Q是圆（x 2）21上任意一点，则PAPQ的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69 .如图为我国数学家赵爽（约3世纪初m在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色

4、不同，则区域涂色不相同的概率为A.B.C.D.1M&4了小?'Tio.已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为X1, x2 ,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2,y3, y4,如图所示.将小圆盘逆时针旋转i i 1,2,3,4次，每次转动90 ,记T i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两 数乘积之和，例如T1x1y2x2 y3x3 y4x4 yl.若x1+x2+x3x40 ,y1 +y2 +y3+y40 ,则以下结论正确的是A. 丁1,丁2,丁3,丁4中至少有一个为

5、正数B.工,丁2,丁3,丁4中至少有一个为负数C. Ti,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.工,T2,T3,T4中至多有一个为负数11.已知集合 A=1 , 2, 3, 4, 5, 6,数，十位数和百位数，记这个三位数为7, 8, 9）,在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位R,现将组成吕的三个数字按从小到大排成的三位数记为I），按从大到小排成的三位数记为D （口）（例如口=219,则/ （口一）=129, D =921）,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，任意输入一个 a,则输出b的值为（）297 A5945 49 D12 .如下图，在正方体ABCD AB1C1D1中，点

6、E、F分别为棱BB1 , CC1的中点，点。为上底面的中心,过E、F、O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A的部分为V1 ,不含A1的部分为V2,连接A和2的任一点M，设AiM与平面ABGDi所成角为,则sin的最大值为（).C.2、6D.2.66二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分)13 .已知函数 f x ln Ji x2x 1 , fa 4,则 f a14 .已知随机变量X服从正态分布N 2,1 ,若P X a 22215 .已知双曲线 与 4 1（a 0，b 0）中，A, 4是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点.若在 a b_ uuuv uuuv线段BF上（不含端

7、点）存在不同的两点Pi（i 1,2）,使得pA1 RA2 0,则双曲线离心率的取值范围是16 .四面体 A BCD中，AB 底面BCD, AB BD 72 , CB CD 1 ,则四面体 A BCD的外接球的表面积为三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）n 11n17.（本小题满分12分）已知数列an的前n项和Sn an 2 n N ，数列bn满足bn 2 an.2（I）求证：数列 bn是等差数列，并求数列an的通项公式；n n 1124（n ）设Cn ,数列cn的前n项和为Tn ,求满足Tn n N 的n的最大2 n an n 1 an 163值.1

8、8 .（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替 1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保

9、的两年内共需维修的次数.(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19 .(本小题满分12分)如图，在四棱柱 ABCD ABGDi中，侧棱4A 底面ABCD , AB AC,AB 1, AC AA1 2, ad cd 卮且点M和N分别为BC和D1D的中点.(1)求证：MN /平面 ABCD;(2)求二面角 D1 AC B的正弦值;1(3)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为一，求线段AE的长. 3220 .(本小题满分12分)已知A xi,yi ,B X2,y2是抛物线C : x 2py p 0上不同两点1,且直线l

10、：y R恰好平4(1)设直线l : y B与y轴交于点M ,若A, B两点所在的直线方程为 y x 4分 AFB，求抛物线C的标准方程.21_ _1PAl PB(2)若直线AB与X轴交于点P ,与y轴的正半轴交于点 Q ,且y1y2 2 ,是否存在直线 AB ,使得 4?若存在，求出直线 AB的方程；若不存在，请说明理由PQ1 2x 3 221 .（本小题满分 12分）已知函数 f x lnx-x ax a R,gx e - x x. 22(1)讨论f x的单调性;(2)定义：对于函数 f x ,若存在x0,使f xoxo成立，则称为函数f x的不动点.如果函数F x f x g x存在不动点

11、，求实数 a的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.x 2 2cos y 2sin22 .(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程x 3t在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为厂(t为参数)，曲线C1的参数方程为y 3t(为参数)，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 2事cos 2sin .(1)分别求曲线Ci的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)设直线l交曲线Ci于O, A两点，交曲线C2于。，B两点，求|AB|的长.23 .(本小题满分10分)选修4

12、-5：不等式选讲已知 a 0, b 0, c 0 设函数 f (x) x b x c a, x R(I)若a b c 1,求不等式f (x) 5的解集； 149(II)右函数f (x)的取小值为1,证明：18 (a b c)a b b c c a、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）2,1,0,1,2 , BA. 1,2B. 0,1,2C.2, 1D.2, 1,0【解析】因为2, 1,0,1,2 ,Bx x 0 ,所以AI2,1,0 .故选D.2.已知复数R是纯虚数，则a的值为（）B.C.2D.2aQz3.已知a2a 1531

13、n221n31“本题正确选项:2c 31n2 ,则下列选项正确的是（【答案】D【解析】.，.一 .,.飞兀0,s*既不 stii4&ZT工 Bl志 口?IETa, bc的大小比较可以转化为二色的大小比较.ITD.设 f (x)当 x= e 时，f' (x) =0,当 x>e时，f' (x) >0,当 0vxve 时，f' (x) < 0f (x)在(e, +8)上,f (x)单调递减,e< 3 V ti< 4，冲i手上加开,1. b>c>a,故选：D.l !ns> =i 2,则y=f(x)的图象大致为(由于由于5.

14、在B.由于100e2In 1221In 2 一2排除B选项.2，f,函数单调递减,排除2-00T.e 1010,排除D选项.故选A.uuvABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDULUVDC，uuv CE1 uuv AB3uuvAC，则C.D.【解析】uuuCE所以6.已知数列项an(anan 1aiuuuCBurnCAuuurAC1 uuuCB 3uuuCA1 uur-CDuurCA ,因为E是AD的解得1 2,1 , .故选3B.an满足aia2an2an3an 1ann 2, nN ,则数列an的通B.D.ananan1anana2a12n 12 17.已知函数2anan 13a

15、n 1 anan 1an 1anan 1 an12( an1an 1 ，,数列2n 12n是首项为2,公比为2的等比数歹U,an 1an,利用叠加法,£)(-2ng(x) f(x)a3a2an 11 2 222n 11.选 B.2n 1f (x) 2sin( x)(06,2一）的图象经过点（一，2）和（，2）.若函数263m在区间一,0上有唯一零点,2则实数 m的取值范围是（）A. ( 1,11C- ( 2,1D. 2U( 1,1【解析】2sint由题意得所以2sin 2x8.已知APA |PQA. 3抛物线1.1N ,得T 2k2 4kT6,2.由2sin 一 32,得一 32k一

16、，故 一，所以26x 一,02时，2x6一,令 t 2x 6一,则由题意得65一,一上有唯一解，故由正弦函数图象可得 6 6.故选D2若点P是抛物线y8x上任意一点，点的最小值为（）B. 4C. 5Q是圆（x2)21上任意一点，则D.【解析】8x的焦点F 2,0 ,准线l ： x 2圆（x 2）2y21的圆心为F 2,0 ，半径r 1 ,过点P作PB垂直准线l ,垂足为B , 由抛物线的定义可知 PB PF|,则PA |PQ PA PF| r | PA PB 1,当A,P,B三点共线时 PA PB 取最小值3 2 5,PA |PQ PA PB 1 5 1 4.即有| PA PQ取得最小值4,故

17、选B.9 .如图为我国数学家赵爽约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率上士. LaA.B.C.D.£334炉y丁7【答案】D提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,根据题意，如图，设 5个区域依次为me,以无分4步进行分析：，对于区域对,有5种颜色可选;,对于区域q与区域相邻，有4种颜色可选;，对于区域L,与区域相邻，有3种颜色可选;些）E /1,. 0行,对于区域n0若与r颜色相同，1r区域有3种颜色可选, ,MM"U

18、 产心U DL若L与工颜色不相同，n区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选, 则区域q 1r有；_ 口_种选择, 则不同的涂色方案有5X4X3X7 =420其中，广区域涂色不相同的情况有:对于区域，有5种颜色可选;对于区域与区域相邻，有4种颜色可选;对于区域-与R 1r区域相邻，有2种颜色可选;E A.对于区域若 与 颜色相同，区域有2种颜色可选,若二与三颜色不相同，二区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选, 则区域5f有七+N其1=4种选择,不同的涂色方案有5 M= Mo种,且1s区域涂色不相同的概率为，故选D. n404,两圆盘上分别有互相垂直的两条直径yi, 12,、3,、4,10 .已

19、知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心）将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 ,x3, x4,大圆盘上所写的实数分别记为如图所示.将小圆盘逆时针旋转i i数乘积之和，例如 T| x1y2 x2 y31,2,3,4次，每次转动90 ,记T i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两必丫4 X4yi.若 X1+X2+X3 X4 0, yi+y2+y3+y4 0 ,则以下结论正确的是A. 丁1,丁2万3万4中至少有一个为正数B.1,丁2,丁3,丁4中至少有一个为负数C. 丁1,丁2,丁3,丁4中至多有一个为正数D.1,丁2,丁3,丁4中至多有一个为负数【解析】根据题意

20、可知:(X1+X2 +X3 X4)( y。+y3+y4) >0,又(X1+X2+X3 X4) (y+y2+y3+y4)去掉括号即得：(X1+X2+X3 4)(y1+y2+y3+y4)=T1 T2 T3 T4>0,所以可知T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数，故选 A11 .已知集合A=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9）,在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a,现将组成a.的三个数字按从小到大排成的三位数记为I ）,按从大到小排成的三位数记为D （口）（例如口 =219,则/ （口-）=129, D （a） =92

21、1）,阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个ct.,则输出b的值为（）开始5945 49D试题分析：A,如果输出的值为792,则收=792,/=2羯，D 南/ =972； "D SJ - f 施=972-279= &93 ,不满足题意B,如果输出的值为 693,则=69Z，/ 3 =369. D 南/ =963；SJ -I 施=963-369= S94,不满足题意.C,如果输出的值为 594,则点=594./=459, D布=9S4r，二D衣一)=？54-459 = 495；,不满足题意.D,如果输出的值为 495,贝(盘=495，/ 如 =459, 口 南/

22、二明/ b = D SJ -f (fiJ =954-459=49% 满足题意.故选 D.12 .如下图，在正方体 ABCD AB1C1D1中，点E、F分别为棱BBi , CCi的中点，点O为上底面的中心，过E、F、O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A的部分为V1 ,不含A1的部分为V2,连接A和2的精品文档欢迎下载任一点M，设A1M与平面AB1C1D1所成角为，则sin的最大值为（）.A.且B.毡C.亚D.迪2556【答案】B【解析】连接 EF,因为EF/面ABCD,所以过EFO的平面与平面 ABCD的交线一定是过点 。且与EF平行的直线，过点O作GH/BC交CD于点G,交AB于H点，则G

23、H/EF,连接EH, FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱 ABiEHA D1C1FGD为V1,三棱柱EBH-FCG为V2,设M点为V2的任一点，过M点作底面ABiCiDi的垂线，垂足为N,连接AN，则 MAiN即为AM与平面ABiGDi所成的角，所以MAi N = a,因为sin "Ml,要使a的正弦最大，必须 MN最大，AM最小，当点M与点H重合时符合Ai M, MN HN 2 5题意，故sin a的最大值为=，故选BA| MA| H5、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分）i3.已知函数f x In Ji x2xI7精品文档欢迎下载43【解析】因为f x f x

24、 In .1 xln 122x2 x22 2,f a f a 2,且 fa 4,则 f2 .故答案为-214.已知随机变量 X服从正态分布 N 2,12a 3【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为 a 2 2a 3结合题意有：2, a 1.故答案为1.22 x y15.已知双曲线 1(a 0,b 0)中，A1,A2是左、a b右顶点,F是右焦点,B是虚轴的上端点.若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P(i 1,2),ULUV使得PA1uuuvPA2 0,则双曲线离心率的取值范围是32 +【解析】设c为半焦距，则F c,0所以 BF :bx cy bc 0以AA2为直径的圆的方程

25、为eO uuuu uuuu2a ,因为 PA1 PA20，i 1,2 ,所以e O与线段BF有两个交点（不含端点）bc所以b2c2b aac4即2c3a2c2 2a20 , e4 3e2 1 0,故2e2 2解得应e容.故填网勺16.四面体A BCD中，AB 底面BCD, AB BD的表面积为72, CB CD 1 ,则四面体ABCD的外接球【答案】4【解析】如图，在四面体A BCD 中，AB 底面 BCD, AB BD 忑2, CB CD 1 ,可得 BCD 90 ,补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1, 1, J2,则长方体的对角线长为 J12 12 诋22，则三棱锥 A BCD的

26、外接球的半径为1.其表面积为4 12 4 .故答案为：4 .三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）n 1已知数列an的前n项和Snan-2 nN*,数列bn满足bn2nan.2（I）求证：数列 bn是等差数列，并求数列an的通项公式；an值.【解析】（I ） Q Snan数列Cn的前n项和为Tn ,求满足当n 2时,Sn1anananan 1化为2nann 12 anQbnbnbn1,即当2 时，bn1，可得S2 a1，即a12a11,数列bn是首项和公差均为1的等差数列.bn1 n2n an（n）由（i）可得2nn2n1 n

27、-J2n 12n 12n 12n 1 12nTn21/122 11 2n_11 2n 1 112n 1 1可得2n 16426,因为n是自然数,所以n的最大值为4.18.（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户,优惠方案：方案一：交纳延保金7000元,124n6312463n N 的n的最大推出两种超过质保期后两年内的延保维修在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金 10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费 1000元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案

28、，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.(1)求X的分布列;(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算?【解析】(I) X所有可能的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,111P X 0P X 110 10 100110125，11025，1103101150，310725，2 25 102533910 10 100X的分布列为X0123456P110012532511

29、507256259100(n)选择延保一，所需费用 X元的分布列为:Y70009000110001300015000P17100115072562591001711769EY70009000110001300015000 10720(元)100502525100选择延保二，所需费用 丫2元的分布列为：丫2100001100012000P6710062591006769EY2 10000 11000 12000 10420 (元)10025100EY EY2，该医院选择延保方案二较合算 .19.(本小题满分12分)如图，在四棱柱 ABCD ABC1D1中，侧棱A1A 底面ABCD , AB AC

30、,(1)求证：MN /平面 ABCD;(2)求一面角D AC B的正弦值；(3)设E为棱AB上的点，若直线 NE和平面ABCD所成角的正弦值为【解析】如图，以 A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),1，八一，一-,求线段A1E的长.3B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, 2,0),AB 1 , AC AA1 2, AD CD 拆,且点M和N分别为BQ和RD的中点.1又因为M ,N分别为BC和DQ的中点，得M 1-,1 , N(1, 2,1). 2ruuuu 5(I)证明：依题意，可得 n (0,0,1)为平面ABCD的一个法向量， MN 0, ,02uuuu由此可

31、得，MN n 0,又因为直线 MN 平面ABCD ,所以MN /平面ABCDir uuuuurni ADi 0(n) TDi,设 n1 (x,y,z)为平面 ACDi 的法向量，则ir uur ，即n1 AC 0x 2y 2z 0ur,不妨设z 1 ,可得5 (0,1,1),2x 01uu设n2uu uuur n2 AB1(x, y,z)为平面ACB1的一个法向量，则uu uu n2 AC0uuur,又AB 0y 2z 0(0,1,2)，得；x 0 ，不妨设uuz 1,可得 n2(0, 2,1),ur uu因止匕有cos n1，n2ur uuMr10ur uu10 , 1正 sin n，n23

32、 1010所以二面角D1 ACB的正弦值为3 1010uuuruuur(m)依题意，可设 ae AB ,其中0,1,则 E(0, ,2)uuir，从而NE ( 1,2,1)，r又n (0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知得uuur r1" ,整理得2 43 0,3uuur r ne n1cos NE ,ntutr,二NE 冏 4 1)2 (2)2 12又因为 0,1,解得77 2,所以线段AE的长为币2.220.(本小题满分12分)已知A xi,yi ,B X2,y2是抛物线C : x 2py p 0上不同两点(1)设直线l : y B与y轴交于点M ,若A, B两点所在的

33、直线方程为 4分 AFB，求抛物线C的标准方程.y x 1,且直线1: y R恰好平42,是否存在直线 AB ,使得 41_ _1PA| PB3PQ?若存在，求出直线 AB的方程；若不存在，请说明理由(2)若直线AB与X轴交于点P ,与y轴的正半轴交于点 Q ,且y1y22 py ,消去y整理得x2 2px 2pX 10,2p.一X【解析】(1)设 A x1,y1 ,B x2,y2 , M 0,-,由 4 y4p2 8p 0则X1X22p ,.直线yP 平分AFB,，kAFkBF 0 ,4x1x2 2py2X1X2 1X1X2X1X2p X1 x24x1x28y p 4,满足A 0, 抛物线C

34、标准方程为x2(2)由题意知，直线 AB的斜率存在，且不为零,设直线AB的方程为:y kx b(k0, b 0),2 2 一4p k 8pb 0x1 x2 2 pkx1x2 2pby kx b 2由 2 小，得 x 2pkx 2pb 0,x 2pyN1V22 2 红走 2P 2p2pb 2 4p2b2 ，2P, y1y 2 二，4b20, b，直线AB的方程为:kx假设存在直线AB ,使得PAPBPQPQ| |PQ|PA |PB|作AAx轴,BBx轴，垂足为PQPQPAyy2PQPBOQAAOQBBP2y1P2y2P y1y2 ，2 y1y2PQPA | |pb|x x22P 2pk故存在直线

35、AB使得（本小题满分(1)讨论(2)定义:1PA2pk24k21PB12分）已知函数f x的单调性;p,y/24k2对于函数f x ,若存在,x存在不动点，求实数直线AB方程为inx k2 ax2f xoxo成立，则称为函数的取值范围.【解析】（1） f x的定义域为 o, , f x-一翌x 0 ,x对于函数y x2 ax 1 0,的不动点.如果函数当a2 4 0 时，即 2 a2 时，x2ax 10在X 0恒成立.2x ax 1x 0 在 0,恒成立.0,为增函数;当0,即a2时，由f在0,a2 42当a 2时,0,综上，当a2或a 2时,a一-a2 4或x2a a2 42aa2 452:24为增函数, 2aa2 42a a2 42减函数.为增函数,为增函数。2时,a a2 42(2)存在不动点,0,恒成立,a a2 4f x 在 0,2为增函数；当a 2时,为增函数,减函数,lnx1 2x ax2方程_x2 .e x lnxx有实数根，即a0,ex x 1 lnxx2x为增函数。12-lnx x a