2015届高考数学二轮复习专题检测：导数及其应用

1、2015届高考数学二轮复习专题检测： 导数及其应用一、选择题1(文)(2013·郑州市质检)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)lnx，则f(e)()A1B1Ce1De答案C解析依题意得，f(x)2f(e)，取xe得f(e)2f(e)，由此解得f(e)e1，故选C.(理)(2013·云南检测)已知常数a、b、c都是实数，f(x)ax3bx2cx34的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于115，则a的值是()AB.C2D5答案C解析依题意得f(x)3ax22bxc0的解集是2,3，于是有3a>0，23，2

2、15;3，b，c18a，函数f(x)在x3处取得极小值，于是有f(3)27a9b3c34115，a81，a2，故选C.2(文)(2014·长春市调研)已知函数f(x)x2的图象在点A(x1，f(x1)与点B(x2，f(x2)处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A(，3)B(0，4)C(2,3)D. (1，)答案D解析由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f(x)2x，则过A，B两点的切线斜率k12x1，k22x2，又切线互相垂直，所以k1k21，即x1x2.两条切线方程分别为l1y2x1xx，l2y2x2xx ，联立得(x1x2)2x(x1x2)0，x1x2，x，

3、代入l1，解得yx1x2，故选D.(理)在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A0B1C2D3答案A解析依题意得，y3x29，令0<y3x29<1得3<x2<，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数yx39x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.3(文)(2014·太原五中月考)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线yx21与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.y21D. x21答案C解析yx21，yx，设

4、切点(x0，y0)，则切线方程yy0x0(xx0)，切线过原点，y0x，又切点在抛物线上，y0x1，由(1)(2)得x0±4，|x0|，a2b，代入a2b2c25中得b21，a24，双曲线方程为y21.(理)(2014·吉林市质检)若函数f(x)2sinx(x0，)在点P处的切线平行于函数g(x)2·(1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率()A1B.C.D. 2答案C解析f(x)2cosx，x0，f(x)2,2，g(x)2，当且仅当x1时，等号成立，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1，2cosx12且2，x10，x10，y10，x21，

5、y2，kPQ.4(文)(2013·浙江文，8)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf (x)的图象如下图所示，则该函数的图象是()答案B解析本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系由导数的几何意义可得，yf(x)在1,0上每一点处的斜率变大，而在0,1上则变小，故选B.(理)(2014·石家庄市质检)定义在区间0,1上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0)、B(1，f(1)、C(x，f(x)为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S(x)的大致图象为()答案D解析A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C到直

6、线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大减小0增大减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形；然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.5(2014·山西大学附中月考)已知函数f0(x)xex，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x) ，fn(x)fn1(x)(nN*)，则f2014(0)()A2013B2014C2015D2016答案C解析f0(x)xex，f1(x)f0(x)exxex，f2(x)f1(x)2exxex，fn(x)fn1(x)nexxex，f2014(0)f2015(0)2015e002015.6(2013&

7、#183;天津文，8)设函数f(x)exx2，g(x)lnxx23，若实数a、b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)<0<f(b)Bf(b)<0<g(a)C0<g(a)<f(b)Df(b)<g(a)<0答案A解析解法1：由f(a)eaa20得0<a<1，g(a)lnaa23<0；由g(b)lnbb230得b>1，f(b)ebb2>0，所以f(b)>0>g(a)，故选A.解法2：f(x)ex1>0，f(x)为增函数，f(0)1<0，f(1)e1>0，且f(a)0，0<a<

8、;1；当x(0，)时，g(x)2x>0，g(x)在(0，)上为增函数，又g(1)2<0，g(2)ln21>0，g(b)0，1<b<2.f(b)>f(1)0，g(a)<g(1)<0，故选A.二、填空题7(文)(2014·甘肃省三诊)若曲线yx在点(m，m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m_.答案64解析yx，yx，切线的斜率为m，切线方程为ymm(xm)，令x0，得ym，令y0，得x3m，m>0，×3m×m18，m8，m64.(理)(2014·沈阳市二检)已知函数f(x)x(xa)(xb)

9、的导函数为f(x)，且f(0)4，则a22b2的最小值为_答案8解析f(x)(xa)(xb)x(xa)(xb)，f(0)ab4，a22b22ab8，故填8.8已知函数f(x)ax3ax2bxb1在x1处的切线与x轴平行，若函数f(x)的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是_答案(，)解析依题意得，f (1)0，又f (x)ax2axb，b2a，f (x)ax2ax2aa(x2)(x1)，令f (x)0，得x2或x1，当a0时，不合题意；当a>0时，要使图象过四个象限，只需结合a>0，解得a(，)；当a<0时，要使图象过四个象限，只需结合a<0.可知不存在符合条件的实数

10、a；综上得，a的取值范围是(，)9若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_答案(，1)(2，)解析f (x)3x26ax3(a2)，由题意知f (x)0有两个不等的实根，故(6a)24×3×3(a2)>0，即a2a2>0，解得a>2或a<1.三、解答题10(文)(2012·新课标全国文，21)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x>0时，(xk)f (x)x1>0，求k的最大值分析(1)求函数f(x)的单调区间，需判断f (x)的正负，因为含参数a，故

11、需分类讨论；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)exa.若a0，则f (x)>0，所以f(x)在(，)上单调递增若a>0，则当x(，lna)时，f (x)<0；当x(lna，)时，f (x)>0，所以，f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故当x>0时，(xk)f (x)x1>0等价于k<x(x>0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)e

12、xx2在(0，)上单调递增而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)<0；当x(，)时，g(x)>0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k<g()，故整数k的最大值为2.点评本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围(理)(2013·广东文，21)设函数f(x)x3kx2x(

13、kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k<0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.解析f(x)3x22kx1.(1)当k1时f(x) 3x22x1，4128<0，f(x)>0，f(x)在R上单调递增即f(x)的单调递增区间为(，)，f(x)没有单调递减区间(2)当k<0时，f(x)3x22kx1，其开口向上，对称轴x ，且过(0,1)(i)当4k2124(k)(k)0，即k<0时，f(x)0，f(x) 在k，k上单调递增，从而当xk时，f(x)取得最小值 mf(k)k，当xk时，f(x) 取得最大值Mf(k)k3k3k2k3k.(ii

14、)当4k2124(k)(k)>0，即k<时，令f(x)3x22kx10解得：x1，x2，注意到k<x2<x1<0，(注：可用韦达定理判断x1·x2，x1x2>k，从而k<x2<x1<0；或者由对称结合图像判断)mminf(k)，f(x1)，Mmaxf(k)，f(x2)f(x1)f(k)xkxx1k(x1k)(x1)>0，f(x)的最小值mf(k)k，f(x2)f(k)xkxx2(2k3k)(x2k)(x2k)2k21<0，f(x)的最大值Mf(k)2k3k.综上所述，当k<0时，f(x)的最小值mf(k)k，最大

15、值Mf(k)2k3k.一、选择题11(文)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程为xy20，则f(1)f (1)()A1B2C3D4答案D解析由条件知(1，f(1)在直线xy20上，且f (1)1，f(1)f (1)314.(理)(2013·烟台质检)在等比数列an中，首项a1，a4(12x)dx，则该数列的前5项和S5为()A18B3C.D.答案C解析a4(12x)dx(xx2)|18，因为数列an是等比数列，故18q3，解得q3，所以S5.故选C.12(文)(2013·太原调研)设aR，函数f(x)exa·ex的导函数f (x)是奇函数，若曲线yf(x)

16、的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()ABln2C.Dln2答案D解析由于f (x)exaex，故若f (x)为奇函数，则必有f (0)1a0，解得a1，故f (x)exex.设曲线上切点的横坐标为x0，则据题意得f (x0)ex0ex0，解得ex02，故切点横坐标x0ln2.(理)(2014·哈三中一模)在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)xlnxx的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M(0，yM)，过点P作l的垂线交y轴于点N(0，yN)则的范围是()A(，13，)B(，31，)C3，)D(，3答案A解析f(x)xlnxx，f (x)lnx，设P(x0，y

17、0)，则y0x0lnx0x0，kllnx0，l：yy0(xx0)·lnx0，令x0得yMy0x0lnx0x0，过点P的直线l的垂线斜率k，方程为yy0·(xx0)，令x0得yNy0x0lnx0x0lnx01当x0>1时，lnx0>0，lnx01(lnx0)1121，同理当0<x0<1时，lnx013，选A.13(文)(2014·中原名校第二次联考)已知函数g(x)ax3bx2cxd(a0)的导函数为f(x)，且a2b3c0，f(0)f(1)>0，设x1、x2是方程f(x)0的两根，则|x1x2|的取值范围是()A0，)B0，)C(，)

18、D(，)答案A解析f(x)g(x)3ax22bxc，f()c(a2b3c)0，是f(x)0的一根，又f(0)·f(1)>0，0<x1<x2<1，即或故选A.(理)(2013·德阳市二诊)已知m、n是三次函数f(x)x3ax22bx(a、bR)的两个极值点，且m(0,1)，n(1,2)，则的取值范围是()A(，)(1，)B(，1)C(4,3)D(，4)(3，)答案D解析f (x)x2ax2b，由题意知(*)表示不等式组(*)表示的平面区域内的点与点(2，3)连线的斜率，由图形易知选D.14(文)已知f(x)为定义在(，)上的可导函数，且f(x)<

19、f (x)对于xR恒成立，且e为自对数的底，则下面正确的是()Af(1)>e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)Bf(1)<e·f(0)，f(2012)>e2012·f(0)Cf(1)>e·f(0)，f(2012)<e2012·f(0)Df(1)<e·f(0)，f(2012)<e2012·f(0)答案A解析设F(x)，则F(x)，f(x)<f (x)对于xR恒成立，F(x)>0，即F(x)在xR上为增函数，F(1)>F(0)，F(2012

20、)>F(0)，即>，>，f(1)>ef(0)，f(2012)>e2012f(0)(理)(2013·浙江苍南求知中学月考)设函数f(x)x2bxc(xR)且f (x)f(x)>0恒成立，则对a(0，)，下面不等式恒成立的是()Af(a)<eaf(0)Bf(a)>eaf(0)Cf(a)<eaf(0)Df(a)>eaf(0)答案A解析令F(x)f(x)ex，则F(x)f (x)·exf(x)·ex(f (x)f(x)ex>0，F(x)为增函数，对任意a(0，)，有a(，0)，F(a)<F(0)，f(

21、a)ea<f(0)，即f(a)<eaf(0)，故选A.15(文)已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)3，且对任意xR总有f (x)<3，则不等式f(x)<3x15的解集为()A(，4)B(，4)C(，4)(4，)D(4，)答案D解析令g(x)f(x)3x15，则g(x)f (x)3<0，所以g(x)在R上是减函数，又因为g(4)f(4)3×4150，所以f(x)<3x15的解集为(4，)(理)定义方程f(x)f (x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，如果函数g(x)x2(x(0，)，h(x)sinx2cosx，x(0，)，(x)e

22、x2x的“新不动点”分别为、，那么、的大小关系是()A<<B<<C<<D<<答案C解析由定义，令g(x)xx2，得2；对于h(x)sinx2cosx，x(0，)，令h(x)cosx2sinxsinx2cosx，得(，)；对于(x)ex2x，令(x)ex2ex2x，得1.故<<，选C.二、填空题16(文)(2014·山西太原五中月考)在区间2,3上任取一个数a，则函数f(x)x3ax2(a2)x有极值的概率为_答案解析f(x)x22axa2，函数f(x)有极值，yf(x)的图象与x轴有两个交点4a24(a2)4(a2)(a1)

23、>0a<1或a>2.所求概率P.(理)(2014·郑州市质检)已知a>1, 且函数yax与函数ylogax的图象有且仅有一个公共点，则此公共点的坐标为_答案(e，e)解析设公共点为P(x0，y0)，则点P(x0，y0)为函数yax与ylogax的图象的切点，且点P(x0，y0)又在直线yx上，yaxlna，ax0lna1，ax0logae，又ax0y0logax0logae，x0e，y0e.17函数f(x)x23x2lnx，则函数f(x)在1，e上的最大值为_，最小值为_答案e23e22ln24解析由f(x)x23x2lnx可得，f (x)x3.当x(1,2)

24、时，f (x)<0，f(x)在1,2上是减函数；当x(2，e)时，f (x)>0，f(x)在2，e上是增函数当x2时，f(x)minf(2)2ln24.又f(1)，f(e)e23e2，f(e)f(1)e23e2()(e26e9)(e3)2>0，f(e)>f(1)，f(x)maxf(e)e23e2.综上，函数f(x)在1，e上的最大值为e23e2，最小值为2ln24.三、解答题18(文)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解析(1)由

25、f(0)1，f(1)0得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f (x)ax2(a1)xaex依题意须对于任意x(0,1)，有f (x)<0.当a>0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f (0)a<0，所以须f (1)(a1)e<0，即0<a<1；当a1时，对任意x(0,1)有f (x)(x21)ex<0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x(0,1)，f (x)xex<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f (0)a>0，f(x)不符合条件故a的取值范围0a1.(2)因为g(x)(2ax1a)ex，g

26、(x)(2ax1a)ex，()当a0时，g(x)ex>0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex<0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.()当0<a<1时，由g(x)0得x>0.若1，即0<a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若<1，即<a<1时，g(x)在x处取得最大值g()2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a, g(1)(1a)e，则当&