24平面向量的数量积

1、哈一二二中高一数学组公共教案授课日期授课班级授课题目2.4.1平面向量的数量积（一）课型新授课三维目标知识与技能掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。过程与方法类比实数，抓住实数与数量积的区别。情感、态度与价值观提高学生的学习兴趣，激发求知欲，培养探索精神教学重点平面向量的数量积的定义教学难点向量投影版权提供：刘志刚qsF教学过程：一、问题导学：1.向量线性运算的结果。2.向量的夹角定义及范围。3.物理中力做的功：W = |F|×|s|cosq ，其中q是F与s的夹角.二、讨论讲解：1.定义：平面向量数量积（内积）记为：，并规定与任何向量

2、的数量积为0。 注意：1°两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定； 2°两个向量的数量积也称为内积注意书写格式；3°在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。 4°已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是a×b = b×ca = c 不成立. 5°在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b

3、15;c) 2.“投影”的概念：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。注意：1°投影也是一个数量，不是向量。 2°当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0； 当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|。3.向量的数量积的几何意义： 数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。4.两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量 1° ab Û a×b = 0 2°当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反

4、向时，a×b = -|a|b|。 特别的a×a = |a|2或 3°|a×b| |a|b| 4°cosq =5.运算律：（1）（2）（3）三、实践反馈：例1.已知；（2）；（3）与的夹角为，分别求.练习：1.已知的夹角，求.2.在正中，已知边长为1，求.3.已知中，求.例2.已知为单位向量，当它们之间的夹角为时，求在方向上的投影.练习：已知且，求向量在向量的方向上的投影. 例3. 求证：（1）；（2）例4. 已知与的夹角为，求（1） （2）练习：1.已知，向量与的夹角为，求|+|，|-|.2.已知与不共线，当且仅当为何值时，向量与互相垂直？四、

5、教学后记：授课日期授课班级授课题目2.4.1平面向量的数量积（二）课型新授课三维目标知识与技能掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。过程与方法类比实数，抓住实数与数量积的区别。情感、态度与价值观提高学生的学习兴趣，激发求知欲，培养探索精神教学重点平面向量的数量积应用教学难点平面向量数量积的应用教学过程一、问题导学1.提问:向量内积的定义，投影的定义，如何求两个向量的夹角。2.教材：练习1、2、3二、讨论讲解：例1. 已知，且-和垂直，求与的夹角.例2.设是两个单位向量，其夹角是，（1）试求向量与的夹角；（2）已知，向量、的夹角设为，当取何值时，为锐

6、角？直角？钝角？三、实践反馈：1.已知，且，若，求的值.2.已知是两个非零向量，且垂直，垂直，求与的夹角。 3.已知向量满足，且，求与的夹角。4.点是所在平面内一点，满足，则是中的什么心？5.已知，其中、是互相垂直的单位向量，若、的夹角是钝角，求的范围.四、教学后记：授课日期授课班级授课题目2.4.2平面向量的数量积的坐标表示课型新授课三维目标知识与技能掌握平面向量数量积的坐标表示，能用所学知识解决有关综合问题。过程与方法通过向量的坐标形式加深对向量数量积的理解和认识。情感、态度与价值观在解决问题过程中形成见数思形,以形助数的思维习惯。教学重点平面向量的数量积综合应用教学难点平面向量数量积综合

7、应用教学过程一、问题导学1两个非零向量夹角的概念与范围；2平面向量数量积（内积）的定义；3向量的数量积的几何意义：×等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积4两个向量的数量积的性质： Û × = 0 × = |2或 cosq =5. 、的夹角是锐角、钝角的充要条件。二、 讨论讲解：1.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量， 则2.平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）已知、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定：设，则4.两向量夹角的余弦（） cosq =三、实践反馈：例1. 已知，求,、夹角的余弦值，.例2. 已知点已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)，试判断ABC的形状，并给出证明。例3. 已知，求（1）与垂直的单位向量；（2）求与平行的单位向量。例4. 若，且的夹角为钝角，求的取值范围.练习：1.若=(-4,3),=(5,6),求（1）3|；（2）在方向上的投影.2.在ABC中，=(3，1)，=(x,-3)，且求的值3.已知A(1,2),B(2