311二分法求方程的近似解

1、3.1.2 用二分法求方程的近似解数学发现之旅从这里开始复习思考复习思考：1.零点存在的判定零点存在的判定2.零点个数的求法零点个数的求法 ( ) , f xa b 如果函数y=在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.( ) , f xa b 如果函数y=在区间是，图象是一条的曲线，并且有,那么，函数y=f(单调函数连续不断f(x)在区间（a,b）a)f(b)0唯内有一零点。1780游戏：游戏：请同学们猜一下请同学们猜一下这部手机的价格这部手机的价格.大

2、于大于0小于小于4000允许误差允许误差50Game time方法总结方法总结：本质将本质将区间区间一分为二，再经比较，按需一分为二，再经比较，按需要求留下其中一个新的更小的区间要求留下其中一个新的更小的区间取每次取每次 “低了与高了低了与高了”数的中数的中点点这种方法叫二分法，也叫对分法这种方法叫二分法，也叫对分法用途它在查找电线、水管、气管等管道用途它在查找电线、水管、气管等管道线路故障中有广范应用线路故障中有广范应用问题问题: 函数函数f(x)=lnx+2x-6f(x)=lnx+2x-6有无零点有无零点? ?若若有有, ,则有几个零点则有几个零点? ?试说明理由试说明理由. . 分析分析

3、 思路一思路一 直接解方程直接解方程lnx+2x-6=0;思路二思路二利用计算机作出函数利用计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的图象的图象; 思路三思路三 利用计算器算出一些函数值利用计算器算出一些函数值, ,再再结合函数的单调性结合函数的单调性. .(不可行不可行)(最常用最常用)(可行可行，近似值近似值且精确度有限且精确度有限)8642-2-4-6-8-55101532f x 0解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x x、f(x)f(x)的对应值表的对应值表问题问题: 函数函数f(x)=lnx+2x-6f(x)=lnx+2x-6有无零点有无零点? ?若若有有, ,则有几个

4、零点则有几个零点? ?试说明理由试说明理由. . 由图可知由图可知:f(2)0,因此在区间因此在区间(2,3)上有零点上有零点, ,又可证又可证f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+(0,+）上是单调递）上是单调递增的，故它仅有一零点。增的，故它仅有一零点。x123456789f(x) -4-1.30 1.093.385.607.799.9412.0714.19-322.5+-2.75+-322.5+-+-23已知已知f(2)0，求方程，求方程f(x)=lnx+2x-6=0的的35 . 20)3(, 0)5 . 2(1 xff-2.52.7557. 25 . 20)75. 2(, 0)5 .

5、 2(1 xff+625. 25 . 20)625. 2(, 0)5 . 2(1 xff 如此下去，我们是否会得到方程如此下去，我们是否会得到方程lnx+2x-6=0的根？的根？近似解近似解根根对于在区间对于在区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a) f(b)的函数的函数 y=f(x) ，通过不断，通过不断地把函数地把函数f(x)的零点所在的区间一分为的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逼近零点，进而二，使区间的两个端点逼近零点，进而得到零点近似值。得到零点近似值。 对于在对于在区间区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a) f(b)的函数的函数 y=f(x) ，通过不断，通过不断地把

6、函数地把函数f(x)的零点所在的区间一分为的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逼近零点，进而二，使区间的两个端点逼近零点，进而得到零点近似值。得到零点近似值。 根基根基对于在对于在区间区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a) f(b)的函数的函数 y=f(x) ，通过，通过不不断地把函数断地把函数f(x)的零点所在的区间一分的零点所在的区间一分为二为二，使区间的两个端点逼近零点，进，使区间的两个端点逼近零点，进而得到零点近似值。而得到零点近似值。 根基根基主干主干对于在对于在区间区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a) f(b)的函数的函数 y=f(x) ，通过，通过不不断地把函数断

7、地把函数f(x)的零点所在的区间一分的零点所在的区间一分为二为二，使区间的两个端点逼近零点，进，使区间的两个端点逼近零点，进而而得到零点近似值得到零点近似值。 根基根基主干主干终端终端5 . 25625. 2或x次数次数区间长度：区间长度：12340.5所以方程的近似解为所以方程的近似解为:2abb a()2abf2.5-0.084a取取b2.53( 2 .5 , 3 )0.250.1250.06252.750.5122.6250.215(2.5,2.625)0.0662.5625(2.5,2.5625)2.52.752 3( ) ln26f xxx由于|2.5625-2.5|=0.06250

8、.12.52.752.652.5625 .3262ln1.0近似值，零点在，求给定精确度xxxf 问题问题： 初始区间（2，3）且0)3(, 0)2(ff(2.5, 2.75)5 . 25625. 2或x次数次数区间长度：区间长度：12340.5所以此函数零点的近似值为:2abb a()2abf2.5-0.084a取取b2.53( 2 .5 , 3 )0.250.1250.06252.750.5122.6250.215(2.5,2.625)0.0662.5625(2.5,2.5625)2.52.7523( ) ln26f xxx由于由于|2.5625-2.5|=0.06250.12.52.75

9、2.652.5625( 2 .5 , 2 .7 5 )定区间找中点中值计算看两边同号去，异号算零点落在异号间周而复始怎么办? 精确度上来判断. .3262ln1.0近似值，零点在，求给定精确度xxxf 问题问题： 初始区间（2，3）且0)3(, 0)2(ff问题：如若要求精确度为如若要求精确度为0.01，零点又如何，零点又如何？ 此时区间此时区间(2.53125,2.5390625)的长度的长度|2.5390625-2.53125|=0.00781250.01,所以原方程的近似解为所以原方程的近似解为 f(2.5)00(2.5,3)x (2.5)0,(2.75)0ff0(2.5,2.75)x

10、(2.5)0,(2.625)0ff0(2.5,2.625)x (2.5)0,(2.5625)0ff0(2.5,2.5625)x (2.53125)0,(2.5625)0ff0(2.53125,2.5625)x 02.53125x 如此继续下去，得如此继续下去，得(2.53125)0,(2.546875)0ff0(2.53125,2.546875)x (2.53125)0,(2.5390625)0ff0(2.53125,2.5390625)x (1)确定区间确定区间a,b，验证，验证f(a)f(b)0,给定精确度给定精确度；(3)计算计算f(c)； (2)求区间求区间(a,b)的中点的中点c；

11、若若f(c)=0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；若若f(a) f(c)0，则令，则令b= c（此时零点（此时零点x0(a, c) );若若f(c) f(b)0，则令，则令a= c（此时零点（此时零点x0( c, b) ).4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|,则得到零点则得到零点近似值近似值a(或或b);否则重复步骤否则重复步骤24用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤: :二分法只能用来求变号零点二分法只能用来求变号零点温馨温馨提示提示BD对于连续函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下:f(2007)0,f(2008)0,则下列叙

12、述正确的是().A.函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点B.函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点C.函数f(x)在(2008,2009)内存在零点,并且仅有一个D.函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点2D【解析解析】f(2007)f(2008)0不能说明不能说明函数函数f(x)在在(2007,2008)内内无零无零点点,A错错;又又f(2009)0,f(2008)f(2009)0,故故f(x)在在(2008,2009)内内存在零点存在零点,但但不能不能说明说明仅有一个仅有一个零点零点,故故B、C错错;选选D.22练习练习：小明同学在借助计算器求小明同学在借

13、助计算器求“方程方程lgx=2-x的近似的近似解（精确度解（精确度0.1）”时，设时，设f(x)=lgx+x-2, 算得算得f(1)0;在以下过程中，他用在以下过程中，他用“二分法二分法”又又取了取了4个个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是断：方程的近似解是x=1.8.那么他所取的那么他所取的x的的4个值个值中最后一个值是中最后一个值是_.1.812 5用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,得到数据如下:【解析解析】由表中由表中f(1.5625)=0.003,f(1.5562)=-0.029,又又|1.5625-1.55625

14、|=0.006250.01,可知该函数的一个零点的近似值为可知该函数的一个零点的近似值为1.55625.用二分法求方程的近似解练习若函数练习若函数f(x)x3x22x2的一个正数零的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260 f(1.437 5)0.162 f(1.406 25)0.054那么方程那么方程x3x22x20的一个近似根的一个近似根(精确度精确度0.1)为为_口口 诀诀定区间，找中点，定区间，找中点， 中值计算两边中值计算两边看看同号去，异号算，同号去，异号算， 零点落在异号间零点落在异号间. .周而复始怎么办周而复始怎么办? ? 精确度上来判断精确度上来判断. . 如果沿着线路一小段一小段如果沿着线路一小段一小段查找，查找，困难很多。困难很多。每查一个每查一个点要爬一次电线杆子，点要爬一次电线杆子，10km10km长，大约有长，大约有20020