313　空间向量基本定理

1、问题情境问题情境 平面向量基本定理表明，平面内任一平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，那么，性表示，那么， 空间任一向量能用三个不共线的向量空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗？来线性表示吗？构建数学构建数学1. .复习平面向量基本定理的内容及其理解复习平面向量基本定理的内容及其理解 如果如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量平面内的任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1， 2，使得使得1e1 122aee 2e a2类比平面向量

2、基本定理，得出空间向量基本定理类比平面向量基本定理，得出空间向量基本定理（1）空间向量的基本定理）空间向量的基本定理123123.eeepxyzpxeyeze 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在一个惟一的有序实数组（ ， ， ）,使 （2）空间向量基本定理的证明）空间向量基本定理的证明（4）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底（5）如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基）如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位底叫做正交基底，

3、特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 ， ， 表示表示（6）推论：设）推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点是不共面的四点，则对空间任一点P，都，都存在惟一的三个有序实数存在惟一的三个有序实数x，y，z，使使 （3）如果三个向量）如果三个向量 ， ， 不共面，那么空间的任一向量都可不共面，那么空间的任一向量都可由由 ， ， 线性表示，我们把线性表示，我们把 ， ， 叫做空间的一个基叫做空间的一个基底底 ， ， 叫做基向量叫做基向量1e2 e3 e1e2 e3 e1e2 e3 e1e2 e3 e

4、OPxOAyOBzOCij k数学应用数学应用1 -.OADB CA D BEABODMODCEOA OBOCODOM例如图，在正方体中，点 是与的交点，是与的交点，试分别用向量，表示和 111333ODOA OB OCOMOAOBOC 解：OACMEDBADB2 2.OABCOBACMNOABCGMNMGGNOA OBOCOG例如图，已知空间四边形，其对角线， ， 分别是对边，的中点，点 在线段上，且，用基底，表示向量 212()32312 11 ()23 22111()2331116331163OG OMMG OMMNOAONOMOAOB OCOAOAOB OCOAOAOBOCOGOAOB

5、解： 13OC?A?B?C?O?M?N?G练一练练一练（1）作业：课后练习）作业：课后练习1，2，3（2）如图，空间平移）如图，空间平移ABC到到A1B1C1，连接对应顶点，已知，连接对应顶点，已知 ，且，且M是是BC1的中点，的中点，N在在AC1上，上，12ANNCabcMN ，试用向量 ， ， 表示1AAaAB bAC c ， ， 回顾小结回顾小结本节课学习了以下内容：本节课学习了以下内容：1掌握空间向量基本定理及其推论；掌握空间向量基本定理及其推论；2. 理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示； 3在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量；在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量；4思想方法上，我们采用了类比的思想由平面向量的基本定理思想方法上，我们采用了类比的思想由平面向量