电磁场数值计算6-西安交通大学电气工程学院

1、第六章 矢量有限元法 引起伪解的原因有多种：由于未强加矢量函数的散度条件而引起；材料界面和导体表面强加边界条件不方便；导体和介质边缘及角等结构的奇异性引起的。 矢量有限元是给单元的棱边赋予自由度，取代结点自由度，也称棱边元、矢量元。上个世纪60年代就有人提出过这些类型的单元，但它们在电磁场的应用及其重要性直到上个世纪80年代才被认识到。棱边元可以有效地消除伪解问题，一开始它被应用于解电磁散射中的电场积分方程的解中，后来被用于有限元解中。下面介绍最基本的矢量有限元法或称棱边单元法，它适用于无通量源的区域，即场量的散度为零的区域。§61 二维棱边元 从最简单的矩形单元入手介绍棱边元的概念

2、。6.1.1 矩形单元单元的每一棱边赋予一个不变的切向场分量，分别是棱边1和2的电场分量，分别是棱边3和4的电场分量，是矩形单元的中点， 、分别是沿y、x方向上的线性插值（这里，E可以代表其它未知函图6-1 矩形棱单元 数，不一定是电场）。那么，单元中任一点的场为 ， ，整理得到： (6-1) (6-2)写成矢量形式 (6-3)式中，表示沿第i个棱边的切向场分量，是矢量插值函数，也称矢量基函数，它们由下面公式给出 (6-4)矢量基函数具有与前述基函数相同的性质：基函数的重要性：（类似于有限元节点法）（1）当场点在第i边上，只有有切向分量，在其它所有边都等于零，即棱边i上的场量不受其它棱边场量的

3、影响，所以，切向场的连续性得到了保证。如当i =1，时，与无关；注意，（法向分量）仍存在）。（2）每一函数在单元范围内满足散度条件，因此不需要强加散度约束条件。 (6-5) 因此，在无源区中，即散度等于零的场用这种方法是适合的。 （3）每一函数的旋度容易求得，都是非零的常数：， ， ， (6-6)如果场量是矢量位函数，可由此计算磁感应强度。（4）是另一组矢量基函数，它们保证了法向连续性，与相比，函数具有非零散度和零旋度，可以用来表达面电流密度，被用于积分方程法的矩量法中。（可以不讲）6.1.2 三角形棱单元设 (6-7)这里的不是三角形棱单元的基函数，故用表示。为了得到基函数，先构造一个矢量函

4、数（Whtney函数） (6-8) 构造的函数也具有零散度及相邻单元场量的连续性。容易证明有以下性质 图6-2 三角形棱单元 (6-9) 和 (6-10) 证明： 根据矢量恒等式 及 ，所以证毕 在棱边1上，设是由结点1指向结点2的单位矢量，是线性函数，根据节点法中基函数性质，当任一节点从结点1到结点2时，由10线性变化，由01线性变化，结点1至结点2的距离为，因此有（相当于y从10，x从0，斜率，即梯度为，可看成方向导数），是棱边1的长度，在棱边1上 (6-11)即任一点在棱边1上，由面积坐标可以得到说明沿棱边1有一个不变的切向分量，而沿另外两个棱边也没有切向分量。这样具有棱边1所需的所有特

5、性，因此，定义基函数 (6-12)这样的定义使基函数规一化，并无量纲。同理有 (6-13) (6-14) 因此，单元矢量场为 (6-15) 表示第i个棱边的切向场。 基函数矢量图不容易想象，取一典型单元这些函数的矢量图，特点是，一个基函数仅在所相关的棱边上有一个切向分量。如果在圆柱坐标系下，坐标原点在结点3，则从结点1移向结点2而增加，那么，可以表示为 式中，是结点3到棱边1的垂直距离。、也有类似特性。 容易验证， (6-16)用它可以表示任意形状导体的面电流。6.1.3 单元矩阵计算在第三章有限元基础中讲到磁场中的泛函表达式以及波动方程对应的泛函表达式都可以利用棱边元进行离散处理，然后再求泛

6、函的极值，这就是棱边单元法。对应第一项体积分中，矢量有限元的单元矩阵包含下面两种积分 (6-17) (6-18)对于矩形、三角形单元，上两式有解析解，但对任意四边形单元要用数值解。 对于矩形单元 （6-19） （6-20）对于三角形单元，积分式（6-17）比较简单，将 （6-21）代入，即可得 （6-22）而式（6-18）较复杂，可得 （6-23） （6-24） （6-25） （6-26） （6-27） （6-28）式中，。§62 三维棱边元二维的公式可以直接推广到三维中去，仍然先考虑矩形块单元。6.2.1 矩形块单元如图所示，单元中心位于（），与二维类似，单元内的场分量为 （6-2

7、9）其中 图6-3 矩形块棱单元棱边i结点i1结点i2123456789101112145815261243236748375687表6-1 矩形单元的棱边定义 如果用表6-1定义棱边数，那么，展开式可以写为 （6-30）其中，当i = 1，2，3，4时 ， ， （6-31） 同样，矢量基函数有零散度和非零旋度；单元平面上的切向场由单元棱边上的切向场决定，因此，式（6-30）不仅保证了穿越棱边时的切向连续性，而且保证了穿越单元面的切向连续性。6.2.2 四面体单元在三维有限元法（节点单元）中，给出了线性四面体单元的插值函数，其基函数分别用（）表示： 6-4 四面体棱单元类似于三角形，构造一个矢

8、量函数 (6-32)容易得到 (6-33)同理，设是由结点1指向结点2的单位矢量，是线性函数，根据节点法中基函数性质，当任一节点从结点1到结点2时，由10，由01，结点1至结点2的距离为，因此有 (6-34)以及 (6-35)它表示沿棱边（1,2）有一个常切向分量。另外，因为沿棱边（2,3）、（2,4）、和（3,4）为零，沿棱边（1,3）、（1,4）、（3,4）为零,所以沿这五个棱边没有切向分量。另外，因为在由（2,3,4）定义的单元小平面上为零，在（1,3,4）定义的单元小平面上为零，所以，在这些小平面上也没有切向分量。它的切向分量之出现在包含棱边（1,2）的单元小平面上，即在单元小平面（1,2,3）和（1,2,4）上。因此具有作为与棱边（1,2）相关的棱边场的矢量基函数所需的所有性质。定义矢量