天平平衡原理解简易方程的教学实验及分析

1、天平平衡原理解简易方程的教学实验及分析1广州市天河区教育科学“十一五”规划资助课题（立项批准号：2010X076）邝艳芬广州市天河区华阳小学简易方程安排在小学数学五年级上册，在这之前，他们已经熟练掌握了四则运算的意义、运算顺序和运算定律，并且已经养成了用算术法解决问题的思维定式。然而，在新课程标准实验教材中，解方程不再采用算术法，而是通过天平保持平衡的原理，来寻求对方程的解法，即方程两边同时加上（或减去）相同的已知数以及同时乘以（或除以）相同的已知非零数，左右两边仍然相等。与以前算术方法相比，这是思维上的一次突破，有利于与中学解方程的思路相接轨。为了检验学生对这种思维大转折的适应能力，我们在教

2、学中设计了一系列对比实验，并且针对新课标实验教材中被删去的a-x=b和a÷x=b两种类型方程，做了一些基于天平平衡法的教学尝试。一、实验设计1、实验内容新课程标准实验教材五年级上册简易方程的教学。包括新课标实验教材中有4种形式的方程：a+x =b、x-a =b、ax=b和x÷a=b，另外还补充了以前人教版教材中的两种形式：a-x=b和a÷x=b。2、实验对象广州市华阳小学五年级1-6班，共267名学生。任课教师3名。2个自然班为一组，共分为3个组，每组由1位教师组织教学。3、教学方法第一组只学习算术法解方程，第二组只学习天平平衡原理法解方程；第三组同时学习算术法和

3、天平平衡原理法。4、测试方法采用试卷测试法。本实验测试卷共设6道题，分别代表了6种不同的形式。我们把新课标教材中的4种形式称为A型题，而把补充的两种形式：a-x=b和a÷x=b称为B型题。测试卷中的A型和B型均为一步计算的简易方程，旨在考察学生对简易方程基本解法的掌握程度。测试题如下：(1) 18X=46 (2) X6.71.6 (3) 52X15(4) X÷31.5 (5) 40÷X50 (6) 1.4X7用SPSS statistics统计分析软件对测试成绩进行相关性分析。二、实验结果及分析1、学生对两种方法的偏好性图1 学生对解方程方法选择的偏好性题型A：a

4、+x =b、x-a =b、ax=b和x÷a=b；题型B：a-x=b和a÷x=b 为了检验学生对天平原理法的接受意愿程度，我们引导一个组的学生同时学习了算术法和天平平衡法，让他们在解方程时自主选择。评卷时根据答题过程判断学生采用的方法。统计结果表明，大多数学生选择了他们所熟悉的算术法，占了67.0%（图1）。对于小学生而言，四则运算的相关知识早已牢固掌握，然而天平原理却是一个全新的知识架构，基于思维定式的原因，大多数学生选择算术法来解方程是可以理解的。在未受到外界倾向性压力的影响，有33%的学生自主选择了天平原理的方法，这个比例其实已经不小了。这一方面体现了这些学生对这种新思

5、维方法更为感兴趣，另一方面也表明了他们对驾驭这种方法的自信程度。对于A型题和B型题，学生对算术法和天平原理法的偏好程度有着明显的差异。实验结果表明，选择天平原理解A型题的有38.7%，而对于B型题，这个比例下降到了22.6%。B型题的难度明显大于A型题，也许这就是影响学生选择的主要因素。也就是说，在遇到难度大的问题时，学生会很自然地选择他们所熟悉的有把握的方案来应对。2、两种方法对解A类型方程的效果比较新课标五年级上学期教材中，简易方程有a+x =b、a-x=b、x-a =b和ax=b等4种形式。在教学过程中试图通过天平平衡原理，来渗透“等式的基本性质”，但却并没有明确“等式的基本性质”的概念

6、和内容。为了检验这种新的教学方法的效果，我们设置了一组对比教学实验，即一个组学习算术法解方程，另一个组学习天平原理法解方程。A型题测试结果表明，两组学生都能很好地掌握并应用各自所学的方法，得分率分别是97.67%和95.97%（图2），学习算术法的那一组稍高，但统计结果显示二者并无显著性差异。这组实验结果表明，通过天平平衡原理来对小学五年级的学生渗透“等式的基本性质”是可行的，学生完全可以适应这种思维方式的转变。图2 两种方法解简易方程的效果比较A：a+x =b、a-x=b、x-a =b和ax=b等4种形式；B：a÷x=b和x÷a=b 2种形式3、天平原理法对B型题的教学尝

7、试B型题指的是a-x=b和a÷x=b两种形式的方程。在小学阶段，以前一直采用算术法来解简易方程，因此这两种形式的方程并不显得很特别，但是现在新课标要求用天平原理法来解方程，由于学生缺乏一些相关知识（比如有关负数知识），因此在引导学生学习上会有一些障碍，为了克服这些障碍，我们在教学上做了一些新的尝试。我们采用的方法是：（1）引入增减未知数的概念，对于a-x=b，可以在方程的两边同时加上一个未知数x，得到a= b + x，左右两边调换位置转化为x+b =a，此时就把a-x=b转化成了a+x =b的形式；(2)引入乘以（或除以）未知数的概念，对于 a÷x=b，天平两边同时乘以一个

8、未知数x，得到a= b×x，左右两边调换位置得：bx=a，即转化成了ax=b的形式。试卷测试结果表明，对于B型题，学习算术法组的得分率要高于天平原理组，分别是89.53%和79.96%，统计分析显示在0.05水平二者存在显著性差异。因此，对于B型题，算术法显示出了一定的优势。实际上，即使是学习算术法的那一组， B型题的得分率也明显低于A型题，分数分别是97.67%和89.53%，在0.05水平也有显著性差异（图2）。因此，这可能不再是单纯的方法问题了，我们还应该从题型的难度方面加以分析。首先，对于加、减、乘、除四则运算，学生对加法和乘法意义的理解，及计算方法的掌握一般都优于减法与除法

9、，在a+x =b、a-x=b、x-a =b、ax=b、x÷a=b、a÷x=b六种形式的方程中，a+x =b属于加法，ax=b属于乘法，无论用哪种方法来解，学生都感觉非常容易。减法的意义是：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，即减法是加法的“逆”运算；除法的意义是：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，即除法是乘法的“逆”运算。由减法和除法的意义可知，学生用算术法来解x-a =b， x÷a=b，正好体现了“逆”运算的本质，所以学生解这两种类型的方程也觉得很好理解。而对于a-x=b、a÷x=b，要运用“减数=被减数-差”和“除

10、数=被除数÷商” 两个关系式，学生对这两个关系式的理解程度一般不及对“被减数=差+减数”“被除数=商×除数”的理解程度。因此，相比之下，以上六种类型的方程中，a-x=b、a÷x=b，难度较大。在用天平原理解以上六种形式的方程时，其中a+x =b、ax=b、x-a =b、x÷a=b是在等式的两边同时加上（或减去）、乘上（或除以）一个相同的已知数，马上就可以求出x，而对于a-x=b 和a÷x=b，无法做到通过加上（或减去）、乘上（或除以）一个相同的已知数来解决问题。本实验中我们尝试在天平平衡原理中引入未知数增减或乘除，有一部分学生在理解上有一定的难度，也是情理中的事情。但是，70%以上得分率的测试结果表明，这种尝试还是取的了一定的效果。三、结论通过以上对比实验及结果分析，我们可以得出如下的结论：1、对于小学五年级的学生，通过天平平衡原理渗透等式