七年级数学暑假班讲义：第13讲因式分解综合(教师版)

1、七年级暑假班<TxT 因式分解综合内容分析本部分内容包括因式分解的有关概念， 因式分解的常用基本方法.因式分解 在代数学习中具有基础作用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方 程方面都起着重要作用.通过学习，可以培养学生的观察、分析、运算能力.知识结构知识精讲一、因式分解基本概念1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 可称为将这个多项式分解因式.2、因式分解与整式乘法互为逆变形:整式乘法m(a b c) ? ma''因式分解mb mc式中m可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因七年级暑假班

2、二、四种基本方法：1、提取公因式法：多项式 ma mb mc各项都含有公因式 m ,可把公因式 m提到外面， 将多项式ma mb mc写成m与a b c的乘积形式，此法叫做提取公因式法.提取公因式的步骤：(1)找出多项式各项的公因式.(2)提出公因式.(3)写成m与a b c的乘积形式.提取公因式法的几个技巧和注意点：(1) 一次提净.视多"为(3)切勿漏1.(4)注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变.(5)化 分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解(6)仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解.2、逆用乘法公式将

3、一个多项式分解因式的方法叫做公式法.(1)平方差公式： 22由平方差公式反过来可得：a b (a b)(a b),这个公式叫做因式分解的平方差公式；(2)完全平方公式： .2_.2,.、22_.2,.、2、.由完全平方公式反过来可得：a 2ab b (a b)和a 2ab b (a b),这两个公式叫做因式分解的完全平方公式.23、十字相乘法：如果二次三项式 x px q中的常数项q能分解成两个因式a、b的积，而且一次项系数 p又恰好是a b ,那么x2 px q就可以进行如下的分解因式，即 ：222x px q x a b x ab x a x b要将二次二项式 x px q分解因式，就需要

4、找到两个数a、b,使它们的积等于常数项 q,和等于一次项系数 p,满足这两个条件便可 以进行如下分解因式，即：x2 px q x2 (a b)x ab (x a)(x b).这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.4、分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.7 / 181 .下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（2A、 a 3a 3 a 92B、 ab22C、 a 4a 5 a a 452D、 m2m把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解,因此判断B正确.本题主要考查因式分解的概念.2

5、 .下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（_2A、 x ab ax bxB、x 12C、 x2D、 9m6mn24n3m 2nC正确.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断 本题主要考查因式分解的概念.3 .下列各式的分解因式: 100 p2 25q210 5q 10 5q24m2n 2m n 2m n x2 6 x 3A、0B、1C、2D、3其中应该为(10p 5q)(10p5q)应该为（4 m2n2）;不能因式分解.【总结】本题主要考查因式分解的概念.4 .多项式36a3b2 18a2b3 12a2b2各项的公因式是（）八 2 23 3332 2A、a bB、12

6、abC、6abD、6ab【难度】【答案】D【解析】根据公因式的定义.【总结】本题主要考查公因式的概念.2c的值为（5 .已知多项式2x bx c分解因式为2 x 3 x 1 ,则bA、b 3,c1B、b 6,c 2C、 b 6,c4D、b 4,c6【难度】【答案】D【解析】2x3x1 2x2 4x 6 .【总结】考查整式的乘法以及待定系数法.6 .下列多项式中不能用平方差公式分解的是（八2,222A、 a bB、 x y【难度】【答案】B【解析】B选项变形可得 （x2 y2）._222_42 2C、 49x y z D、16m25n p【总结】考查平方差公式的定义.7 .下列各式中，能用完全平

7、方公式分解因式的是（）A、 x y y x 4xy_2_2B、 a 2ab 4b212C、4mm D> a b 2a 2b 14【难度】【答案】D2【斛析】D选项变形为a b 2（a b） 1 .【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用.228. 已知正方形的面积是16 8x x cm ( x 4cm),则正方形的边长是()A、 4 x cm B、 x 4 cmC、 16 4x cmD、 4x 16 cm【难度】【答案】B【解析】J(4x)2 4 x x 4 .【总结】考查二次根式的非负性以及完全平方公式9.分解因式x4 1得()22B、x 1 x 1D、22A、 x 1 x 1C

8、、 x 1 x 1x21【难度】【答案】C【解析】x4 1 (x2 1)(x2 1) (x 1)(x 1)(x2 1).【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解彻底.3310 . 一个多项式分解因式的结果是b 2 2 b ,那么这个多项式是()6666A、b 4B、4 bC、b 4D、b 4【难度】【答案】B【解析】b3 2 2 b3 4 b6.【总结】本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系.n211 .右多项式 2x81能分解成 4x 9 2x 3 2x 3 ,那么n=()A、2B、4C、6D、8【难度】【答案】B【解析】4x2 9 2x 3 2x 3(4x2 9)(4

9、 x2 9) 16x4 81 .【总结】考查整式的乘法以及骞的运算.七年级暑假班12 .如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为 b的小正方形(a b),把余下的部分 剪拼成一个矩形(如图)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）22A、 a 2b a b a ab 2b_, 2 一 ，一 ，一15. 5x 25xy的公因式是【难度】【答案】5x2【解析】5x2 25x2y 5x2(1 5y).【总结】考查如何提取公因式.22B、 aba2abb_, 222C、 aba2abb2, 2,D、 abab ab【难度】【答案】D【解析】割补法求面积.【总结】直接利用面

10、积公式进行求解，这也是验证平方差公式成立的一种方法.13 .直接写出因式分解的结果：(1) x2y2 y2 ； (2) 3a2 6a 3 【难度】【答案】(1) y2(x 1)(x 1)； (2) 3(a 1)2.【解析】(1)原式y2(x2 1) y2(x 1)(x 1)；(2)原式 3(a2 2a 1) 3(a 1)2.【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解.2214 .填上适当的式子，使等式成立：2xy x y xy xy【难度】【答案】2 y x 1 .【解析】2xy2 x2y xy xy (2y x 1).【总结】本题主要考查通过提取公因式进行因式分解，注意不要遗

11、漏提取因式后的1.七年级暑假班16.利用分解因式计算：77(1) 16.8 7.6 =;321622 1.229 1.334=;(3) 5 998 10=.【难度】【答案】(1) 7; (2) 6.32; (3) 5000.【解析】(1)原式 16.8 -7.6 (8.47.6) 16 7216161616(2)原式 1.222 32 1.332 22 (1.22 3)2 (1.33 2)2(1.22 3 1.33 2)(1.22 3 1.33 2)(3.66 2.66)(3.66 2.66) 6.32 ;(3)原式 5 2 499 10 10 499 10 10 (499 1) 10 500

12、 5000 .【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意进行巧算.17 .利用因式分解简便计算：7.292 2.712 .【难度】【答案】45.8.【解析】原式(7.29 2.71)(7.29 2.71) 4.58 10 45.8 .【总结】本题主要考查利用乘法公式进行简便运算.218 .若 x 3x 10 x a x b ,贝(J a=, b=【难度】【答案】a 5 ；比2b2b2 5【解析】x2 3x 10 (x 5)(x 2).【总结】本题主要考查整式的乘法以及待定系数法.17 / 18319 . 分斛因式： m 4m =.【难度】【答案】m(m 2)(m 2).【

13、解析】原式m(m2 4) m(m 2)( m 2).【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解要彻底.20 .已知：若a2 3ab 4b2 0 ,则a的值为.b【难度】【答案】4或-1.【解析】: a2 3ab 4b2 (a 4b)(a b) 0,. (a 4b)(a b) 0.a = 4b 或 a = - b,的值为 4 或-1 .b1 ，一去的值为1021.计算 1【难度】【答案】20【解析】原式【总结】本题主要考查利用因式分解解二次方程.1111(1 2)(1 2)(1 3)(1 3)L (11 3 2 4L 8 10 9 112 2 3 39 9 10 101

14、 1111 2 10 20【总结】本题主要考查利用因式分解进行分数简便运算.一,一,2222.如果已知x y 6 , xy 4 ,贝U x y xy的值为【难度】【答案】24.【解析】x2y xy2 xy(x y) 6 4 24 .【总结】利用因式分解求解代数式的值.22八 2 c 223.右 x y 5, xy 6 贝U x y xy =, 2x 2y =.【难度】【答案】30; 74.【解析】 x2y xy2 xy(x y) 6 5 30； 2x2 2y2 2 (x y)2 2xy 2 25 1274 .【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用.2224.右x

15、y z 2, x y z 8时，x y z=.【难度】【答案】4.【解析】: x2 (y z)2 (x y z)(x y z) 8,又 x y z 2 , . x y z 4.【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用.2 Hm n222425.右 x y = x y x y x y,则 m【难度】【答案】4; 8.【解析】x y2 x y2 x2 y4【总结】考查整式的乘法以及待定系数法.26.已知两个正方形的周长差是96cm,面积差是 960 cm2,则这两个正方形的边长分别是【难度】【答案】32和8.cm.【解析】设较大的边长为 a,较小的边长为b ,由两个正方

16、形的周长差是96cm,面积差是24a960cm2,可得 2 a4b 96a b 242；由此变形可得，b2 960'(a b)(a b) 960'a 32b 8 ,【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形周长和面积求解中的运用.2_227 .已知正万形的面积是 9x 6xy y (x 0, y 0),利用分解因式，与出表不该正万形的边长的代数式.【难度】【答案】3x y .【解析】9x2 6xy y2 (3x y)2 .【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形面积求解中的运用.228 .甲、乙两个同学分解因式x ax b时，甲看错了 b,分解结果为 x 2 x 4 .乙看错了

17、a ,分解结果为 x 1 x 9 ,贝U a =, b =.【难度】【答案】6, 9.【解析】由(x 2)(x 4) x2 6x 8可彳导:a 6,再由 x 1 x 9 x2 10x 9可彳导:b 9 .【总结】考查整式的乘法以及待定系数法，要认真理解题意. .229 .已知a为任意整数,且a 13a2的值总可以被n (n为自然数，n 1)整除，则n的值为.【难度】【答案】13.2【解析】由 a 13a2 (a 13 a)(a 13 a) 13 (2a 13),可得 13 (2a 13)总可以被13整除.【总结】考查数的整除以及平方差公式的运用.230.因式分解：2x x2xy 14y 328

18、y =【答案】(x 4y 1)(x2y3).【解析】方法一：原式2xy8y22x14y 3 (x 4y)(x 2y) 2(x 7y) 3(x4y1)(x2y3)；方法二：原式(x1)22y(x21) 8y2212y 4 (x 1)2 2y(x 1) 4(2y 1)(y 1)(x4y1)(x2y 3).【总结】本题综合性较强，主要利用分组分解法以及添项或者双十字相乘进行分解.31.在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？(1) x3 x 3x29；(2)x25x 24 x 3 x 8 ；221(3) x2x 3 xx23；(4)x1 x x .x【难度】【答案】(1)不是；(2)是；(3)不

19、是；(4)不是.【解析】(1)乘法公式；(3)没有表示成乘积的形式；(4)因式不是整式.【总结】本题主要考查因式分解的概念.32 .把下列各式因式分解：4c 32c 3,、233 222 2(1) 8x y 6xy 2x y ；(2)x x y2 y x ；(3)45a bc 9a bc 54a bc ;33 .把下列各式因式分解：(1)a2 4a 4;(2) 4m2 9n2;2222(3) a 2b 2a b ;(4) x 4y 4xy .【难度】【答案】(1) (a 2)2； (2) (2m 3n)(2m 3n) ; (3)3(a b)(a b) ; (4) (x 2y)2 .【解析】(1

20、)原式(a 2)2； (2)原式(2 m 3n)(2m 3n);(3)原式(a 2b 2a b)(a 2b 2a b) ( a b)(3a 3b)3(a b)(a b);(4)原式 (x2 4y2 4xy) (x 2y)2 .【总结】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，注意对公式的准确运用.34.把下列各式因式分解：(1) a6 16a2;54 33 5(3)a b 18ab 81a b ；【难度】【答案】(1) a2(a 2)(a 2)(a2 4)；32 2(3) a3b(a 9b2)2；【解析】(1)原式a2(a4 16) a2(a2 4)(a2 4) a2(a(2)原式(a b)3(a

21、 b a b) 2(a b)4；(3)原式 a3b(a2 18ab2 81b4) a3b(a 9b2)2；433(2) a b a a b b b a,.、42(4) 16x8x1 .-4(2) 2(a b)；22(4) (2x 1)2(2x 1)2.22)(a 2)(a2 4)；(4)原式(4x2 1)2 (2x 1)2(2x 1)2.【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解一定要彻底.35.把下列各式因式分解:(1) 2x2 -y2;232(3) a a 2b 2a b;42 24(2) x 5x y 4y ;,、22【难度】【答案】(1) 2(x 2y)(x

22、12 y);(3) (a 1)(a 1)(a 2b);【解析】(1)原式2(x2 -y2)4(2)原式(x2 4y2)(x2(2) (x 2y)(x 2y)(x y)(x y);(4) (x y 3)(x y 1).2(x1,1二 y)(x 二 y)；222、y ) (x 2y)(x 2y)(x y)(x y)；(3)原式2-a (a 2b) (a 2b)2-(a 1)(a 2b) (a 1)(a 1)(a 2b)；(4)原式2_(x y) 2(xy) 3 (x y 3)(x y 1).【总结】考查利用不同的方法进行因式分解,注意分解要彻底，分到不能再分解为止.(4) x 2xy y 2x 2

23、y 3 .(4)原式(x2、，24x 4)(x 4x224) (x 2)2(x 2)2.36 .把下列各式分解因式:322.2. 2(1) a2a bab ;(2)ax y b yx ；【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止.七年级暑假班22(2) x 6xy 16y ；2(3) x y 2 y x 80 ;【难度】【答案】(1) (x 1)4；(3) (x y 10)( x y 8);【解析】(1)原式 (x2 1 2x)2 (x,2,22(4) 4x 4xy y z .(2) (x 8y)(x 2y);(4) (2x y z)(2x y z).1)4；(

24、2)原式(x 8y)(x 2y);(3)原式 (x y 10)( x y 8);(4)原式(2x y)2 z2 (2x y z)(2 x y z).【总结】考查利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用.38.把下列各式因式分解：(1) a3 2a2b ab2；2(2) x y 2 x y 1 ；/八、2(3) 9ab 16 a b.22(4) x 4xy 4y x 2y 6 .【难度】【答案】(1) a(a b)2；(3) (a 7b)(7a b);，一 2(2) (x y 1)；(4) (x 2y 3)(x 2y 2).【解析】(1)原式a(a2 2ab b2) a(a b)2 ；37

25、.把下列各式因式分解:2422(1) x 1 4x x 1 4x ;21 / 18(2)原式(x y 1)2；b)；(3)原式(3a 3b 4a 4b)(3a 3b 4a 4b) ( a 7b)(7a b) (a 7b)(7a(4)原式(x 2y)2 (x 2y) 6 (x 2y 3)(x 2y 2).【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意代数式系数的化简.39.运有简便的方法计算：75 2.62 12 3.52.【难度】【答案】360.【解析】原式3 5 5 2.62 2 2 3 3.52 3 132 3 72 3 (13 7)(13 7)3 6 20 360.【总结】本题主要考查利用

26、数的质因数分解以及平方差公式和提取公因式进行简便运算.40 .利用简便方法计算下列各题： 22(1) 991 1009；(2) 20114022 2010 2010 .【难度】【答案】(1) 999919; (2) 1.【解析】(1)原式 (1000 9)(1000 9) 1000000 81 999919;(2)原式 20112 2 2011 2010 20102 (2011 2010)2 1 .【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算.41 .利用分解因式进行计算：3.46 14.7 0.54 14.7 29.4.【难度】【答案】29.4.【解析】原式14.7 (3.46 0.5

27、4 2) 14.7 2 29.4 .【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算.121 2 .42 .已知：a b 2,求1aab 1b的值.22【难度】【答案】2.2.【解析】原式1(a22abb2)1(ab)2,把a b2代入，得：a2ab b22222【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用.3- 2 23 ,43.已知：x y 1, xy 2 ,求 x y 2x y xy 的值.【难度】【答案】2.【解析】x3y 2x2 y2 xy3 xy(x2 2xy y2) xy(x y)2 2 1 2.【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用.

28、44.已知：ab - , ab 3 ,求 a3b 2a2b2 ab3 的值. 28【难度】16【解析】a3b 2a2b2 ab3 ab(a2 2ab b2) ab(a b)2 3 -.8 2 16【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用.一乙一，245.已知：x x 1 x y【难度】【答案】2.【解析】由x(x 1) (x2 y)222,求-y- xy的值.2一 222 ,可得 x x x y 2,即 yx 2.22222x y xy x y 2xy (x y)2222.【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用.七年级暑假班46.若 4x4 axb

29、x240x1600是完全平方式，求a与b的值.【解析】设2(mxnxb22l)a2a3b315亭b4则(mx2nxl)2由此可得:2 m2mnn 2ml bl2 16004;4x ax32mnxbi2bx40x 1600 ,2. 2nx l22mlx2nlx11mi,240122I2n2m3,440122ai 1a2 1a3【总结】本题综合性较强，难度较大,1 1592b21 ； 1602b311 ；159 2b411 .1602主要考查利用完全平方公式以及待定系数法求解，注意符号和分类讨论.347. 199199能被198整除吗？能被 200整除吗？说明你的理由.【难度】【答案】能.【解析】因为 1993 199 199(1992 1) 199(199 1)(199 1) 199 198 200