高数不定积分应用

1、第第 24 讲讲. . 定积分的应用定积分的应用2013. 12. 11n 什么问题可用定积分解决？什么问题可用定积分解决？n 定积分的几何应用定积分的几何应用n 如何将实际问题转化为定积分？如何将实际问题转化为定积分？ 概要概要从曲边梯形面积的求法可看出，量从曲边梯形面积的求法可看出，量 S 具有如下具有如下特点特点：1 ) S 是与区间是与区间 a , b 有关的量；有关的量；2 ) S 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通过即可通过分分、匀匀合合、精精四个步骤将四个步骤将 S 写成写成3 )iixifS )( 且误差须是且误差须是ix 的高阶无穷小，的高阶无穷小，.

2、 0 )( lim0 iiixxxifSi 即即则则 A 可以用定积分来计算可以用定积分来计算. .一般地一般地, , 在实际问题中在实际问题中, ,若所求量若所求量 A 满足以上三条，满足以上三条， niixif10 )( lim niiSS1 1、什么问题能用定积分解决？什么问题能用定积分解决？2、如何将实际问题转化为定积分？如何将实际问题转化为定积分？第一步第一步第二步第二步上取定积分上取定积分. .小区间上部分量小区间上部分量 A, x确定其变化范围确定其变化范围求出该求出该的近似值的近似值称之为称之为积分微元积分微元, 第三步第三步 , a b即即. , ba在在 a , b 内任取

3、一小区间内任取一小区间, , xxx , )( xxfA 记为记为. d )( dxxfA 以以 A 的微元为被积表达式的微元为被积表达式, , 在在. d )( baxxfA微元法微元法选定一个积分变量选定一个积分变量, 比如比如上述分析法称为：上述分析法称为： 、元素法、元素法例例 1. xxx d x如图所示，细直合金金属棒密度分布函数为如图所示，细直合金金属棒密度分布函数为, 26 )( xx 求其质量求其质量 M。 解：解： 质量微元质量微元 d ) 26 ( dxxM 故故 6 2 d ) 26( xxM. 80 o2 6xyzO例例 2. 求椭圆求椭圆 1)(2222 byaax

4、绕绕 x 轴旋转所得椭球的轴旋转所得椭球的积分变量积分变量 怎么选？怎么选？对应的体积微元是什么？对应的体积微元是什么？微元怎么算？微元怎么算？ f (x) 是什么是什么 体积体积 V。xxx d xyzO解：解： 体积微元体积微元xaaxbV d )(1 d222 故故 axaaxbV2 0 222 d )(1 3 42ba 例例 2. 求椭圆求椭圆 1)(2222 byaax绕绕 x 轴旋转所得椭球的轴旋转所得椭球的体积体积 V。（底面半径为（底面半径为y高为高为xd的圆柱）的圆柱）练练. 求函数求函数 )( , 0 )(bxaxfy 绕绕 x 轴旋转所得立轴旋转所得立解：解： 体积微元体

5、积微元xyV d d2 因此因此 d )( 2 baxxfV xxx d xyzO体的体积体的体积 V。xxf d )( 2 练练. 求函数求函数 )( , 0 )(dycyx 绕绕 y 轴旋转所得立轴旋转所得立解：解： 体积微元体积微元yxV d d2 因此因此 d )( 2 dcyyV 体的体积体的体积 V。yy d )( 2 xoy)(yx cdy例例 3. 判断曲线判断曲线解：解： d 1 2 xyV 上式右端广义积分收敛，上式右端广义积分收敛， 其值为其值为) ) , 1 ( ,1 xxy. 绕绕 x 轴旋转所轴旋转所 得立体的体积得立体的体积 V 是否有限值。是否有限值。. d 1

6、 2 xx 加百利号角（加百利号角（Gabriels Horn），根据宗教传说，天使长），根据宗教传说，天使长加百利吹号角以宣布审判日（加百利吹号角以宣布审判日（Judgment Day）的到来。）的到来。 摘自维基百科.3. 参数曲线所围图形的面积计算参数曲线所围图形的面积计算设曲线设曲线 G G 的参数方程为：的参数方程为：若若 x (t), y (t) 有有连续的导数连续的导数，. , )( , )( tty ytxx且导数不同时为且导数不同时为 0, 若若 y 0, 且当且当 x 由由 a 变到变到 b 时，时， t 严格单调地由严格单调地由 变到变到 ，则由曲线则由曲线 G G, x

7、 = a, x = b 所围成的曲边梯形的面积为：所围成的曲边梯形的面积为： d )( xxtySba . d )( )( ttxty G G 为为光滑曲线光滑曲线。则称则称例例 4. 椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为, 2 0 , sin , cos ttbytax求其面积求其面积 S 。图形关于坐标轴对称图形关于坐标轴对称，解：解： 2 0 t时时， cos tax 严格单调，严格单调， 因此因此 . d cos sin 4 0 2 ttatbS 且当且当. ab 例例 5. 求由摆线求由摆线 , )cos1(, )sin(tayttax )0( a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面

8、积轴所围平面图形的面积 .)cos1(ta 解解:ttad)cos1( ttad)cos1 (2022 ttad2sin42042 uuadsin8042 uuadsin162042 216a 43 212 23 a 20Axyoa2例例 5. 求由摆线求由摆线 , )cos1(, )sin(tayttax )0( a的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .)cos1(ta 解解:ttad)cos1( ttad)cos1 (2022 ttad2sin42042 uuadsin8042 uuadsin162042 216a 43 212 23 a 20A dcos20t

9、tn ttndsin20 . 12 , ! ! !)!1(2 , 2 ! ! !)!1(knnnknnn Zkxyoa2例例 6 . 计算摆线计算摆线 )cos1()sin(tayttax)0( a的一拱绕的一拱绕 x 轴轴旋转围成的立体体积旋转围成的立体体积 V.解解:xyVad202 利用对称性利用对称性 2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1(2033 ttad2sin16063 uuadsin322063 332a 65 43 212 325a ay4. 极坐标的建立极坐标的建立在平面内取一个定点在平面内取一个定点 O, ,O叫作叫作极点极点, 引一条射线

10、引一条射线 Ox ,x叫做叫做极轴极轴， 再选定一个长度单位再选定一个长度单位和角度的正方向和角度的正方向( (通常取逆时针方向通常取逆时针方向) )这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系M( , ) 称为点称为点 M 的极径，的极径，称为极角称为极角， 称为点称为点 M 的的( , ) . , 2 0, 或或极坐标。极坐标。特殊图形的极坐标方程特殊图形的极坐标方程 , 0 表示起点在极点的射线。表示起点在极点的射线。 , 0 rr 表示圆心在极点半径为表示圆心在极点半径为 0 r的圆。的圆。 , 1 0 表示顶点在极点的角形区域。表示顶点在极点的角形区域。 , 1 0 rrr 表示

11、圆心在极点的环形区域。表示圆心在极点的环形区域。 极坐标与直角坐标的转换公式：极坐标与直角坐标的转换公式：. sin , cos ryrx 5. 极坐标下图形面积的计算极坐标下图形面积的计算考虑由考虑由 ) ( , , 1 0 rr 围成的图形，围成的图形， 简称简称曲边扇形曲边扇形。求其面积求其面积 S。 ) ( rr 0 1 Ox 应用微元法：应用微元法： 为积分变量为积分变量,取取面积微元面积微元 . d )( 21 d2 rS 因此因此 . d )( 21 1 0 2 rSttadcos82042 例例 7. 计算心形线计算心形线所围图形所围图形的面积的面积 S。 解解:)0()cos

12、1( aar xa2o d d) cos1(2122 a 02S 02a d2cos44(利用对称性利用对称性)2 t令令 28a 43 212 223a 练练 1 . 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于相应于 0 2 一段与极轴围成的图形的面积一段与极轴围成的图形的面积 . 解解:) 0( aar xa2o ar d)( 21220rS 3 232 a0 2 . 3423a d)( 21220 a 6.6.曲线弧长的计算曲线弧长的计算如图如图，xyOBA)(0M)(nM1M1 nM2 nM. | | max1 1iiniMM 记记 | | lim1 10 niiiMM 若若存在存在，则称曲线

13、段则称曲线段 AB 可求长可求长，结论：结论： 光滑曲线可求长。光滑曲线可求长。2M称极限值为曲线段称极限值为曲线段的的弧长弧长。xyOBA)(0M)(nMiM1 iMix ) () ( | |221iiiiyxMM ) d() d ( d22yxs 设已知曲线光滑，其参数方程设已知曲线光滑，其参数方程为为. , )( , )( tty ytxx则则 d ) ( d ) ( d22 tty ttxs d ) ( ) ( 22 ttytx 22 d ) ( ) ( ttytxs 22 d ) ( ) ( ttytxs6.6.曲线弧长的计算曲线弧长的计算 d )( ) d ( d2 2xxfxs

14、若光滑曲线的参数方程若光滑曲线的参数方程为为, , )( , )( tty ytxx则弧长微元则弧长微元为为. d ) ( ) ( 22 ttytx 若曲线方程为若曲线方程为则弧长微元为则弧长微元为, , )( bxaxf y sin ) ( d cos ) ( d d2 2 rrs 若曲线方程为若曲线方程为则弧长微元为则弧长微元为, , ) (1 0 r r. d ) ( ) ( 22 rr . d )( 1 2 xxf ) d() d ( d22yxs 6.6.曲线弧长的计算曲线弧长的计算例例 8. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)()/(

15、chbxbcxcy 下垂成悬链线。悬链线方程为下垂成悬链线。悬链线方程为求这一段弧长。求这一段弧长。解解:xysd1d2 xcxdsh12 xcxdch bxcxs0dch2 cxc sh20bcbcsh2 2chxxeex )(ch x2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy d222aa 例例 9 . 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于相应于 0 2 一段的弧长一段的弧长 . 解解:) 0( aar xa2o ar d)()(d22rrs d12 a d1202 as 212 a 21ln21 02 )412ln(24122 aa用公式用公式练练 2. 求连续曲线段求连续曲线段ttyxdcos2 解解:,0cos x22 xxysd1222 的弧长的弧长.xxd)cos(12202 xxd2cos2220 2sin2 22x . 4 02 解：解： 表面积微元表面积微元syS d 2 d 因此因此 d )( 1)( 2 2 baxxfxfS xxx d xyzOxxfy d )( 1 22 tttd)()(22 S)(2t 参数方程下，参数方程下，例例10. 求函数求函数 )( , 0 )(bxaxfy 绕绕 x 轴旋转所得立轴旋转所得立体的表面积体的表面积 S。例例 11. 判断曲线判断曲线解：解： d )