2020高三数学一轮复习(人教版文)：圆的方程

1、第三节圆的方程2019 考纲考题考情1.圆的定义(1) 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。(2) 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。2.圆的标准方程(xa)2+ (y b)2= r2(r 0)，其中(a, b)为圆心坐标，j 为半 径。3.圆的一般方程x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0 表示圆的充要条件是 D2+ E2 4F 0, 其中圆心为-D，-界半径 r 尺了-4F。4.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(x a)2+ (y b)2= r2,点 M(x, y),(1) 点在圆上：(x0a)2+(y0b)2=2。(2) 点在圆外： 他一a)2+(

2、y0b)2 r2。(3) 点在圆内：(x0a)2+(y0b)2vr2。着矗举例考向标签1,辈挝握砒阅的儿忖些索，關的杯雎方程 与一姬打段亂协曲了 H用牝 Ik 击祛业即几何问题的思製如诃全 E 卷卩T 阿人训的力程卜 2OU 天冷陆奇* T/岡的 Q 弄 馆 1T 奎目-T1DU,(圆的力利201T*丢悴玄籽 T 昶回 ttAJG*1. 删的片程2. 与有忑的轨壷何!a3.与训有上的星桃问题 栈心當养宵理患住ftMhilii嵯础(H刖P 微知识小题练Q基础嵐梳理-知识泄备罔报耳JICHUWE1SHUL.I n“n“一一常记结论1.圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2+ y2= r22.

3、以 Ag yi), Bg y2)为直径端点的圆的方程为(x xi)(xX2)+ (yyi)(y y2)= 0。3.二元二次方程表示圆的条件对于方程 x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0 表示圆时易忽视 D2+ E2 4F0这一条件。题组微热身门屮题演嫌知網.TIZLIWEIESHIZK一、走进教材1. (必修 2P124A 组 Ti改编)圆 x2+ y2 4x+ 6y= 0 的圆心坐标是()A . (2,3)B . ( 2,3)C. ( 2, 3)D. (2, 3)解析 圆的方程可化为(x 2)2+ (y+ 3)2= 13,所以圆心坐标 是(2, 3)。故选 D。答案 D2.(必修 2

4、Pi20例 3 改编)过点 A(1, 1), B( 1,1),且圆心在直线 x+ y 2 = 0 上的圆的方程是()2 2A . (x 3)2+ (y+ 1)2= 4B.(x+ 3)2+ (y 1)2= 4C. (x 1)2+ (y 1)2=4D. (x+1)2+ (y+ 1)2=4解析 设圆心 C 的坐标为(a, b),半径为 r，因为圆心 C 在 直线 x+ y2 = 0 上，所以 b= 2 a。因为 |CA|2= |CB|2,所以(a 1) + (2 a + 1) =(a + 1) + (2 a 1)。所以 a= 1, b = 1。所以 r = 2。所以方程为(x 1)1 2 3+ (y

5、_1)2= 4。故选 CTOZ!解析：因为 A(1 , 1), B( 1,1)，所以 AB 的中垂线方程为x= 1,得所以圆心坐标为(1,1), ry= 1,=. 1 12+ 1+ 12= 2。则圆的方程为(x 1)2+ (y1)2= 4答案 C二、走近高考3(2016 全国卷I)圆 x2+ y2 2x 8y+ 13= 0 的圆心到直线ax+y 1 = 0 的距离为 1,贝 U a=()A.,x+ y 2= 0,y= x。由ly=x,解析|a + 4 1|a2+ 1241， 解故选 A答案 A4.(2018 天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1), (2,0)的圆的方程为

6、_ 。解析 设圆的方程为x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2F = 0,4F0),则 1+ 1 + D + E+ F = 0,4+ 2D + F= 0,解得 D = 2, E= 0, F= 0,即圆的方程为 x2+ y2 2x= 0XE!解析：记 A(0,0), B(2,0), C(1,1)，连接 AB,由圆过点 A(0,0),B(2,0)，知 AB 的垂直平分线 x= 1 必过圆心。连接 BC,又圆过3 1 点 C(1,1), BC 的中点为 Q, 2, BC 所在直线的斜率 kBc= 1,圆心的坐标为(1,0)，半径为 1,故圆的方程为(x 1)2+ y2= 1,即

7、2 2x2+ y 2x= 0。答案 x2+ y2 2x= 0三、走出误区微提醒：忽视表示圆的充要条件D2+ E2 4F0;错用点与圆的位置关系判定；忽视圆的方程中变量的取值范围。5.若方程 x2+ y2+ mx 2y+ 3 = 0 表示圆，则 m 的取值范围 是()A.( a, ,2)U( .2,+)B.(一oo, 2 2)U(2 2, + o)C. ( a, ,3)U( 3, +o)D. ( a, 2 3)U(2 3,+o)解析 将 x2+ y2+ mx 2y+ 3 = 0 化为圆的标准方程得 x+罗J2 2所以 BC 的垂直平分线为直线y= x 1,联立，得X得lx= 1,2+ (y 1)

8、2 = 4 2。由其表示圆可得 4 20,解得 m22o答案 B6.若点(1,1)在圆(x a)2+ (y+ a)2= 4 的内部，则实数 a 的取 值范围是( )A. 1vav1B.Ovav1C.a1 或 av 1D.a= 4解析 因为点(1,1)在圆内，所以(1 a)2+ (1 + a)2v4,即一 1vav1o故选 Ao答案 A7._ 已知实数 x, y 满足(x 2)2+ y2= 4，则 3x2+ 4y2的最大值 为_o解析 由(x 2)2+ y2= 4,得 y2= 4x x20,得 0wxW4,所 以3x2+ 4y2= 3x2+ 4(4x x2) = x2+ 16x = (x 8)2

9、+ 64(0wxw4)，所以当 x= 4 时，3x2+ 4y2取得最大值 48。答案 48考点 m 折 对点 nt 竦二上:圧送再靈徑生国世 iT .庄弗虽嗣豹吳花二匸!考点一圆的方程【例 1】(1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x y 1 = 0 相切于 点B(2,1)，则圆 C 的方程为_o(2)已知圆 C 经过 P( 2,4), Q(3, 1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6,则圆 C 的方程为_o解析(1)由已知 kAB= 0,所以 AB 的中垂线方程为 x= 3。 过 B 点且垂直于直线 x y 1 = 0 的直线方程为 y1 = (x 2),x= 3,即 x+ y 3

10、= 0，联立，解得所以圆心坐标为(3,0),ly= 0,半径 r =：；：.；：；：4 32+ 1 02=2，所以圆 C 的方程为(x 3)? + y2=2。解析：设圆的方程为(x a)2+ (y b)2= r2(r0)，因为点 A(4,1),解得 a= 3, b= 0, r = 2,故所求圆的方程为(x 3)2+ y2= 2(2)设圆的方程为 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0(D2+ E2 4F0)，将2D 4E F = 20,P,Q 两点的坐标分别代入得又令 y= 0,13D E+ F = 10。得 x2+ Dx + F = 0。设 X1, x2是方程的两根，由|X1 x2| =

11、6,得 D2 4F = 36，联立，解得 D = 2, E= 4, F = 8,或 D = 6, E= 8, F = 0。故所求圆的方程为 x2+ y2 2x 4y8= 0 或 x2+ y2 6x 8y= 0。答案 (1)(x 3)2+ y2= 2 (2)x2+ y2 2x 4y 8 = 0 或 x2+B(2,1)在圆上，故4 a2+ 1 b2= r2,2 a2+ 1 b2= r2,又因为b1a 22y 6x 8y= 0ASM求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程。 一般来说,求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出 圆的基本量。确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆

12、心 在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2 )代数法：即设 出圆的方程，用待定系数法求解。【变式训练】(1)(2019 珠海联考)已知圆 C 与直线 x y= 0 及x y 4 = 0 都相切，圆心在直线 x+ y= 0 上，则圆 C 的标准 方程为()A.(x+1)4+ (y 1)2=2B.(x 1)2+ (y+ 1)2= 2C. (x 1)2+ (y 1)2= 2D. (x+1)2+ (y+ 1)2=2(2)(2019 河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中， 以 点(0,1)为圆心且与直线 x by+ 2b+ 1 = 0

13、 相切的所有圆中，半径 最大的圆的标准方程为()A.x2+ (y1)2= 4B.x2+ (y 1)2= 2C. x2+ (y 1)2= 8D. x2+ (y1)2= 164 _半径 r=. 2= 2，所以圆 C 的标准方程为(x 1)2+ (y+ 1)2= 2。故选 B。直线 x by+ 2b+ 1 = 0 过定点 P( 1,2)，如图。所以圆与|a 一( 一 a )|解析(1)由题意设圆心坐标为(a, a),则有2=|a a 4|-2即|a|= |a 2|,解得 a = 1。故圆心坐标为(1, 1),直线 X by+ 2b+ 1 = 0 相切于点 P 时，以点(0,1)为圆心的圆的半径最大，

14、此时半径 r 为 2，此时圆的标准方程为 x2+ (y 1)2= 2故选 B。答案(1)B考点二与圆有关的轨迹问题【例 2】 已知圆 x2+ y2= 4 上一定点 A(2,0), B(1,1)为圆内 一点，P, Q 为圆上的动点。(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；若/ PBQ = 90求线段 PQ 中点的轨迹方程。解(1)设 AP 的中点为 M(x, y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x 2,2y)o因为 P 点在圆 x2+ y2= 4 上，所以(2x 2)2+ (2y)2= 4。故线段 AP 中点的轨迹方程为(x 1)2+ y2=1(XM2)o(2)设 PQ 的中点为 N(x, y)

15、o在 RtPBQ 中，|PN|= |BN|o设 O 为坐标原点，连接 ON,贝 U ON1PQ,所以 |OP|2= |ON|2+ |PN|2= |ON|2+ |BN|2,所以 x2+ y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4。 整理得 x2+ y2 x y1 = 0, 故线段 PQ 中点的轨迹方程为x + y 一 x 一 y 一 1 = 0。求与圆有关的轨迹问题时， 根据题设条件的不同，常采用以下方法：1. 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。2. 定义法：根据圆、直线等定义列方程。3. 几何法：利用圆的几何性质列方程。4. 代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足 的关系式等。

16、【变式训练】 自圆 C： (x 3)2+ (y+ 4)2= 4 外一点 P(x, y) 引该圆的一条切线，切点为 Q, PQ 的长度等于点 P 到原点 0 的 距离，则点 P 的轨迹方程为()A . 8x 6y 21= 0 B . 8x+ 6y 21 = 0C. 6x+ 8y 21 = 0 D . 6x 8y 21 = 0解析 由题意得，圆心 C 的坐标为(3, 4),半径 r = 2,如 图。因为 |PQ|= |P0|,且 PQJCQ，所以 |P0|2+ r2=|PC|2，所以 x2+ y2+ 4=(x 3)2+ (y+ 4)2, 即卩 6x 8y 21 = 0,所以点 P 的轨迹 方程为6

17、x 8y 21= 0,故选 D。答案 D考点三 与圆有关的最值问题 微点小专题方向 1:借助几何性质求最值【例 3】 已知实数 x，y 满足方程 x2+ y2 4x+ 1 = 0,则丫X的最大值和最小值分别为 _ 和_;(2) y x 的最大值和最小值分别为 _口_;(3) x2+ y2的最大值和最小值分别为_和。解析 原方程可化为(x 2)2+ y2= 3,表示以(2,0)为圆心,.3为半径的圆。(1)y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 k,即 y= kx。当直线 y= kx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最|2k 0|厂y小值，此时厂=3,解得 k= 3。所以y的最大

18、值为3, k2+ 1x最小值为.3(2)y x 可看作是直线 y= x+ b 在 y 轴上的截距。如图所示， 当直线 y= x+ b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此|20+b|-一时.,3,解得 b= 2 6,所以 y x 的最大值为一 2+ , 6，最小值为2 6o(3)x2+ y2表示圆上的一点与原点距离的平方。由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为 2,所以 x2+ y2的最大值是(2 + 3)2= 7 + 4 3, x2+ y2的最小值是(2 3)2= 7 4.3。答案(1)3 , 3 (2) 2 + , 6 2 6(

19、3)7 + 4 3 7 4 3借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解。1 形如 尸 口形式的最值问题，可转化为动直线斜率的1 x a 最值问题或转化为线性规划问题。2. 形如 t = ax + by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题或转化为线性规划问题。3. 形如(xa)2+ (y b)2形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题。方向 2:建立函数关系求最值【例 4】(2019 厦门模拟)设点 P(x, y)是圆：x2+ (y 3)2=1 上的动点，定点 A(2,0), B( 2,0)，则 PA PB 的最大值为 解析 由题

20、意，知 PA= (2 x, y), PB= ( 2 x, y),所以 PAPB = x2+ y2 4,由于点 P(x, y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2+ (y 3)2= 1,故 x2= (y 3)2+ 1，所以 PA PB = (y 3)2 + 1 + y? 4 = 6y 12。由圆的方程 x? + (y 3)? = 1，易知2Wyw4,所以，当 y= 4 时，PA PB 的值最大，最大值为 6X4 12= 12。答案 12根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值。【题点对应练】1.(方向 1)已知两点 A(0, 3), B(4,0)，若点 P 是圆 C: X

21、2+ y2 2y= 0 上的动点，则 ABP 的面积的最小值为()A. 611B.兀21C. 8D. 2解析x+ y 2y = 0 可化为 x + (y 1) = 1,则圆 C 为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆。如图，过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P，连接 BP，AP，这时ABP 的面积最小，直线 AB 的方程X y为+丄=1，即 3x 4y 12= 0,圆心 C 到直线 AB 的距离 d =4 316，又|AB| =；32+ 42= 5，所以 ZVKBP 的面积的最小值为1x5X答案 B的最大值与最小值分别为 _ 和_1)2= 1 上的动点 P(x, y)的直线的斜率。当且仅

22、当直线与圆相2.(方向 2)1,则 z=y+ 1x解析y +1由题意，得表示过点A(0, 1)和圆(x 2)2+ (y160)的焦点为 F，直线 y5=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF 匸 4|PQ|。y=答案4+ 74 .7333.(方向 2)设点 P(x, y)是圆:(x 3)2+ y2= 4 上的动点，定放电思维开启心智(1) 求抛物线 C 的方程；过 F 的直线 I 与 C 相交于 A, B 两点，若 AB 的垂直平分线 I 与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上， 求 I的方程。8 【解】(1)设Q(XO,4)，代入 y2= 2px,得 xo=p,又 P(0, 4),p8p p 85p 8所以 |PQ|= p。又|QF| = 2+ Xo= 2 + p,且|QF| = 4QI,所以 2 + p=5 824 p,解得 p= 2(p =- 2 舍去),所以，抛物线 C 的方程为 y =4X。(2) 因为 A, M , B, N 四点在同一圆上，弦 AB 的垂直平分线必过圆心，又 MN 垂直平分 AB，所以 MN 是圆的直