模型18奔驰模型(原卷版+解析)

模型介绍模型介绍因为像奔驰车标，所以叫奔驰模型.【结论】如图,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，则①∠APB=150º，②S△ABC＝34AB2＝关键：旋转可以让线段动起来各种旋法：超酷炫又实用：S=34a

例题精讲例题精讲【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝．变式训练【变式1-1】．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（）A．40° B．45° C．105° D．55°【变式1-2】．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝．【变式1-3】．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为．1．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A． B． C． D．2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为（）A．24+9 B．48+9 C．24+18 D．48+183.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO´，有下列结论∶①△BO´A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O´的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO´＝6＋33;⑤S∆AOC＋S其中正确的结论是（)A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC平分∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC.若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于.5．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝．6．已知P是等边△ABC内一点，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，则△ABC的面积＝．7．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为．8．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150°④∠APC＝120°9．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．（1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′为三角形．∴∠APB的度数为．（2）类比延伸如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．11．【方法呈现】：（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；【实际运用】：（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；【拓展延伸】：（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是（直接填答案）

12．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．∴＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等边三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．13．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA=2，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为，正方形ABCD的边长为（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为．14．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．请回答：图1中∠APB的度数等于，图2中∠PP′C的度数等于．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（−3，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x模型介绍模型介绍因为像奔驰车标，所以叫奔驰模型.R【结论】如图,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，则①∠APB=150º，②S△ABC＝34AB2＝R关键：旋转可以让线段动起来各种旋法：R超酷炫又实用：S=34a

例题例题精讲【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝150°．解：将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABD'，∴BD＝BD'，AD'＝CD，∴∠DBD'＝60°，∴△BDD'是等边三角形，∴∠BDD'＝60°，∵BD＝1，DC＝2，AD＝，∴DD'＝1，AD'＝2，在△ADD'中，AD'2＝AD2+DD'2，∴∠ADD'＝90°，∴∠ADB＝60°+90°＝150°，故答案为150．变式训练【变式1-1】．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（）A．40° B．45° C．105° D．55°解：连接DE，由旋转可知，△ACE≌△ABD，∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝，∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°，∴△DAE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∵32+32＝（3）2，∴DE2+CE2＝CD2，∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°，∴DE＝CE，∠EDC＝45°，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°，故选：C．【变式1-2】．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16．解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16故答案为：24+16【变式1-3】．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为105°．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接EP，∴△APB≌△AED，∴AE＝AP＝1，PB＝DE＝，∠PAE＝90°，∠AED＝∠APB，∴PE＝AE＝，∠AEP＝∠APE＝45°，∴DE＝DP＝PE＝，∴△DEP是等边三角形，∴∠DEP＝60°，∴∠AED＝105°＝∠APB，故答案为：105°．1．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A． B． C． D．解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为（）A．24+9 B．48+9 C．24+18 D．48+18解：连接PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠PAQ﹣∠PAB＝∠CAB﹣∠PAB，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，∴△APC≌△AQB（SAS），∴CP＝BQ＝10，在△BPQ中，∵PQ＝6，BP＝8，BQ＝10，而62+82＝102，∴PQ2+PB2＝BQ2，∴△BPQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴四边形APBQ的面积＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．故选：A．3.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO´，有下列结论∶①△BO´A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O´的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO´＝6＋33;⑤S∆AOC其中正确的结论是（)A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③解：如图，连接OO´.①由奔驰模型推导过程可知∠OBO´=60°，△BOC≌△BO´A，∠②AOB=150°，△BOO´为等边三角形，所以OO´=OB=4，故①②③正确.S四边形AOBO´＝S∆AOO´＋S∆OBO´＝12如图，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点O".易知△AOO〞是边长为3的等边三角形，△COO〞是直角三角形，则S∆AOC＋S∆AOB＝S＝12×3×4＋34×32=6+94.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC平分∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC.若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于.解：过A点作AH⊥BP，交BP的延长线于H，由奔驰模型可知∠APB=150°，∴∠APH=30°，AH＝12PA＝3,PH＝33,∴BH=8＋33,∴AB2＝AH²＋BH²＝100＋483,S菱形ABCD＝2S∆ABC＝2×34×AB25．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝135°．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE，连接PE，如图，∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2，在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝，∴PC2+PE2＝CE2，∴△PCE为直角三角形，∠CPE＝90°，∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°．故答案为：135°．6．已知P是等边△ABC内一点，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，则△ABC的面积＝．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△ABD，如图，∴AD＝AP＝3，BD＝PC＝4，∠DAP＝60°，∠ADB＝∠APC，∴△ADP为等边三角形，∴DP＝AP＝3，∠ADP＝60°，在△BDP中，∵DP＝3，DB＝4，BP＝5，而32+42＝52，∴DP2+DB2＝BP2，∴△BDP为直角三角形，∠BDP＝90°，∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝150°；作BE⊥AD于E，如图∵∠ADB＝150°，∴∠BDE＝30°，在Rt△BDE中，BE＝BD＝2，DE＝BE＝2，∴AE＝AD+DE＝3+2，在Rt△ABE中，AB＝＝＝，∴S△ABC＝×（）2＝，故答案为：．7．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为24+9．解：连接PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ，∴PC＝QB＝10，在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，而64+36＝100，∴PB2+PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．故答案为24+9．8．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150°④∠APC＝120°解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，所以①正确；②PQ＝PB＝4，PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正确；③∵△BPQ是等边三角形，∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，所以③正确；④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④错误．所以正确的有①②③．9．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝6；（2）利用勾股定理的逆定理可知：PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°可求∠APB＝90°+60°＝150°．10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．（1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′为三角形．∴∠APB的度数为．（2）类比延伸如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．解：（1）如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为90°+60°＝150°．故答案为：直角；150°；（2）2PA2+PD2＝PB2．理由如下：如图2，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′．则P′B＝PD，P′A＝PA，∠PAP′＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′2＝PA2+P′A2＝2PA2，∠PP′A＝45°，∵∠APD＝135°，∴∠AP′B＝∠APD＝135°，∴∠PP′B＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2＝PB2，∴2PA2+PD2＝PB2．11．【方法呈现】：（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；【实际运用】：（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；【拓展延伸】：（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是（直接填答案）解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB＝S△P'CB，S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′=π4（a2﹣b（2）如图2，连接PP′．∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PB＝42，∠BP′P在△CPP′中，∵PP′＝42，CP′＝2，PC＝6，∴PP′2+CP′2＝PC2，∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°；（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC，连接PP1，∴△APB≌△AP1C，∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，CP1＝BP＝4，∴△PAP1是等边三角形，∴PP1＝AP＝3，∵CP＝5，CP1＝4，PP1＝3，∴PP12+CP12＝CP2，∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P＝90°，∴S△APP1=12×3×332=9∴S四边形APCP1＝S△APP1+S△PP1C=9∵△APB≌△AP1C，∴S△ABP+S△APC＝S四边形APCP1=9如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和=12×4×△APC和△BPC的面积的和=12×5×∴△ABC的面积=12（934+6+43∴△APC的面积＝△ABC的面积﹣△APB与△BPC的面积的和＝（2534+9）﹣（43+6）

12．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等边三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝∠CAD∴△ABP≌△ACD∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．解：（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°∵△ABC是等边三角形∴AC＝AB，∠BAC＝60°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP≌△ACD（SAS）∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，∵∠PBD＝90°∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，∵12+（2）2＝32，∴AP2+PD2＝BD2，∴△APD为直角三角形，∴∠APD＝90°，∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．（3）解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC∴∠DBE+∠PBC＝30°∴∠DBC＝90°∴CD＝＝＝，故答案为．13．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA=2，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为，正方形ABCD的边长为（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为．解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA=2，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′=2PB＝32∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC=PP′2过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP