工程力学—第四章平面一般力系课件

1、第四章第四章 平面一般力系平面一般力系4-5 平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件4-6 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题4-3 分布荷载分布荷载4-4 平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件4-2 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化4-1 力线平移定理力线平移定理前前 言言 位于同一平面内的诸力其作用线既不汇位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系，称为交于一点，也不互相平行的力系，称为平面平面一般力系一般力系。定义：定义：前前 言言 工程计算中的很多实际问题都可以简化为工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。平面一般力系来处

2、理。有什么特点？有什么特点？各力的作用线各力的作用线不汇交于一点不汇交于一点 平面一般力系各力的作用线都在同一平面内，但既不汇交于一点，也不平行。F1，F2 ， Fn 平面汇交力系和平面力偶系是平平面汇交力系和平面力偶系是平面一般力系的特例。平面一般力系是面一般力系的特例。平面一般力系是工程中最常见的力系。工程中最常见的力系。 作用在刚体上的力作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须但必须同时增加一附加力偶同时增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩，附加力偶的力偶矩 M 等于原力等于原力F 对新作用点对新作用点O之矩。这就是之矩。这就是。FFdMFFF

3、OOOAAA这就相当于把力这就相当于把力F F 移到移到了了O O点，同时增加了一个点，同时增加了一个附加力偶，其力偶矩为：附加力偶，其力偶矩为：M M= =M MO O ( ( F F )=)=FdFd把把F F 由原来的由原来的A A点平点平移到移到O O点，可以吗？点，可以吗？根据加减平衡力系公理，在根据加减平衡力系公理，在O O点加上点加上一对与一对与F F 平行且等值、反向力平行且等值、反向力FF和和F”,F”, 使使F=F=F”,F=F=F”,则则F F 和和F”F”构成了构成了一个力偶，其附加力偶矩为：一个力偶，其附加力偶矩为：M M =Fd=Fd力的平移定理由此得证力的平移定理

4、由此得证4-1 力线平移定理力线平移定理问题：问题：力力F 对齿轮和轴各有什么作用？对齿轮和轴各有什么作用？r动画动画力的平移定理应用力的平移定理应用FFMMFF晕！晕！锤子砸偏了锤子砸偏了力的平移定理应用力的平移定理应用MMFF力的平移定理应用力的平移定理应用平衡力系平衡力系MF力的平移定理应用力的平移定理应用力不平衡力不平衡问题问题1：图中的平面一般力系对刚体的作用效果是怎样的？图中的平面一般力系对刚体的作用效果是怎样的？问题问题2：能否将平面一般力系能否将平面一般力系F1，F2 Fn中各力都向刚体的某点平移？中各力都向刚体的某点平移？假如可以的话，就能够像平面汇交力系那样，对各力进行合成

5、了。假如可以的话，就能够像平面汇交力系那样，对各力进行合成了。刚体平衡吗？刚体平衡吗？不知道！不知道！平面一般力系可以直接合成吗？平面一般力系可以直接合成吗？平面一般力系不是汇交力系，平面一般力系不是汇交力系，不可以不可以直接合成！直接合成！OABN力的平移定理应用力的平移定理应用（简化中心）（简化中心）F1，F2 Fn（一）平面一般力系的主矢与主矩（一）平面一般力系的主矢与主矩 设在刚体上作用有一平面一般力系设在刚体上作用有一平面一般力系 F1 , F2 , Fn （如图（如图a）。在该力）。在该力系所在的平面内任取一点系所在的平面内任取一点O，该点称为简化中心。应用力的平移定理，将力，该点

6、称为简化中心。应用力的平移定理，将力系中的各力都平移到系中的各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于点，于是就得到一个汇交于O点的平面汇交力系点的平面汇交力系 F1, F2 , Fn 和一个力偶矩分别为和一个力偶矩分别为 M1 , M2 , Mn 的附加力偶系（如图的附加力偶系（如图b）。）。将各力和各力偶矩分别合成，可得到一个力和一个力偶（如图将各力和各力偶矩分别合成，可得到一个力和一个力偶（如图c）。O为任为任意点意点图图a图图b图图c4-2 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化平面一般力系的简化过程平面一般力系的简化过程FO为任为任意点意点平面一般力系平面一般力系（未知力系）（未知

7、力系）向一点简化向一点简化平面汇交力系平面汇交力系+ +平面力偶系平面力偶系 （可知力系）（可知力系）平面汇交力系平面汇交力系合力合力FF ， 作用于简化中心作用于简化中心O O；平平 面面 力力 偶偶 系系合力偶，其力偶矩合力偶，其力偶矩M MO O ，作用于刚体平面。，作用于刚体平面。F1 , F2 , FnF1, F2 , Fn + M1 , M2 , Mn合成合成合成合成 所得平面汇交力系（所得平面汇交力系（F1 , F2 , Fn ）可以合成为一个作用于）可以合成为一个作用于O点的合点的合矢量矢量F： F=Fi =Fi合矢量合矢量FF称为原平面一般力系对简化中心称为原平面一般力系对简

8、化中心O O的的主矢主矢（如图（如图c）。）。 所得的平面附加力偶系（所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , Mn）可以合成为一个的力偶）可以合成为一个的力偶,其力其力偶矩偶矩MO 等于各力对简化中心等于各力对简化中心O之矩的代数和：之矩的代数和： MO=MO (Fi )=Fidi力偶矩力偶矩MOMO称为原平面一般力系对简化中心称为原平面一般力系对简化中心O O的的主矩主矩。图图a图图b图图c 思考：思考：平面一般力系的主矢是否就是该力系简化后的合力？平面一般力系的主矢是否就是该力系简化后的合力？主矢和合力有何区别？主矢和合力有何区别？ 是原力系是原力系F1，F2，Fn中各中各力的矢量和。力

9、的矢量和。主矢是主矢是自由矢量，自由矢量，只有大小、方向，只有大小、方向，而不涉及作用点，是一个自由矢而不涉及作用点，是一个自由矢量，量，与简化中心无关。与简化中心无关。 为作用点在简化中心为作用点在简化中心O的力矢量。的力矢量。 合力合力的大小、方向的大小、方向与主矢一致，与主矢一致，与原力系等效，有大小、方向、作用点，是滑移与原力系等效，有大小、方向、作用点，是滑移矢量。矢量。 平面一般力系简化的结论 1、平面一般力系向作用平面内任一点平面一般力系向作用平面内任一点O简化后，可得到简化后，可得到一个力和一个力偶。一个力和一个力偶。 2、这个力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用于简、这个力

10、的大小和方向与原力系的主矢相同，作用于简化中心化中心O点；点； 3、这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心、这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心O点的主矩，点的主矩，大小为原力系中各力对简化中心大小为原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和；点之矩的代数和； 4、主矢与简化中心的选择无关。但一般情况下，平面力、主矢与简化中心的选择无关。但一般情况下，平面力系的主矩与简化中心的选择有关。系的主矩与简化中心的选择有关。力的平移定理的性质：力的平移定理的性质： 问题问题1：为什么平面一般力系的主矢与简化中心的选择无为什么平面一般力系的主矢与简化中心的选择无关，而主矩与简化中心的选择有关？关，而主矩与简化

11、中心的选择有关？ 答：这就要看，答：这就要看，把作用在刚体上某点的力把作用在刚体上某点的力F 平行移到平行移到其它点，所得的力和附加力偶是否相同？其它点，所得的力和附加力偶是否相同？ 当力当力F 平移时，平移时， 力的大小、方向都不改变；力的大小、方向都不改变； 一般情况下，附加力偶的力偶矩的大小、正负都要随一般情况下，附加力偶的力偶矩的大小、正负都要随新指定点的位置的不同而不同。新指定点的位置的不同而不同。F1 AFCBF1 F3 F2 AF1 F3 F2 AF3 F2 FAF1 F3 F2 FO1F1 F3 F2 FO2F1 F3 F2 FO3F3 F2 F有一力系作用于刚体平面内将各力向

12、A点简化并求出合力这是求合力的方法之一F1 无论将力系向刚体内的哪一点简化，无论将力系向刚体内的哪一点简化，合力的大小、方向都不会变化。所以合力的大小、方向都不会变化。所以说主矢与简化中心的选择无关。说主矢与简化中心的选择无关。 那么，主矩又会怎样呢？将力系向刚体内的另一点简化AF1 F3 F2 FO1F1 F3 F2 FO2F1 F3 F2 FO3F3 F2 FF1 显然， M1=-Fd1 （顺时针） M2=-Fd2 （顺时针） M3=+Fd3 （逆时针） 选择不同的简化中心，各力对A点的力臂都不同，转向也不同，就是说 M1M2M3。 因此，在一般情况下，平面力系的主矩和简化中心的选择有关。

13、d1d2d3AFO1FO2FO3Fd1d2d3“在一般情况下” 那么，特殊情况呢？当O1、 O2、 O3 选在原合力F 的作用线上时， M1=M2=M3=0平面一般力系平面一般力系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系向一点简化向一点简化合成合成合成合成FR（合力）（合力）MO（合力偶）（合力偶）图图4-8 平面一般力系的简化平面一般力系的简化(a)F1F2FnF1FnF2Od1d2dn(b)F2 OF1FnM1M2Mn(c) OyxMOFR(d) FFFFFFFFn21n21R(4-2) 事实上，可直接用原力系事实上，可直接用原力系F1，F 2，.F n 的各力的各力作出力多边形，力多

14、边形的封闭边称为原力系的主作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢。矢。 FR的大小和方向等于主矢，作用点在的大小和方向等于主矢，作用点在O点。点。由此可见，主矢与简化中心的位置无关。由此可见，主矢与简化中心的位置无关。 )()()()(2121FMFMFMFMMMMMOnOOOnO(4-3) 由此可见，由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，点的分布情况，称为原力系对称为原力系对O点的主矩。点的主矩。iRF根据合力投影定理，R在坐标轴上的投影分别为xixyiyRFRFR的大小和

15、方向为： 2222()()arctanarctanxyixiyiyyxixRRRFFFRRF 平面一般力系的主矢是原力系中各力的矢量和，与简化中心选取无关其中：为R与x轴正向间的夹角主矩一般与简化中心有关，其值等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。)(FiOOmMw若 ：原力系简化成一对力偶且力偶矩与简化中心无关； 0,0OMRw若 ：原力系与通过简化中心的力等效；0,0OMRw若 ：原力系与一个大小和方向与R相同、作用线与简化中心的距离 的合力等效，合力作用线与简化中心的位置关系由MO的符号确定。 0,0OMROdRM力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置力系合成为一力偶，所以主矩与简

16、化中心的位置无关。无关。0, 0R OMF平面一般力系的三种简化结果平面一般力系的三种简化结果：1. 力系简化为力偶力系简化为力偶2. 力系简化为合力力系简化为合力0, 0R OMFFR就是原力系的合力，合力的作用线通过简化就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。中心。OMOFR图图 4-9(1)力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。过简化中心。 MOOO(a)FR(b)OOFRdFRFR图图4-10 力系简化为合力力系简化为合力(2)0, 0R OMF(c)OOdFR3. 力系平衡力系平衡MOOO FR0, 0R OMF 平面一般

17、力系如果有合力，则合力对该力系平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。矩的代数和。合力矩定理合力矩定理 )()(),(,)(RRRFMFMFMMMdFFMOOOOOO如下图所示，显然有如下图所示，显然有图图4-11 合力矩定理证明图示合力矩定理证明图示证明：证明： MOOO(a)FR(b)OOFRdFRFR当平面力系可以合成一个合力时，合力R对作用面内任一点O之矩等于各分力Fi对同一点之矩的代数和。即： )()(FRiOOmM【证明】由上图知： RdMO)(RRdmMO),(RR故 )(RMMOO因

18、)(FiOOmM故 )()(FRiOOmM分力可以是集中力、分布力或力偶。显然， ，故该定理可用于由分力矩求合力矩故该定理可用于由分力矩求合力矩以及求合力作用线的位置以及求合力作用线的位置等。 RMdO)(R 图示一塔示起重机。机架图示一塔示起重机。机架m1=50 t,重重心在心在O点。已知起重机的最大起吊质量点。已知起重机的最大起吊质量m2=25 t,欲使起欲使起重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量m3 应应如何？如何？图中图中 a =3 m , b =1.5 m,c =6 m, l =10 m。解：机架重量、起吊重量及平解：机架重量、起吊重量

19、及平衡锤重量分别为衡锤重量分别为m1g 、m2g、 m3g，这是一个平面一般力系，这是一个平面一般力系的特例的特例平面平行力系。平面平行力系。例题例题 4-1cbxyRxaLW1图4-10 例题4-1图ogmmmFgmgmgmFFFFyyxx)(, 0321R321RR FR 的方向铅垂向下。的方向铅垂向下。取坐标如图，可知合力取坐标如图，可知合力FR的投影为的投影为ABm1 gm2 gm3 gcblxyaxFR 例例4-1 题图题图O 合力的作用线与合力的作用线与x 轴的交轴的交点的坐标设为点的坐标设为x，由合力矩定，由合力矩定理有理有)()(RFMFMAA 例题例题 4-1式中式中x随随

20、m2、m3 而变，其他各量而变，其他各量都是不变的。都是不变的。321321321R)()()()(mmmcmlambamxcgmlagmbagmxF 即即：(a)ABm1 gm2 gm3 gcblxyaxFR 例例4-1 题图题图O欲使起重机不翻倒应有：欲使起重机不翻倒应有： 0 x 0, 由由 (a) 式得式得m1(a+b)-m3c0例题例题 4-1t5 .376)5 . 13(50)(13 cbammABm1 gm2 gm3 gcblxyaxFR例例4-1 题图题图O(2) 满载时满载时, m2=25 t , x a, 由由(a) 式得式得t11.363610255 . 150)()()

21、(2133321321321 aclmbmmamcmlmbmmmmacmlambam欲使起重机不致翻倒，应有欲使起重机不致翻倒，应有36.11 tm337.5 t为了保证安全，可取为了保证安全，可取m3=36.537 t 。例题例题 4-14-3 分布荷载分布荷载 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。在一点上。例如，道路给轮子的力等。例如，道路给轮子的力等。FN几种分布荷载：几种分布荷载： 体分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部荷载（力）分

22、布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。各点上。例如，构件的自重等。 面分布荷载：面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。压力、雪压力等。 线分布荷载：线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。件的轴线分布。(1) 集中荷载的单位，即力的单位集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。1 1、荷载的单位、荷载的单位(2) 体分布荷载的单位：体分布荷载的单位： N/m3 ，(3) 面分布荷载的单位：面分布荷载的单位： N/m2 ，(4) 线

23、分布荷载的单位：线分布荷载的单位： N/m 。均布荷载均布荷载：集度为常数的分布荷载。：集度为常数的分布荷载。例如图中的均布荷载的合力为：例如图中的均布荷载的合力为：kN,6 .1741691.10 lqF其作用线通过梁的中点。其作用线通过梁的中点。Fq=10.91 kN/mFBFAl=16 m1、分布荷载的计算方法、分布荷载的计算方法4-4 平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的充分必要条件平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。主矢和对任意一点的主矩都为零。0,0R OMFMOOOFR平面一般力系的平衡方程为：平面一般力系的

24、平衡方程为： . 0)(, 0, 0FMFFOyx 图示一悬臂式起重机简图，图示一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁处均为光滑铰链。水平梁AB自重自重 P = 4 kN,荷载荷载 F =10 kN,有关尺寸如图所示，有关尺寸如图所示，BC杆自重不计。求杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链杆所受的拉力和铰链A给梁的约束力。给梁的约束力。ABDEPF030(a)C2m1m1mC例题例题 4-4 解：解：(1) 取取AB梁为研究对象。梁为研究对象。(2) 画受力图。画受力图。 未知量三个：未知量三个：FAx、FAy、FT ，独立的平衡方程数也是三个。独立的平衡方程数也是三个。(3)

25、列平衡方程，选坐标如图所示。列平衡方程，选坐标如图所示。)1(030cos00T FFFxAx)2(030sin00T FPFFFyAyABDEPFFT030(b)xyFAxFAy例题例题 4-4)3(030sin0)(0T AEFADPABFFMA由由(3)解得解得kN195 . 041034230sin4320T FPF以以FT之值代入之值代入(1)、(2)，可得：，可得：ABDEPFFT030(b)xyFAxFAyFAx=16.5 kN, FAy=4.5 kN。例题例题 4-4 即铰链即铰链A的反力及与的反力及与x轴正向的夹轴正向的夹角为：角为：0223 .15arctankN1 .17

26、 xAyAyAxAAFFFFF ABDEPFFT030(b)xyFAxFA y例题例题 4-4平面一般力系平衡方程的其他形式：平面一般力系平衡方程的其他形式：1. 二矩式二矩式00)(0)( xBAFFMFM注意：注意：A、B两点连线不垂直于两点连线不垂直于x轴。轴。ABFRxB 由由MA(F )=0，MB(F )=0可知，力可知，力F 的作用线同时通过的作用线同时通过A、B两点，所以该两点，所以该力系不可能被简化为一个力偶，只能简化为过力系不可能被简化为一个力偶，只能简化为过A、B两点连线的合力或者处于平衡两点连线的合力或者处于平衡状态。状态。 （注：当方程组中为（注：当方程组中为Fy=0时

27、，时， A、B连线不能垂直于连线不能垂直于 y 轴）轴） 若力系向若力系向A点简化，假设合力点简化，假设合力F 的作用线不通过的作用线不通过A、B连线（如左图）：连线（如左图）： MA(F)=0：当：当F 对对A点取矩时，点取矩时， MA0， MA(F )=0 成立；成立； MB(F)=0：当：当F 对对B点取矩时，点取矩时， MBF d 0， MB(F )=0不成立。不成立。 要使要使MB=0，只有使，只有使F 的作用线通过的作用线通过A、B连线或者连线或者F =0 ； Fx=0： 即即Fx=F cos=0，只有当，只有当cos0时，才能肯定时，才能肯定 F =0。 因此必须因此必须90，即

28、，即A、B连线不能垂直于连线不能垂直于 x 轴轴(如右图如右图)。3. 三矩式三矩式0)(0)(0)( FMFMFMCBA注意：注意：A、B、C三点不在一条线上。三点不在一条线上。ABFRC 三矩式平衡方程：三矩式平衡方程： MA(Fi)=0 MB(Fi)=0 MC(Fi)=0 A、B、C三点不能在同一直线上。 由前两式可知，力系不可能简化为一力偶，由前两式可知，力系不可能简化为一力偶，只能简化为作用线过只能简化为作用线过A、B两点的一个合力或两点的一个合力或处于平衡状态，再如果处于平衡状态，再如果MC(Fi)=0，力系只能，力系只能简化为过简化为过A、B、C三点的一个合力三点的一个合力F 或

29、处于或处于平衡状态，若三点不在同一直线上，则唯一的平衡状态，若三点不在同一直线上，则唯一的可能就是力系平衡（合力可能就是力系平衡（合力F =0），如图。），如图。如果如果A A、B B、C C三点共线，显然三点共线，显然M MA A( (F Fi i)=0)=0，M MB B( (F Fi i)=0)=0，M MC C( (F Fi i)=0)=0，但是否，但是否F F =0=0，无法判断无法判断! !即不能肯定刚体是否平衡。即不能肯定刚体是否平衡。w 平面一般力系的平衡方程只有三个独立方程，最多平面一般力系的平衡方程只有三个独立方程，最多只能求解三个未知数；只能求解三个未知数； w 在求解具

30、体问题时，可酌情选择一矩式、二矩式或在求解具体问题时，可酌情选择一矩式、二矩式或三矩式方程组且不一定要全部列出平衡方程；三矩式方程组且不一定要全部列出平衡方程； w 力矩平衡方程矩心选择原则上是任意的，可以在物力矩平衡方程矩心选择原则上是任意的，可以在物体上或物体外，尽可能选择未知而又不必要的力的作体上或物体外，尽可能选择未知而又不必要的力的作用点或未知而又不必要的力的作用线与某些已知力的用点或未知而又不必要的力的作用线与某些已知力的作用线的交点为矩心；作用线的交点为矩心； w 力平衡方程投影轴的选取原则上是任意的，但尽可力平衡方程投影轴的选取原则上是任意的，但尽可能使投影轴与未知而又不必要的

31、力垂直。能使投影轴与未知而又不必要的力垂直。 由右图所示的受力图，可由右图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平否列出下列四个独立的平衡方程？衡方程？0)(0)(0)( FMFMFMCBA0 xF为什么其中必有一个是从属的？为什么其中必有一个是从属的？ABDEPQFT030(b)xFAxFAy例例4-4 题受力图题受力图C思考题思考题 4-7 图示简支梁图示简支梁AB。梁的自重及各处摩。梁的自重及各处摩擦均不计。试求擦均不计。试求A和和B处的支座约束力。处的支座约束力。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx(a)qACBDMe2aa4a例例 4-5的图的图解：解：(1) 选选AB

32、梁为研究对象。梁为研究对象。 (2) 画受力图如右图所示。画受力图如右图所示。 (3) 取坐标如图。取坐标如图。例题例题 4-5(4) 列平衡方程列平衡方程. 02,0, 0,0, 0240)(NeN ByAyAxxBAFaqFFFFaaqMaFFM解得解得.423,421, 0eNaMaqFaMaqFFeAyBAx y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx例题例题 4-5 在例在例4-5中，试以下中，试以下列三个方程求解，看会有列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。什么问题，并说明原因。 00)(0)( yBAFFMFMy(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx思

33、考题思考题 4-84-5 平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件平面平行力系：平面平行力系：0 xFyOxF1F2Fn 图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：各力作用线垂直，显然有：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。平面平行力系的平衡条件为：平面平行力系的平衡条件为： 0)(0FMFOy即即平面平行力系平衡的充要条件平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面平行力系平衡方

34、程的二矩式平面平行力系平衡方程的二矩式 0)(0)(FMFMBAyOxF1F2Fn注意：注意：A、B两点的连线不能与两点的连线不能与各力的作用线平行。各力的作用线平行。在例在例4-1中，设中，设m2=20 t,m3=37 t,其他数据同题其他数据同题4-1。即，。即，a =3 m,b =1.5 m，c =6 m,l =10 m,求左右两轨的约束求左右两轨的约束力。力。解：画出起重机的受力图。解：画出起重机的受力图。可见它受到的是一个平面平可见它受到的是一个平面平行力系。行力系。ABm1 gm2 gm3 gcblxy aFNAFNB 图图4-12 例例4-6的图的图O取坐标如图，列平衡方程取坐标

35、如图，列平衡方程gmgmgmFFgmgmgmFMBBA321NN32128135 . 1036135 . 40)( ABm1 gm2 gm3 gcblxy aFNAFNB 图图4-12 例例4-6的图的图OgmgmgmFgmgmgmFFFABAy321N321NN33105 . 000 kN81. 937kN81. 920kN81. 950321 gmgmgm)kN(860)kN(8 .189N BANFF得得其中其中0)( FMB可用可用 进行校核。进行校核。 求出的左右轨的约束力均不为负值，可见所取平求出的左右轨的约束力均不为负值，可见所取平衡锤的质量可以保证安全。衡锤的质量可以保证安全。

36、ABm1 gm2 gm3 gcblxy aFNAFNB 图图4-12 例例4-6的图的图O)kN(860)kN(8 .189NN BAFFqACBDMe2aa4a思考题思考题4-8的图的图F4a 图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方程？程？思考题思考题 4-9静定和超静定的概念：静定和超静定的概念： 静定问题：静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数一个静力平衡问题，如果未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡

37、方程就能解出这些未知量。出这些未知量。qACBDMe2aa4aF4a超静定问题：超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法刚体静力学方法就不能就不能解出所有的未知量。解出所有的未知量。qACBDMe2aa4aF4a注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。来考虑，还应对问题多作具体分析。分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。数，实际上它不能平衡

38、。qACBDMe2aa4aF4a平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？为什么？F1F2Fn思考题思考题 4-11平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什么？为什么？yoxF1F2Fn00 yxFF？思考题思考题 4-12平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？M=M1+ M2+ + Mn =0 , 或或 M=M=0M1M2Mn平面力偶系图式平面力偶系图式思考题思考题 4-134-6 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题物体系：物体系：由几个物体通过一定的约束

39、方式联系在一由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。起的系统。CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG1 1、内力和外力、内力和外力外力：外力：系统以外的物体给所研究系统的力。系统以外的物体给所研究系统的力。内力：内力：在系统内部，各个物体之间，或一个物体在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m1.5m10 kNE2 kN/mGAB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx2 kN/mEGFEyFExFG10 k

40、NFCyFCxFDFEyFExCE2 2、物体系平衡问题的静定或超静定、物体系平衡问题的静定或超静定 物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。的受力情况，画出受力图。 若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题是题是超静定超静定的。的。 总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。相比较。 根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。衡方程，如平面一般力系有三

41、个独立的平衡方程等。 若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不稳固的。是多余的或系统的结构是不稳固的。 若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定的。则问题是静定的。注意：注意： (1) 在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑中

42、每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个 系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独立的。平衡方程推出，因而是不独立的。(2) 在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。的受力图开始，逐步求解。 求图示多跨静定梁的支座反力

43、。梁求图示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。重及摩擦均不计。例例 4-7的图的图CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG例题例题 4-7CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m1.5m10 kNE2 kN/mG2 kN/mEGFEyFExFG10 kNFCyFCxFDFEyFExCE 分析：未知量分析：未知量9个，个，5个支座反力，个支座反力，C、 E处铰链处铰链反力各反力各2个，共个，共9个未知量。考虑个未知量。考虑3个梁的平衡，共个梁的平衡，共有有9个独立的平衡方程。个独立的平衡方程。解：解：(1) 研究研究EG梁梁AB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx例题例题 4-7xy. 0, 0 xExFF由对称关系得：由对称关系得：).kN(5 . 4)5 . 42(21 GEyFF2 kN/mEGFEyFExFG(2) 研究研究CE梁梁10 kNFCyFCxFDFEyFExCE0, 00 xExCxExCxFFFFFxy例题例题 4-7kN44.10062105 . 40)( DEyDCFFFFMkN06. 40100