2013版高考数学一轮复习 2.10函数模型及其应用精品学案

1、2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用第十节 函数模型及其应用【高考新动向】1、考纲点击（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。2、热点提示（1）函数的模型及其应用是考查重点。（2）建立函数模型解决实际问题是高考命题的热点，常与导数、均值不等式、函数的单调性、最值等交汇命题，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。（3）选择题、填空题、解答题三种题型都有所涉及，但以解答题为主。【考纲全景透析】1、常见的几

2、种函数模型(1)直线模型:一次函数模型y=kx+b(k0),图象增长特点是直线式上升(x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=kx(k0).(2)反比例函数模型:y=,增长特点是y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b0,b1,a0)型，其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0)，常形象地称为指数爆炸. (4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a0)型，其中最常见的是二

3、次函数模型: y=ax2+bx+c(a0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大(a0).(6)分段函数模型：其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.2、三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数与幂函数在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内会小于，但由于的增长快于的增长，因而总存在一个，当时，有>。对数函数与幂函数（）对数函数的增长速度，不论与值的大小如何总会慢于的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数，使时有。由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长

4、速度不同，且不在同一个档次上，因此在上，总会存在一个，使时有3、解函数应用问题的步骤（四步八字）（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。以上过程用图表示如下：4、解函数应用问题常见的错误：（1）不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；（2）在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件。【热点难点全析】1、一次函数与分段函数模型相关链接（1）在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关

5、系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）；（2）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数。（3）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起。要注意各段变量的范围，特别是端点值。例题解析例1电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案这两种方案应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示，其中MNCD.(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从

6、500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？思路解析：本题是求在不同的条件下，两种方案所付话费以及话费的比较，但由于题设中以图象的形式给出两方案的付费函数，所以在解题方法上，可先求出函数的解析式，然后再求其他解解答：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为和，由图知M（60，98），N（500，230），C（500，168），MNCD；则（1）通话2小时的费用分别是116元、168元。（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元。（3）由图知，当0x60时，；当60<x500时，由得解得当x500时，。综上，通话时间在内，方案B比方案A优惠。

7、例2我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40),乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40).试求f(x)和g(x);(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？【解析】(1)f(x)=5x(15x40),(2)由f(x)=g(x)得，即x=18或x=10(舍).当15x

8、<18时，f(x)-g(x)=5x-90<0,f(x)<g(x),即选甲家；当x=18时，f(x)=g(x),即可以选甲家，也可以选乙家；当18<x30时，f(x)-g(x)=5x-90>0,f(x)>g(x),即选乙家;当30<x40时，f(x)-g(x)=5x-(2x+30)=3x-30>0,f(x)>g(x),即选乙家.综上所述，当15x<18时，选甲家，当x=18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18<x40时，选乙家.2、二次函数与分段函数模型相关链接二次函数的应用主要有以下方面：(1)利用二次函数关系式或图象求最值.(

9、2)利用二次函数单调性求参数取值或范围.(3)二次函数如果是分段表示，则应注意分段区间端点值的应用.(4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围.例1某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架。已知制造x架该种飞机的产值函数为R(x)=3000x-20x2 (单位：万元），成本函数C（x)=500x+4000 (单位：万元）。利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数¦（x)的边际利润函数M¦x)定义为：M¦x)=¦(x+1)-¦(x).求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（利润=产值-成本）问该公司的利润函数P(x)与边际利润

10、函数MP(x)是否具有相等的最大值？ 解：P(x)= R(x)- C（x)= -20x2+2500x-4000 (xN*,且x1,100)；MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(xN*,且x1,100)；P(x)= -20（x-）2+74125 (xN*,且x1,100)；则当x=62或63时，P（x)max=74120（元），因为MP(x) =-40x+2480为，则当x=1时，MP(x)max =2440元，故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。例2北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2

11、元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元。（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）。（2）当每纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值。思路解析：（1）利润=（售价-进价-管理费）×（销售的纪念章数），注意价格取值是分段的；（2）分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小。解答：（1）依题意

12、些函数的定义域为（0，40）。（2）当0<x20,则当x=16时，ymax=32400（元）；当20<x<40,则当x=时，ymax=27225（元）。综上可得当x=16 时，该特许专营店获得的利润最大为32400元。注：分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。3、指数函数模型相关链接(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设

13、定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解例题解析例1急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在2006年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2016年底至多有多少亿？ 以下对数值可供计算时使用:思路解析：(1)本题求每年人口增长率,但已知40年内翻一番,所以在解题方法上,可用方程的思想来解；(2)本题是计算10年后我国人口的数量，由于题设中已知10年前以及每年的增

14、长率，所以在解题方法上，可先找到函数关系，直接计算求解解答：(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为a,n年后的人口数为y，则y=a(1+x)n,依题意得：2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40,两边取对数得，lg2=40lg(1+x),则lg(1+x)=0.007 525,所以1+x1.017,得x0.017,故每年的人口平均增长率约是1.7%.(2)依题意得y13.14(1+1%)10,两边取对数得，lgylg13.14+10lg(1+1%)1.161 6,y14.51,故2 016年至多有人口14.51亿.例2某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解

15、答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。（101210=1127，1.01215=1.196,1.01216=1.210）思路解析：列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系观察规律，总结出y与x的函数关系按要求求解（2）、（3）两小题解答：（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%),2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%

16、)2×1.2%=100×(1+1.2%)2同理，3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3X年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(xN).（2）10年后人口总数为100×（1+1.2）10112.7(万)（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.2016（年）。因此，大约16年以后城市人口将达到120万人。注：高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握。解决此类问题

17、关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。4、利用函数刻画实际问题相关链接用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.例题解析【例】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则容器的形状是_;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则容器的形状是_;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则容器

18、的形状是_;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则容器的形状是_.【方法诠释】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系，结合图象使之吻合即可.解析：(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C；(2)该题图中的(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D；(4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关

19、系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B答案：(1)C(2)A (3)D(4)B注：用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决.5、利用已知函数模型解决实际问题相关链接利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.例题解析【例】(1)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0&

20、lt;x<240,xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台(2)为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_.【方法诠释】(1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可.(2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式.解析：(1)选C

21、.要使生产者不亏本，则有3 000+20x-0.1x225x,解上式得：x-200或x150,又0<x<240,xN，x的最小值为150.(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k0),将点(0.1,1)代入可得k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入得则所求关系式为答案:6、自建模型解决实际问题相关链接建立函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方

22、法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论例题解析【例3】(2012·北京模拟)某特许专营店销售上海世博会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚；而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元.(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x元之间的函数关系式(并写出这个函数的定义域);(2)当

23、每枚纪念章销售价格x为多少时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值.【方法诠释】(1)首先应根据题意确定出销售价格x的取值范围;再分别求出减少,增加一元时的销售利润,从而得到一年所得利润y(元)的函数关系式.(2)根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解.解析：(1)依题意销售价格x(7,40)，即定义域为(7,40)，而当7x20，xN+时，则增加销售400(20-x)枚,故其一年内销售所获得利润为y=2 000+400(20-x)(x-7);当20x40，xN+时，则减少销售100(x-20)枚.故其一年内销售所获得利润为y=2 000-100(x-20)

24、3;(x-7)，综上得:(2)因为若7x20,则当x=16时,ymax=32 400(元).若20x40,则当x=23或24时,ymax=27 200(元).综上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大,为32 400元.注：解决这类问题常见的两个误区(1)不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解.(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.【高考零距离】1、（2010·福建高考理科·10）对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有则称直线l:y=k+b为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为的四组函数如下：

25、； 其中，曲线与存在“分渐近线”的是（ ）A. B. C. D. 【命题立意】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质进行做答，是一道好题，思维灵活。【思路点拨】读懂新定义、利用新定义，在新背景下进行即时性学习，即可解决问题。 【规范解答】选C，对于，存在分渐近线的充要条件是x 时，-0，当x >1时便不符合，所以不存在；对于 ，存在分渐近线，此时，且对于任意的m>0,取，当时，必有；对于，假设存在，则，若则当时，不满足题意，若，（1）当则当时，时必有或成立，不满足题意，（2）当即，而事实上，不满足题意，综上

26、述：不存在；对于，存在分渐近线，此时，且对于任意的m>0,取，当时，必有。2、（2010湖北理数）17（本小题满分12分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。（）求k的值及f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。思路解析：本小题主要考查函数、函数等基础知识,同时考

27、查运用数学知识解决实际问题的能力.解答:(I)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为.再由C(0)=8,得k=40,因此,而建造费用为.最后得隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和为(II)【考点提升训练】一、选择题(每小题5分，共20分)1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )(A)200副 (B)400副(C)600副 (D)800副2.（2012·三明模拟）某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初生产出的溶液含杂质2%，需要进行过滤，且

28、每过滤一次可使杂质含量减少，则要使产品达到市场要求至少应过滤（ ）(A)3次(B)4次(C)5次(D)6次3.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )(A)y=0.2x(B)y=(C)y=(D)y=0.2+log16x4.（2012·福州模拟）图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S=S(a)(a0)是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为（ ）二、填空题(每小题5分，共

29、10分)5.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是_.6.(2012·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.三、解答题(每小题15分，共30分)7.(易错题)我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足p(x)=(其中t为关税的税率，t0, )，x为市场价格，b,k为正常数)，当t=时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象，求b,k的值;(2)记市场需求量为a，它近似满足a(x)= ，当p=a时的市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格控制在不低于9元时,求关税税率的最小值.8.(2012·衡水模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞