选修系列：数列与差分

1、数列与差分1.引言 数列是描述客观世界的重要数学模型 差分是描述数列变化的主要工具客观世界许多变量本身就是离散的:如酵母细胞的分裂,股市的开盘或收盘价的按日记录等.现实世界中存在着大量的连续函数关系难以用解析式表示:如河流水位的高低作为时间的函数等.函数关系尽管能用解析式表示,但其解析式比较复杂:如捕食与被捕食种群数的变化、接触性传染病的传播等. 在不妨碍研究结果有效性的前提下,为了方便,人们也愿意把对连续函数的研究转化为对数列的研究.而计算机技术的发展,更为数列的研究提供了方便,使数列模型的应用也日趋广泛.1.2.差分是描述数列变化的主要工具.,.,2.-)(,.-,:22121分、四阶差分

2、、阶差可以定义某些数列的三类似地成了一个新的数列的二阶差分又构显然数列使用了两次即差分算子次表示差分运算进行两中的上标二阶差分处的二阶差分项在第为数列称一般地称为差分算子项处的一阶差分在第为数列称一般地差分的定义nnnnnnnnnnnnaaanaaaaanaaaa 差分与数列通项的关系1:对数列an = 2,2,2,2,2,其一阶差分an=0,0,0,0.一般地,常数列的一阶差分为各项是零的常数列(注意:每施行一次差分运算,所得新数列的总项数都会减少1) 关系2:对数列an = 3n-5 = -2,1,4,7,10,13,16,19,其一阶差分an= 3,3,3,3,3,3,3为常数列,其通项

3、an=3n-5是一个线性函数.一般地,当数列an是由一个线性函数定义的等差数列时,其一阶差分为常数列. 关系3:对数列an = n2-3n+5 = 3,3,5,9,15,23,其一阶差分an= 0,2,4,6,8,其二阶差分2an=2,2,2,2为常数列,其通项an= n2-3n+5是一个二次函数.一般地,当数列an是由一个二次函数定义时,其二阶差分为常数列. 关系4:对数列an = 3n = 3,9,27,81,243,729,2187,其一阶差分an=6,18,54,162,486,1458,二阶差分2an= 12,36,108,324,972都不是常数列,而都是公比为3的等比数列.一般地

4、,当数列an是由一个指数函数定义时,其一阶、二阶差分都是以该指数函数的底数为公比的等比数列.差分对数列的描述 一阶差分对数列增减的描述 一阶差分对数列极值的描述 二阶差分对数列图形凸凹的描述.,1,1,5,11-1-1. 1差分确定该数列的通项并根据的一、二阶差分，计算数列例. 55551,1391241,3, 2 , 1,.,.2 , 2 , 2 , 2,6 , 4 , 2 , 0 , 2,:222nnaCBACBACBACBAnCBnAnaaaannnnn可确定数列的通项为解得从而有得到数列的前三项代入取设通项由一个二次函数所定义知数列通项其二阶差分为常数二阶差分其一阶差分表示该数列用解

5、例2.构造数列n2-4n+3前7个值a1 a7的差分表,并据该表确定数列在何处增加、何处减少、何处达到相对极大或极小、图像上凸或下凸. 解:构造差分表如下.据差分表:因a10,数列在n =2,3,6处为增;a10,故在n=2处达到相对极小;对这7项而言,数列无相对极大;因为二阶差分2an0,故数列图像是下凸的.n1234567an0-10381524 an-1135792 an222222.差分方程有关的基本概念).(:.,)(:.:,:. 1121 -1nknknnnnnnnnnnnnnxxknnxxxnxnxxxxnxxxxa阶差分为处的定义在类似可它反映的是增量的增量处的二阶差分称之为在

6、的差分从而可以进一步定义的函数是可见们都是指向前差分以后我处的向后差分在为而处的向前差分在为定义差分算子设数列差分算子.,:)2 . 2() 1() 1(;22;., 1,) 1 . 2() 1() 1()(:.)(:.,. 2101021212211001的线性组合表示出来可以由表明反之处的取值所线性决定在由这表明故有则有为不变算子为平移算子称记平移算子差分算子、不变算子、nknnknnkkiinikikknknkiinikiknknnnnnnnnnnnnnnnnkkiinikikkiniikiknknknnnnnnnnxxxxxxCxxxCxxxxxxxxxxxxxxxknnnxxxCxE

7、CxIExIExIEIxExxIExIxxEx000011111)(. 5 . 3. 4 . 3)(. 3 . 3)(1)(. 2 . 3)(. 1 . 3. 3xCxIxExyxyxyxxyyxxyyxyxxyyyyxyxyxiniinnnnkbakkbbbbkbakknnnnnnnnnnnnnnnnnn差分算子的若干性质.)2 . 4(.)2 . 4() 1 . 4( ,)2 . 2() 1 . 2().()2 . 4()2 . 4(),() 1 . 4() 1 . 2(.) 1 . 4(),(. 4111式方程的形式是我们经常用的差分是等价的和可知和由项之间的关系其前面任意一项与反映的是

8、未知数列阶差分方程式也称为故式可化为式可知由阶差分方程称之为方程以及它的差分所构成的由差分方程kxkxxxnFxkxxxnfxxnknnnknnknnnkn.)2 . 4(,lim)2 . 4(. 4 . 5.,)2 . 4(. 3 . 5.)2 . 4().,(,)2 . 4()(. 2 . 5.)2 . 4(,)2 . 4(. 1 . 5. 5的稳定解为方程则称使得的解如果的振动解为关于平衡点则称终负的也不是最既不是最终正的使得的解如果平衡解可能不止一个的平衡解或叫平衡点为则称即的是为常数如果的解程为方则称成立对所有的阶差分方程使如果念差分方程的解与有关概nnnnnnnnnnnxxxxxx

9、xxxxxxxnFxxxxxnkx3.差分方程(一阶)的解、通解与特解 差分方程的解是一个数列.当把它代入差分方程时,得到一个恒等式,它满足任何一个初始值. 差分方程的通解 差分方程的特解 例如:用数列xn = (1.05)nc(c为任意常数)代入差分方程xn+1= xn+0.05xn,有:(1.05)n+1c = (1.05)nc +0.05(1.05)nc,这是一个恒等式.称数列xn = (1.05)nc是差分方程xn+1= xn+0.05xn的解. 我们注意到,上式解中含有一个常数c,并且方程是一阶的.一般地,如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数,就称它为差分方

10、程的通解.按此定义,xn= (1,05)nc也是一阶差分方程xn+1= xn+0.05xn的通解. 对上式通解xn= (1.05)nc,若给定初值x0=1000,代入通解得:1000= (1.05)0c,求得常数c =1000,称xn= (1.05)n1000为方程相应于初值x0=1000的特解.注意:这样求出的特解是用解析式表示的. 显然,相应于不同的初值,方程有不同的特解,而求特解只要将给定初始值代入通解求出待定常数即可.迭代法 对差分方程(组)来说,迭代法是用于求特解的重要方法. 重点:对一阶齐次线性方程组,在给定初始值的条件下,可以利用某种迭代程序在计算机上方便地求得它的数值解序列,并

11、根据数值解序列掌握解的变化趋势.此点在新课标该专题中作重点要求. 用方程含未知数列项相同个数的初始值代入方程(组)求得第一个(组)数值,将所得第一个(组)数值又代入方程(组)求得第二个(组)数值,将此过程不断重复,求得在该初始条件下满足方程(组)的特解.例3:., 0, 0,114,)(.32,0123. 0 ,0256. 0 ,0768. 0 ,1600. 0 ,4800. 0 ,0000. 1,0082. 0 ,0189. 0 ,0512. 0 ,1184. 0 ,3200. 0 ,7400. 0:,32,242. 0114114000011这一对常数并且后续各项都稳定于次时第进行到我们很

12、快就能发现迭代在计算机上操作程序如程序某种迭代如果这一求解过程采用数值解这样求出的特解是一种的特解于初始值它们是上述方程组相应可迭代得出代入用初始值对一阶齐次线性方程组yxQBASICyxyxyxyxyyxxnnnnnnnn例4:.,0,6230011无穷大趋于、其数值解时可见到当操作用迭代程序在计算机上时不全为、若初始值对一阶齐次线性方程组nnnnnnnnyxnyxyxyyxx例5:.1 , 1 , 1, 10 , 1 , 0 , 1 ,1, 0.,0,2000011间变化四个值之与分别在、时如在期性变化分别在四个值之间呈周都、其数值解时可见到当操作用迭代程序在计算机上时不全为、若初始值对一

13、阶齐次线性方程组nnnnnnnnnnyxyxyxnyxyxyyxx.)3() 1 (.)2(,)()2() 1 (.)2()3(,)3(,0)(,)2(,0)(.)(,)2()(:,) 1 (,111通解的求法和我们来讨论方程最简单的一种具有的几种特殊形式里时所能用待定系数法求特解是方程为常数的情况当是方程方程相应的齐次方程为并称称为齐次的方程时称为非齐次的方程时当的已知函数为已知得非零常数为其中其一般形式为解的求法程一阶常系数线性差分方下面我们重点来讨论nfkxxnfnfnnfknfkxxbkxxnnnnnn3.1.求一阶齐次差分方程xn+1=kxn(3)的通解.).()3(,:., 2 ,

14、 1,)(,:)3(,:000001103230212010即可代入通解求出待定常数初始值而求特解只要将给定的可求出一个特解对于每一个给定为任意常数的通解可表为故方程则为其通解互独立的任意常数数的相有与方程的阶数相同个如果差分方程的解中含的定义又根据差分方程通解来表示可用常数表示初始值由于有一般地的通解则方程给定初始值为迭代法cxxcckxcxnxkxkkkxxxkkxxxkkxxkxxxnnnnnn3.2.探索一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b通解的结构.) 1 () 1 () 1 (:)(:,.,) 1 (,) 1 (:)()5()4()5()4(,) 1 (,1111次方程且该结论使

15、用任意非齐次方程一个解相应齐方程的一个特解方程的任意一个解方程表明作适当变形对它的任意一个解我们构为了探索方程通解的结个解就为相应齐次方程的一则的一个特解为方程的任意一个解为方程若这意味着则的任意两个解为方程设数列nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabbbaaababazykzybkzzbkyyzy3.3.求一阶非齐次差分方程(1)的通解)1 ()1 ()1 ()1 ()(),1 (, 2 , 1 , 0,)(120203022302012010nnnkkkbxkxkkbxkbkbxkkbkxxkbxkbbkxkbkxxbkxxnxi代入依次将设给定的初始值为用迭代法)() 1 (

16、,1 ,1. 2)(1:) 1 (,1.1,1)1(11,111 ,1. 100120000012为任意常数的通解可写为故给定即其为任意常数可任意由于此时时当为任意常数可表为的通解则令也为任意常数从而为任意常数故可设定其可任意给定表示初始值由于）（此时时当cnbcxxnbxxnkkkkckbckxckbxkbxxkbkbxkkkbxkxkkkkkknnnnnnnnnnn.,)(,),(,)(,)(:.,:)(解从而求出方程的一个特数中的特定系特解以确定试解函数方程然后将该试解函数代入称为试解函数作为方程的特解的函数形式相同但系数为特定用于的特点根据方程的非齐次项其基本思想是法种较为简便、常用的

17、方差分方程一个特解的一次线性待定系数法也是求非齐与求解常微分方程类似待定系数法nfnfii)(:) 1 (,) 1(),1 (,) 1 (,1. 2)(1:) 1 (.1,1,),1 (,) 1 (,1. 11为任意常数的通解为知此时方程即得有代入的特解可设其有形如为常数知其解数列的一阶差分为方程时当为任意常数的通解为知此时方程即有将其代入为特定系数其中有一特解设方程时当cbncbnckxbnxbAbAnnAAnxbxxkckbckxkbxkbAbkAAAAxknnnnnnnnnn.2,052. 701的特解并求满足的通解求差分方程例yyytt.)25(22. 2,)25(2:2.,)25(,

18、)25(:0001ttttttyyccyccyyy的特解为满足初值得代入通解用为任意常数故其通解为将原方程改写成解4)2( , 4) 1.(. 811nnnnxxxx求下列差分方程的通解例).( , 2) 1() 1(14) 1(, 4, 1, 4)2().( ,4. 4, 1) 1 (1为任意常数为其通解方程中原方程可化为为任意常数其通解为方程中有解cccxbkxxcncxbknnnnnn?,20)4(.,)3(?10)2(.,) 1 (,30.2:. 911那么一共有多少个座位排若该报告厅共有的公式表示试写出用排的座位数表示前若用排的座位是多少个第的公式表示试写出用排的座位数表示第若用个座

19、位已知第一排有个座位排多每一排比前一这样的安排的某学术报告厅的座位是例nnnnnnSSnSyyny).(980202920, 2 , 129. 0,30,30.29, 1.3022) 1() 1(,302,302,)4(, 2 , 1302,28) 1(2) 3().(4828102,282.28,30.,2, 2, 1,)2(, 2 , 12) 1 (22021122211111011个因此本问题的特解故有又由初始条件可得则设的二次函数的表达式为知即由先解上述差分方程可得表达式为个特解为得代入由已知为任意常数通解为其中解上述差分方程解SnnnSCCBASyBAnBAAnCBnAnCnBnAS

20、CBnAnSnSnSnSSnnSSnSySSynycyccnybknyynnnnnnnnnnnnnnnnn.,)(,)(,)(3023021)2(, 2, 2) 1 (:11111的二次函数达式是关于的表知利用差分有关知识的一次函数的情况为而后者属的情况为常数但前者属类型分方程都属一阶非齐次线性差即排座位数表达式中前与小题中每排座位数的表达式在本例小题注意nSnnfnfnfkxxnSSnSSnyyyynnnnnnnnnnn4.差分方程在数学建模中的一些应用 差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型.在科学研究和生产实际中,经常碰到处理对象涉及的变量(如时间)是连续的,但是从建模的目

21、的考虑,把连续变量离散化更为合适,将连续变量作离散化处理,从而将连续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题. 在实际建立差分方程模型时,往往要将变化过程进行划分,划分成若干时段,根据要解决问题的目标,对每个时段引入相应的变量或向量,然后通过适当假设,根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系,建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系,从而建立起差分方程. 或者对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当的变量或向量,然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式,从而建立起差分方程. 在这里,过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的,应当结合

22、已有的信息和分析条件,从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分,同时,对划分后的时段或子过程,引入哪些变量或向量都是至关重要的,要仔细分析、选择,尽量扩大对过程或系统的数量感知范围,包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式,目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程. 在下面所举的实际例子中,这方面的内容应当重点体会. 4.1.金融问题的差分方程模型 1.设现有一笔p万元的商业贷款,如果贷款期是n年,年利率是r1,今采用月还款的方式逐月偿还,建立数学模型计算每月的还款数是多少? 模型分析: 在整个还款过程中,每月还款数是固定的,而待还款数是变化的,找出这个变量的变化规

23、律是解决问题的关键. 模型假设: 模型建立:.12,1rrmAkk月贷款利息为元月还款数为元个月后的欠款数是设贷款后第. 0,100000:.)1 (:,:,24011AAmArAmArAAAkkkkkk这里已知有即考虑差分关系有关于离散变量模型求解: .356.444:,2,0052125. 0,10000:.,0,., 2 , 1 , 0,1)1()1 ()1 ()1 (1 ,)1 ()1 (,012001102101111元可以求出时例如出月还款数额可以求中代入把已知数据这就是差分方程的解故则令mnrAmArAkrrmrArrBABBBAArBrBBAABnkkkkkkkkkkk模型的进

24、一步拓广分析: .,.:,00并最终还上贷款欠款余额逐步减少时只有当每月只还上了利息即表明总有时并且当则如果令rmArmArmArmAAAkk 2.养老保险模型问题:养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司将提供不同的保险方案以供选择,分析保险品种的实际投资价值.即分析如果已知所交保费和保险收入,按年或按月计算实际的利率是多少,也就是说,保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益. 下面的应用实例中,.0),;(,1阶差分方程为称设有未知序列kxxxnFxknnnn模型举例分析: 假设每月交费p元至60岁开始领取养老金,男子若25岁起投保,届时养老金每月2282元;如3

25、5岁起保,届时月养老金1056元;试求出保险公司为了兑现保险责任,每月至少应有多少投资收益率,这也就是投保人的实际收益率.模型假设: 这应当是一个过程分析模型问题.过程的结果在条件一定时是确定的.整个过程可以按月进行划分,因为交费是按月进行的. 假设: 设投保人到第k月止所交保费及收益的累计总额为Fk; 设r为每月收益率; 记p、q分别为60岁前每月交费数和60岁后每月领取数; 记N为停交保险费的月份,M为停领养老金的月份.模型建立: 在整个过程中,离散变量Fk的变化规律满足: 在这里Fk实际上表示从保险人开始交纳保险费以后,保险人帐户上的资金数值.我们关心的是,在第M个月时,FM能否为非负数

26、.如果为正数,则表明保险公司获得收益;如为负数,则表明保险公司出现亏损;当为零时,表明保险公司最后一无所有,所有的收益全归为保险人.MNkqrFFNkprFFkkkk,)1 (1, 1 , 0,)1 (11 从这个分析来看,引入变量Fk,很好地刻画了整个过程中资金的变化关系,特别是引入收益率r,虽然它不是我们所求的保险人的收益率,但是从问题系统环境中来看,必然要考虑引入另一对象:保险公司的经营效益,以此作为整个过程中各种量变化的表现基础. 模型计算:00485. 0:0)1)(1 ()1 (:0., 1,1)1()1 (:, 1 , 0,1)1()1 (, 0,600,420;2282,20,

27、75.2500rpqrpqrFMkNkMNkrrqrFFNkrrprFFFMNqpNMMMNkNkNkkkk的根为利用数学软件求出方程求出并利用分别取在上面两式中得到我们可以由初始值为则有岁假设男性平均寿命为岁起保为例以4.2.人口的控制与预测模型 背景分析:人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟.但在实际应用中不是很方便,需要建立离散化的模型,以便于分析、应用.人口数量的变化取决于诸多因素,比如:女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等. 试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律. 模型假设:, 2 , 1 , 0, 1, 2 , 1),()(1 ) 1(,)()

28、 1()()()3(., 2 , 1 , 0, 2 , 1),()2() 1 (.,11tmitxtdtxtxtxtxtdittmitxitmiiiiiiii则有岁的人口平均死亡率年为设第普遍联系量的变化规律、内在的的目的就是找出这些变我们载体题分析、表现的目标和这个数量指标是整个问岁的人数为年为第岁设这个地区最大年龄为年龄取周岁口数量以年为时间单位记录人.,)(,)() 1()()()()()(,),()()(,)()()()()()6()()(1 ()(),()5()()()()(:,)(.,),(,)4(121100000212112112121本因素它反映了人口变化的基育率称之为总和生

29、均生育的婴儿数表示每位妇女一生中平可见则变年后女性出生率保持不如果假设则岁女性总生育率它表示设则年婴儿得死亡率为记第生的人数为年出第由此可知岁人口的女性比年为第为生育区间儿数为即每位女性平均生育婴岁女性的生育率年为设第tiitbtbtbtbtbtbttthttbittbtbtbthtftdtxtdttxtktbtftittkiitbitiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii模型建立:)()(1 () 1()()(1 () 1()()()()()()()()(1)(1 ()()()()(1)(1 ()()(1)(1 ()()(1 () 1(,11122000000000001212121

30、txtdtxtxtdtxtxtbttxtkthttdtdtxtktbtdtdtftdtdtxtdtxmmmiiiiiiiiiiiiiiiii根据上面的假设nmiinmmmtbtbtBtdtdtdtAtxtxtxtx000000000000000000000)()(00)(0)(100000)(100000)(100000)()(,),(),()(,1212121令况个时期内人口数量的状为了全面系统地反映一.,)()(,)(,)(,) 1 . 2()()()()() 1(:)()()()()() 1(:)(故称其为双线性方程都是线性的和并且关于是状态变量是可控变量其中这是一阶差分方程即满足方程则

31、此向量txttxttxtBttAtxtxtBttxtAtxtx模型分析:.,)()2 . 2()()() 1(.)(,)(,下来以确定则人口的变化规律就可确定下来只要总生育率从而为常数矩阵故变的存活率都可以假设为不性比例和婴儿死亡率、生育模式、女在稳定的社会环境下ttxBtAtxBtBAtA4.3.蛛网模型 经济背景与问题: 在自由竞争的市场经济中,商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的,供应量越大,价格就越低.另一方面,生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的,价格上升将刺激生产者的生产积极性,导致商品生产量增加;反之,价格降低会影响生产者的积极性,导致商品生产量下降.经营者要取得良好的经济效益,就必须把握