龙帝国技术社区-信号分析

1、信 号 分 析教材：信号与系统分析，高等教育出版社，张德民，2006.9主要参考书：Signal Analysis，A.Papoulis主讲：张德民 教授课程主要内容第一章 信号、系统及变换回顾n离散信号及系统n连续信号及系统nZ变换n离散系统分析n模拟系统的数字仿真课程主要内容第二章 序列的双重性和变换的统一性n信号变换的统一性n信号序列的双重性原理n双重性原理的应用第三章 付里叶分析n付里叶变换n付氏级数和线谱n离散付氏级数的数学解释n离散付氏变换n频率域取样定理n快速付氏变换课程主要内容第四章 系统分析与逼近n矩展开及其应用n滤波器n有限阶系统第五章 模拟信号与系统的数字处理n带限近似n

2、均方逼近n模拟系统的数字逼近仿真第一章 信号、系统及变换回顾本课程是一门理论基础课，其目的是掌握信号分析和处理的基本理论、基本概念和分析信号的基本技巧及方法。为后续课程，如数字信号处理、DSP原理等打下基础。本章内容主要与本科相应课程内容衔接，起承上启下的作用，其大多内容仅作复习。本章重点n复习掌握常用离散信号及序列常规运算n复习掌握离散系统及主要性质n复习掌握常用特殊连续信号n复习掌握连续系统主要性质第一章 信号、系统及变换回顾n复习Z变换，重点掌握定义、收敛域、Z反变换和Z变换的基本性质n复习离散系统分析，掌握离散系统的一般分析方法，熟悉几种典型离散系统n了解模拟系统的数字仿真概念几种常见

3、的序列(Several Familiar Sequences)n定义x(n)为对所有整数n有意义的序列，x(n)也称作离散信号。nn理解为离散的时间， x(n)仅在n为整数时有定义，在其它地方视为无定义，而非取值为零。n单位脉冲序列（序列）几种常见序列任意序列均可由(n)表示，即：n单位阶跃序列n矩形序列（窗口序列）容易看出，上述三个序列间有：0n 00n 1)(nkknkxnx)()()(0n 00n 1)(nuNn0,n 01-Nn0 1)(nRN第一章 信号、系统及变换回顾n指数序列式中， 时，序列是发散的； 时，序列是收敛的； a若为负实数时，序列是正负摆动的。序列的常规运算(The

4、General Computation of Sequence)n与连续信号类似，离散信号也有相加（减）、乘、平移等运算。)()()()1()()()()(0NnununRnununknnuNk0n 00n )(nanx1a1a第一章 信号、系统及变换回顾n和与差：两序列相加减等于对应序列逐点相加减。z(n) x(n)y(n)n常数与序列相乘：z(n) ax(n)n乘与商：z(n) x(n)y(n)z(n) x(n)/y(n) ， y(n)0，对任意nn序列的平移：x(n-k)表示x(n)右移k位； x(nk)表示x(n)左移k位。离散系统(Discrete-Time System)n定义(D

5、efinition)离散系统将一个序列变换成另一个序列的运算。n线性系统(Linear System)线性系统满足叠加原理，即：若a，b是常数，y1(n)Lx1(n)，y2(n)Lx2(n)；有：Lax1(n)+bx2(n)=aLx1(n)+bLx2(n)成立，则系统L为线性系统。n时不变(Time-invariant)系统的运算关系L不随时间而变化。即：若 y(n)=Lx(n)，对任意整数k，有：Lx(n-k)=y(n-k)成立，则系统是时不变系统。若系统同时满足线性和时不变特性，即满足：Lax1(n-k)+bx2(n-k)=ay1(n-k)+by2(n-k)离散系统则称系统为线性时不变系统

6、。目前大多数物理可实现系统均可认为（近似）是线性时不变系统。n单位脉冲响应(The Delta Response)在线性时不变系统的输入加入单位脉冲序列时系统的输出序列称为单位脉冲响应，记作： h(n)=L(n)h(n)包含了线性时不变系统的所有系统特性。例如已知h(n)，可以求得任意输入x(n)的系统输出y(n)。符号“*”表示离散卷积运算。证明：任意序列x(n)可表示为：)()()()()(nhnxmnhmxnym离散系统所以，系统输出可写作：因为系统是线性的，可以应用叠加原理，即：又因为系统是时不变的，有： L(n-m)=h(n-m)所以有：n因果系统(Causal System)系统输

7、出变化不会发生在输入变化之前的系统称为因果系统。mmnmxnx)()()( )()()()(mmnmxLnxLnymmmnLmxmnmxL)()( )()()()()()()()(nhnxmnhmxnxLnym离散系统对于因果系统，如取k，当nk时，有x1(n)=x2(n) ，则当nk时，有 y1(n)=y2(n)。例1-1：一系统y(n)=Lx(n)=3x(n-2)+3x(n+2)，试判断其因果性。解：设当nk时， 有x1(n)=x2(n)，则：Lx1(n)= 3x1(n-2)+3x1(n+2)Lx2(n)= 3x2(n-2)+3x2(n+2)由于不能保证x1(n+2)=x2(n+2) ，在

8、n k时成立，所以，不能保证有Lx1(n)= Lx2(n)， 在n k时成立。因此，该系统是非因果系统。对于线性时不变系统，可以证明系统是因果系统的充要条件是： h(n) 0， n0离散系统证明：先证明必要性：设当nk0时，有x1(n)=x2(n)，而，显然，由n-mk0知，只有m0，才有x1(n-m)=x2(n-m)，而当m0时，不能保证x1(n-m)=x2(n-m)，所以要有y1(n)=y2(n)，则必定有： h(n) 0， n0；再证明充分性：当m0时， h(m) =0，则有：mmmnxmhnymnxmhny)()()()()()(22110111)()()()()(mmmnxmhmnx

9、mhny离散系统对任意的n，当nk0时， x1(n)=x2(n)，因而有m=0,1,时， x1(n-m)=x2(n-m)成立，因此可得：当nk0时， y1(n)=y2(n)成立。系统为因果系统。n稳定系统(Stable System)只要输入是有界的，输出必定是有界的，这样的系统称为稳定系统。即：若x(n) ，对一切n，则y(n) 0)或左移(n0)n位；n相乘：x(k)h(n-k)n求和：求各项乘积之和。n差分方程(Difference Equations)一个线性时不变连续系统可用线性常系数微分方程描述，类似地，可用一个差分方程描述离散系统，线性时不变离散系统可用一个常系数线性差分方程描述

10、。即：式中，N为阶次，称为N阶差分方程；ai，bi为常系数，它们反映系统特性。差分方程可由系统的线性时不变、稳定性和因果性推导而得。MiiNiiinyainxbny110)()()(离散系统递归型系统：系统n时刻输出不仅取决于n时刻和以前的输入，还取决于以前的输出；系统输出对系统有反馈，表达式如上式所示。非递归型系统：系统输出仅决定于输入；输出对系统无反馈。差分方程中ai=0，i=1,2, ，M；写作：n离散系统的框图描述(Block Diagram Representation of Discrete-Time System)离散系统可用三种简单单元：乘法器、延时单元和加法器组合连接形象表述

11、。框图表示如右图所示。10)()(Niiinxbnyx2(n)x1(n)x2(n)x1(n)X(n)y(n)=x(n-1)X(n)y(n)=ax(n)第一章 信号、系统及变换回顾连续信号(Continuous-Time Signals)n连续信号是指对时间连续变化的信号，或者从数学上讲是对所有实数t定义的函数f(t)。n几种重要连续信号(Several Important Continuous-Time Signals)w冲激函数(t)冲激函数在连续信号中是一个在概念上很重要的信号，在数学上作为一个奇异函数具有许多特殊性质。w阶跃函数u(t)1)( , 0 00 )(dttttt0 00 1)

12、(tttu第一章 信号、系统及变换回顾(t)与u(t)之间有如下关系：w符号函数sgn(t)显然，符号函数与阶跃函数间有关系：sgn(t)=2u(t)-1w矩形函数Pa(t)连续系统(Continuous-Time System)n定义(Definition)连续系统是一个按一定规律将输入函数x(t)转换成输出函数y(t)的运算，即：)()(tdttdu0 10 1)sgn(tttatattPa 0 1)(连续系统 y(t)=Lx(t)n线性系统(Linear System)对于任意常数a1、a2，信号x1(t)、x2(t)，系统满足： La1x1(t)+a2x2(t)=a1Lx1(t)+a2

13、Lx2(t)n时不变系统(Time-invariant Systems)对于任意实数t0有：Lx(t-t0)=y(t-t0)n因果系统(Causal System)若函数满足：x(t)=0，t0，则称函数为因果函数。对一个系统，若输入是一个因果函数，其输出仍是因果函数，则系统是因果系统。即：对tt0，有x(t)=0，则在tt0，应有： y(t)=Lx(t)0连续系统在实际系统中，若“t”表示时间，则系统一定是因果的；但并非所有实际系统都是因果的。如光学系统L表示对物体的呈像，输入f(x)0，x0（左半平面）的物体，其输出则可能在x0不等于零（有呈像）。n冲激响应(The Impulse Res

14、ponse)对于线性时不变系统L，定义：h(t)=L(t)为系统的冲激响应。h(t)仅取决于系统，与输入无关，它完整地反映了系统特性。推论：若x(t)为一个持续时间相对h(t)足够短的任意输入信号，则有： Lx(t) Ah(t)式中，A为x(t)的面积。因为 (t)dt=1，x(t)相对h(t)足够短，所以有：x(t) A (t)，即有： Lx(t) LA (t) = Ah(t)连续系统n卷积(Convolution)定义两函数x1(t)与x2(t)的卷积为：定理：对线性时不变系统，一个任意输入x(t)的响应由x(t)与h(t)的卷积给出：若系统为因果系统，即h(t)=0，t0，所以：定理可以

15、类似离散系统用线性时不变特性证，也可参考教材用数学方法证明。n输出的重心(Output Center of Gravity)()()()( )()()()()(12122121txtxdtxxdtxxtxtxtydthxty)()()(0)()()(dthxty连续系统对一个函数x(t)而言，面积(Ax)、一阶矩(mx)和重心(x)是比较重要的量，它们分别定义为：定理：若y(t)=x(t)h(t)，则： Ay=AxAh；my=Ax mh+ Ah mx； y= x+ h 定理可以容易地由卷积定理证明，定理说明已知输入和h(t)的面积、一阶矩和重心，可以不求输出而求得输出信号的面积、一阶矩和重心。

16、n系统传输函数(The System Transmission Function)对一个线性时不变系统，定义h(t)的付氏变换：为系统传输函数。它频域描述线性时不变系统特性。xxxxxAmdtttxmdttxA ; )( ; )(dtethHtj)()(连续系统一般而言，H()是复函数，即：式中， A ()为幅度特性， ()为相位特性。w实系统：若系统的h(t)为实函数，称系统为实系统。对于实系统，有：所以有： A (-)= A ()； (-)=- ()，即实系统的系统函数的幅度函数是偶函数；其相位函数为奇函数。w推论：对任意实系统，若其系统函数为 ，则：例1-3：求解方程 解：设输入为f(t

17、)=cos3t，即3；输出为g(t)，对方程两边取付氏变换，可得系统传输函数为：)()()(jeAH)()()()()(HeAdtethHjtj)()(jeA)(cos)(costAtLttgtg3cos)(2)(连续系统所以有：h(t)=e-2tu(t)为实系统。利用推论，有：从而有：jFGH21)()()(231131321)3()3()3(jtgjejeAH)3cos(131)(231tgttg连续系统w实系统延迟时间：由重心定义和实系统特性，可求得实系统h(t)的重心为： ，从而输出信号重心 ，即当信号x(t)通过一个实系统时，其重心被延迟了 。w卷积定理：时域卷积，频域乘积；反之亦然

18、。w系统级联：两个系统级联后的系统函数等于该两个系统的系统函数的乘积。n泊松求和公式(The Poisson Sum Formula)对一任意函数y(t)，其付氏变换为：则有：) 0(h) 0(fhfg) 0 (dtetyYtj)()(ntjnnenYTnTty0)(1)(0连续系统式中，T为任意常数，证明：上式左端为一周期函数，y(t)是其主值函数，将它展成付氏级数有：式中，付氏级数系数为：代入上式，得：也可由系统理论证明，如教材所示。T20TeanTtyntjnnn2 , )(00)(1)(1)(100220nYTdtetyTdtetyTatjntjnnTTntjnnenYTnTty0)(

19、1)(0第一章 信号、系统及变换回顾Z变换(Z Transforms)Z变换是分析离散信号与系统的重要工具，它将一个时域问题等效地转变到变换域来研究，可能使问题分析和研究简单。n定义(Definition)一离散序列x(n)的Z变换定义为：wz是个复变量，其实部为横坐标，虚部为纵坐标；wZ变换是一个级数，在收敛范围内还可用解析式形式表达。例1-4：求x(n)=(n)的Z变换解：nnznxzX)()(0 11)()(0zzznxzXnnZ变换例1-5：求x(n)=u(n)的Z变换解：n收敛域(The Region of Convergences)w在Z平面上满足Z变换（级数）收敛的区域称为收敛域

20、。w级数收敛的条件是绝对可积，即满足：w由于z为复变量，所以Z变换的收敛域总是一个环域，即： r1|z|r2其中r2，r1分别是收敛域的上、下限，图形可如下图所示。1 11 1 )()(1210zzzzzznuzXnnnnnnznx)(Z变换w应当注意，只有当Z变换的解析表达式和收敛域都相同时，才能判定两序列相同。例1-6：求x1(n)=anu(n)的Z变换解：例1-7：求x2(n)=-anu(-n-1)的Z变换azazzazXnnn 11)(101Z变换解：由上两例可见，虽然它们的解析表达式相同，但它们各自的收敛域不同（参见上图），因而它们是不同序列的Z变换。n序列Z变换的收敛域(The R

21、egion of Convergence of Z Transforms of Sequences)w任意序列可分为有限长序列、右边序列、左边序列和双边序列，它们Z变换的收敛域各有特点。w有限长序列(Finite-Length Sequences)x(n)仅在n1nn2的有限长区域内有值，其余均为零。其Z变换为：azazzazazzazazXnnnnnnnn 11111 )()(1101011221)()(nnnnznxzXZ变换由Z变换存在条件知，在n1nn2内，只要|x(n)|，则 对0|z|均成立。所以对有限长序列而言，其Z变换收敛域至少是整个有限z平面（不包括零点和无穷远点的z平面），

22、z=0和z 两特殊点则不一定收敛。因而对有限长序列有：nn10，n20 收敛域： 0|z|0 收敛域： 0 |z|nn10 收敛域： 0 |z|w右边序列(Right-Sided Sequences)x(n)仅在nn1时有值， nn1时x(n)0。其Z变换为：由无穷幂级数收敛判定准则（达兰贝尔判别法），其收敛半径可由下式求得：21)(nnnnznx1)()(nnnznxzXZ变换所以，收敛域：为某个圆的外部，因此，右边序列收敛域为：nn10（因果序列） 收敛域： r1 |z|nn10 收敛域： r1 |z|n2时x(n)0。其Z变换为：由 求得其收敛域为： 为某个圆的内部，由此，左边序列收敛域

23、为：2)()(nnnznxzX1)()1(lim)()1(lim1znxnxznxznxnnnn2)1()(limrnxnxznZ变换nn20 收敛域： 0 |z|0 收敛域： 0 |z| r2w双边序列(Two-Sided Sequences)x(n)从n=-到n= 均有值，它可看作是一个左边序列和一个右边序列之和。其Z变换为：其收敛域应为左边序列Z变换X-(z)和右边序列Z变换X(z)的公共收敛域，是一个环域。即： r1|z|r2 ， r1r2)()( )()()()(111zXzXznxznxznxzXnnnnnnnnZ变换nZ反变换(Inversion of The Z Transfo

24、rm)w已知序列的Z变换（表达解析式和收敛域），求时域序列的过程称为Z反变换。wZ变换反演定理：若序列x(n)的Z变换为：则：Z变换反演定理可由柯西积分定理推导出来。21 )()(rzrznxzXnn),( )(21)(211rrCdzzzXjnxCnZ变换w求Z反变换有三种方法：n长除法（幂级数法 Power Series Method）对于给定的X(z)，首先根据其收敛域判定序列x(n)是右边序列、左边序列，还是双边序列；然后用长除法将X(z)分别展开成降幂级数、升幂级数或者是即包含z-i多项式又包含zi多项式的级数形式。展成级数后，其级数各项的系数就是所求的序列。n部分分式法(Parti

25、al-Fraction Expansion Method)对于可将X(z)写成有理分式的Z变换，采用部分分式法求Z反变换比较方便和有效。先将X(z)分解成单极点分式形式：iiizzzAAzX0)(Z变换式中Ai为因式分解常数，zi为极点。再利用如下变换关系：求得序列：n对于n0的因果序列，有：)1()()(00 nuzzzznuzzzznAAniziniziziniinuzAnAnx)()()(0Z变换n对于n0的左边序列，有：n当判定序列为双边序列时，应小心处理。设X(z)的收敛域为 r1| z |r2，pi是小于r1圆内的极点，si是大于r2圆外的极点，则X(z)可写作：所以其对应的时域序

26、列为：iniinuzAnAnx) 1()()(0iiiiiiszzCpzzBAzX0)(Z变换例1-8:求 的Z反变换。解：由收敛域可知序列为双边序列，由因式分解可写作：iniiiniinusCnupBnAnx) 1()()()(0321 3722)(2zzzzzX)3(21)(3(22)(2121zCzBzAzzzzzzXZ变换得： 令z=3，求得B=2/3；令z=0，求得A=4/3；令z=1/2，求得C=-2。所以有：由收敛域知，小于r1圆内的极点是p=1/2，大于r2圆外的极点是s=3，所以有：2) 3()()(3(2121zzCzzBzzzA2133132)(zzzzzXZ变换 n对于

27、多重根极点，可以类似处理。这时，X(z)可被分解为因式： 利用变换对： 即可求出序列。) 1(331)()21()(32)(nununnxnn1)(mazz221111; )() 1(; )()(rzrzsaszznusCrzrzpapzznupCimizmnimnimizmnimn收敛域：收敛域：Z变换n留数法(Residue Method)一般地，序列的Z变换总可以写作：在此基础上，应用Z变换反演公式利用留数定理即可求出X(z)的反变换。可叙述如下：n对于n0的因果序列，设X(z)zn-1在围线C以内的所有极点为zk，则：01)()( )()(nnnnnnznxznxznxzX0 ,)(R

28、e )(21)(11nzzzXsdzzzXjnxkknCnZ变换n对于n0的左边序列，设X(z)zn-1在围线C以外的所有极点为zp，则：nN阶留数的求法：设zk为N阶极点，则有：0 ,)(Re )(21)(11nzzzXsdzzzXjnxppnCnkzznNkNNknzzXzzdzdNzzzXs)()()!1(1,)(Re1111Z变换nZ变换的基本性质(The Basal Properties of Z Transform)设：w线性(Linearity)Z变换是一个线性变换，即满足叠加原理：Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) r1|z|r2式中，a,b为常数；r1 =max

29、rx1,ry1； r2=minrx2,ry2即其收敛域为X(z)，Y(z)收敛域的公共域，图形如下图所示。需要指出：若上式的线性组合运算中，引入了新的零点，并由新零点抵消了决定收敛域边界的极点，将使收敛域扩大。2121 )()( )()(yyxxrzrzYnyZrzrzXnxZ收敛域公共区域示意图RezImzry2=r2rx2rx1=r1ry1Z变换例1-9：求序列anu(n)-anu(n-1)的Z变换。解：用线性性求，设x(n)=anu(n)；y(n)=anu(n-1)，则：所以：Zanu(n)-anu(n-1)=X(z)-Y(z)=1 z0w序列的位移(Shift of a Sequenc

30、e)设m为整数，有： Zx(n-m)=z-mX(z) rx1|z|0表示序列右移；m0表示序列左移。一般地，X(n)与x(n-m)的收敛域相同，但在z=0和z处可能例外。例：已知：Z(n)=1 |z|0 而： Z(n-1)=z-1 0|z| Z(n+1)=z 0|z|azazazYazazzzX )( ; )(Z变换w乘以指数序列(Multiplication by an Exponential Sequence)设a为任意复数，有： Zanx(n)=X(a-1z) , |a|rx1|z| |a|rx2物理意义：nX(n)乘以an后，使X(z)的所有零极点坐标乘以因子a；n若a为正实数，可解释

31、为Z平面缩小(|a|1)，零极点在Z平面上沿着径向移动；n若a为模为1的复数，相当于Z平面旋转，即零极点位置以原点为圆心旋转。由此可见，通过控制a，可以控制调整X(z)零极点的位置。在数字系统中常采用此方法来调整控制H(z)零极点的位置，进而控制调整系统特性。Z变换wX(z)的微分(Differentiation of X(z)X(z)的导数等于x(n)线性加权后的Z变换乘以-1/z，即：例1-10：已知求nanu(n)的Z变换。解：21 , )(1)(xxrzrnnxZzdzzdXaazznuaZnz )(aazaznuaZdzdznunaZnnz )()()(2Z变换w复序列的共轭(Con

32、jugation of a Complex Sequence)若x(n)为复序列，则： Zx*(n)=X*(z*) rx1|z|rx2 Zx*(-n)=X*(1/z*) 1/rx1|z|1/rx2w初值定理(Initial Value Theorem)对因果序列x(n)，有：推论：对右边序列x(n)，若存在整数m，并有：则有：x(m)=A，x(n)=0 ，当nm式中，A为常数。)(lim)0(zXxzAzXzmz)(limZ变换由Z变换定义和初值定理易证该推论。此时的x(m)即为x(n)的初值。例1-11：求x(n)的初值，已知 解：由收敛域知序列为右边序列，而且：所以，x(n)初值为x(-2

33、)=1；x(n)=0，n-2。w终值定理(End Value Theorem)若x(n)是因果序列，X(z)除在z=1处可有一阶极点外，全部其它极点均在单位圆|z|=1以内，则：w序列卷积(Convolution of Sequences)卷积定理给出了在z域求序列卷积的方法，将卷积运算转化成乘法运算。设w(n)=x(n)y(n)，则有：Zw(n)=X(z)Y(z) ，r1|z|r2式中，r1=maxrx1,ry1,r2=minrx2,ry2。1 1)(3zzzzX1)(lim2zXzz)()1(lim)(lim1zXznxznZ变换在运算中若新零点抵消了决定收敛域边界的极点，则收敛域将会扩大

34、。例1-12：求x(n)=u(n)与h(n)=anu(n)-an-1u(n-1)的卷积。解：因为：所以：显然，极点z=1在运算中被抵消了，若|a|1，则Y(z)的收敛域扩大了。w巴塞瓦定理(Parseval Theorem) 若x(n),y(n)都满足绝对可积，即X(z)，Y(z)在单位圆上都收azazzzazzazzzHzzzzX 1)(1 1)(1azazzazzzzzHzXzY 11)()()()()()()(1nuaazzZnhnxnynZ变换敛，则对任意T=/，有：巴塞瓦定理的一个很重要的应用是计算序列的能量。序列x(n)的能量定义为：推论：在巴塞瓦等式中令x(n)=y(n)，有：巴

35、塞瓦定理给出了时域、频域求序列能量的一致性。n系统函数(The System Function)Z变换在离散系统理论中的一个重要应用就是定义系统函数。deYeXnynxTjTjn)()(21)()(nnx2)(deXnxTjn22)(21)(Z变换设一个线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，定义h(n)的Z变换为该系统的系统函数。由卷积定理知，任意输入x(n)，可求得其输出： y(n)=x(n)h(n)和Y(z)=X(z)H(z)系统函数是系统特性在Z域里的描述。w稳定的因果系统(Stable and Causal System)稳定的因果系统的系统函数H(z)的收敛域至少为： 1|z| 即

36、稳定的因果系统的系统函数H(z)的极点必须在单位圆以内。Z变换w频率响应(Response of Frequency)若系统是稳定的，则H(z)在单位圆上的值：称为系统的频率响应。其中，A()和()分别是系统的幅度频率、相位频率响应（特性）。它们是的周期函数。（请思考为什么？）)()()(jTjeAeH第一章 信号、系统及变换回顾离散系统分析离散系统分析(Discrete-Time System Analysis)n离散系统的描述离散系统的描述(Representation of Discrete-Time System)线性时不变离散系统主要有三种描述：从时域，用线性时不变离散系统主要有三种

37、描述：从时域，用差分方程描述；从差分方程描述；从Z域，用系统函数描述；从结构，域，用系统函数描述；从结构，用方框图（流图）描述。三者是等效互换的。用方框图（流图）描述。三者是等效互换的。例例1-13：有一离散系统，其差分方程为：有一离散系统，其差分方程为： y(n)=a0 x(n)+a1x(n-1)-b1y(n-1)试求它的系统函数和方框图描述。试求它的系统函数和方框图描述。解：解：1、对差分方程两端求、对差分方程两端求Z变换，有：变换，有： (1+b1z-1)Y(z)=(a0+ a1z-1)X(z)离散系统分析所以，有：所以，有：2、由差分方程容易画出系统的结构框图如下图所示。由差分方程容易

38、画出系统的结构框图如下图所示。z-1+ z-1a1 -b1x(n)a0y(n)110111101)()()(bzazazbzaazXzYzH离散系统分析n离散系统的求解离散系统的求解(Output of Discrete-Time System)已知离散系统和输入，求解系统输出的过程称为离散系统的已知离散系统和输入，求解系统输出的过程称为离散系统的求解。求解主要有三种方法：经典法、递推法和求解。求解主要有三种方法：经典法、递推法和Z变换法。变换法。例例1-14：设一离散系统：设一离散系统 y(n)+3y(n-1)=x(n)；x(n)=(n2+n)u(n)；y(-1)=0，试求解系统输出。，试求

39、解系统输出。解：解：1)经典法经典法(Classical Method) a)由特征方程：由特征方程：1+3 -1=0，求得特征值，求得特征值 =-3； 求得齐次解：求得齐次解： yH(n)=A(-3)n b)求特解：设求特解：设 yp(n)=Bn2+Cn+D 代入方程，求得：代入方程，求得：B=1/4，C=5/8，D=9/32离散系统分析c)求完全解：求完全解：y(n)=yH(n)+yp(n)由初始条件由初始条件y(-1)=0代入，求得代入，求得A=-9/32，所以，所以有：有：2)递推法递推法(Recurrence Method)y(-1)=0，y(0)=0，y(1)=2，y(2)=0，y

40、(3)=12，y(4)=nAnnny)3(329854)(2)() 3(329329854)(2nunnnyn离散系统分析3)Z变换法变换法(Z-Transform Method)由系统差分方程和输入信号，容易求得：由系统差分方程和输入信号，容易求得：所以，由卷积定理：所以，由卷积定理：1 ) 1(2) 1(2) 1() 1()()()()()()(3 3311)()()(323222221zzzzzzzzznuZznuZznuZznunnnuZzXzzzzzXzYzH3 ) 1)(3(2)()()(33zzzzzHzXzY离散系统分析对对Y(z)求求Z反变换即可求得反变换即可求得y(n)，这

41、里采用留数法：，这里采用留数法：)()3(329329854)3(4)3()2(2)3()2(2)3()23(221)()3(329)1(2)3()2(2!21)()3(329)3(2!21)1(21 ,)1)(3(2Re3,)1)(3(2Re)(21322121213211222332313313nunnzzzznzznzznnnuzzzznnuzzdzdzzzzzzszzzzsnynznnnnnznnnznznnn离散系统分析n离散系统的实现离散系统的实现(Implementation of Discrete-Time System)若一个离散系统可由有限个延时单元、乘法器和加法器构成，若

42、一个离散系统可由有限个延时单元、乘法器和加法器构成，则称系统是可物理实现的。则称系统是可物理实现的。一个物理可实现系统由一个因果有理函数描述，即：一个物理可实现系统由一个因果有理函数描述，即：显然若显然若H(z)的所有极点都在单位圆以内，则系统是稳定的。的所有极点都在单位圆以内，则系统是稳定的。一般说来，离散系统可分为两类：一般说来，离散系统可分为两类：w有限冲激响应型有限冲激响应型(FIR型，型，Finite Impulse Response)此时，此时，D(z)为常数，系统函数由为常数，系统函数由N(z)决定：决定：其方框图如下图所示。其方框图如下图所示。)()(1)(11110zDzNz

43、azazbzbbzHNNMMMMzbzbbzNzH110)()(FIR系统结构框图MM离散系统分析FIR型系统有如下特点：型系统有如下特点：nh(n)有限长；有限长；n自然结构是非递归，输出对系统无反馈；自然结构是非递归，输出对系统无反馈；nH(z)在有限在有限Z平面无极点，在平面无极点，在z0处有处有M阶极点；阶极点；n系统一定稳定；系统一定稳定；n容易实现线性相位。容易实现线性相位。w无限冲激响应型无限冲激响应型(IIR型，型， Infinite Impulse Response)若若H(z)为一般形式，即：为一般形式，即：系统称为系统称为IIR系统，当系统，当N=M时的系统框图可如时的系

44、统框图可如下图所示。下图所示。)()(1)(11110zDzNzazazbzbbzHNNMMIIR系统结构框图离散系统分析IIR系统的主要特点有：系统的主要特点有：nh(n)无限长；无限长；n自然结构是递归的，输出对系统有反馈；自然结构是递归的，输出对系统有反馈；nH(z)在有限在有限Z平面上有极点；平面上有极点；n系统可能不稳定；系统可能不稳定；n在相同指标条件下，实现效率较高。在相同指标条件下，实现效率较高。当当N(z)=常数时，有：常数时，有：此时的此时的IIR系统结构是纯递归的，是系统结构是纯递归的，是IIR系统的系统的一种特例，结构可如下图。一种特例，结构可如下图。NNzazazDz

45、H1111)(1)(纯递归IIR系统结构框图离散系统分析若在图中的若在图中的Tk点取输出，则系统还可以实现如下点取输出，则系统还可以实现如下特性的系统：特性的系统：从而实现某些特殊要求。从而实现某些特殊要求。前述结构仅是前述结构仅是FIR和和IIR系统的一些典型结构，系统的一些典型结构，根据不同应用和不同要求，同样的系统还可用根据不同应用和不同要求，同样的系统还可用许多其他不同结构实现，如串联型、并联型、许多其他不同结构实现，如串联型、并联型、转置型和频率取样型等等，不同结构具有不同转置型和频率取样型等等，不同结构具有不同特点。这些系统结构的实现方法和特性将在课特点。这些系统结构的实现方法和特

46、性将在课程后部中讨论。程后部中讨论。)()(zDzzHk离散系统分析n离散系统频率特性分析离散系统频率特性分析(Spectral Analysis of Discrete-Time System)w频率特性反映了系统特性，通过讨论分析频率特性可分频率特性反映了系统特性，通过讨论分析频率特性可分析系统特性；析系统特性；w通常通过计算绘制幅度频率和相位频率特性来讨论分通常通过计算绘制幅度频率和相位频率特性来讨论分析系统；析系统；wH(z)的零极点决定了系统特性，可以通过对零极点位的零极点决定了系统特性，可以通过对零极点位置的估计近似地分析系统特性。设置的估计近似地分析系统特性。设 i和和zi分别为

47、分别为H(z)的的零极点，可将系统频谱表示为：零极点，可将系统频谱表示为：)()()()()(110mmTjPNPNPMPMbeH离散系统分析式中，式中，PMi=ej T- i ， PNi=ej T- zi 为零点和极点矢量。为零点和极点矢量。如下图所示，若极点很接近单位圆，则在极点邻域频如下图所示，若极点很接近单位圆，则在极点邻域频率上率上H(ej T)的值大，形成谱峰；若零点很接近单位圆，的值大，形成谱峰；若零点很接近单位圆，则在零点邻域频率上则在零点邻域频率上H(ej T)的值小。的值小。w可以通过测量，估计出系统的频率特性。可以通过测量，估计出系统的频率特性。n实系统能量谱实系统能量谱

48、(Energy Spectrum Real System)由于由于H(z)的系数为实数，所以有的系数为实数，所以有 ，因此其能量谱为：因此其能量谱为：)()(TjTjeHeHTjezzTjTjTjHzHeHeHeHA)()( )()()()(122零极点位置与系统幅度谱关系离散系统分析设设zi是是H(z)的一个零极点，则在的一个零极点，则在H(z)的分子或分母的分子或分母多项式中将包含因子多项式中将包含因子z-zi，而在，而在H(1/z)中将包含中将包含z-1-zi因子，从而在因子，从而在H(z)H(1/z)中将包含如下因中将包含如下因子：子：所以有：所以有： H(z)H(1/z)V(w)式中

49、，式中，w=1/2(z+1/z)，V(w)是是w的有理函数。的有理函数。定理：定理：一个有限阶系统的能量谱一个有限阶系统的能量谱A2( )是是cos T的的一个非负有理函数。一个非负有理函数。211)(1)(iziizizzzzzz离散系统分析证明：因为证明：因为z=ej T，则，则w=1/2(z+1/z)=cos T，因此有：因此有： A2( )=V(cos T)。n由能量谱设计由能量谱设计H(z)(H(z) Design by Energy Spectrum) 由能量谱定义，可以反过来设计系统。按某种实际由能量谱定义，可以反过来设计系统。按某种实际需要先确定能量谱，即确定一个非负有理函数需

50、要先确定能量谱，即确定一个非负有理函数V (cos T)逼近能量谱，然后找到一个系统逼近能量谱，然后找到一个系统H(z)，使得：使得： |H(ej T)|2= V(cos T)常用设计方法有两种，方法一的设计步骤为：常用设计方法有两种，方法一的设计步骤为：w用用w代替代替cos T，得到有理函数，得到有理函数V(w)；w找出找出V(w)的分子和分母多项式的所有根的分子和分母多项式的所有根wi；w对每一个对每一个wi作方程：作方程：1/2(z+1/z)= wi，求出方程的，求出方程的二个根：二个根：离散系统分析zi和和1/zi，这里，这里zi表示在单位圆内的根；表示在单位圆内的根；w用上一步求出

51、的用上一步求出的zi作作H(z)的零点或极点：若的零点或极点：若wi是是V(w)的零点（极点），则相应的的零点（极点），则相应的zi作作H(z)的的零点（极点）。零点（极点）。 H(z)的常数因子由的常数因子由H(z)H(1/z)V(w)确定。确定。例例1-15：求系统函数：求系统函数H(z)，使得：，使得：解：解：1) ； 2)容易求得容易求得V(w)零点零点w1=5/4，极点，极点w210/6；TTeHTjcos610cos45)(2wwwV61045)(离散系统分析3)求得方程求得方程1/2(z+1/z)=5/4和和1/2(z+1/z)=10/6在单位圆内的根分别为在单位圆内的根分别为z

52、1=1/2和和z2=1/3； 4)构造构造H(z)，其零点为，其零点为z1=1/2，极点为，极点为z2=1/3，有有令令H2(1)=V(1)，得，得A2/3，代入，有：，代入，有：131223)(3121zzAzzAzH1312)(zzzH离散系统分析在设计时应注意：在设计时应注意：w为了获得一个稳定系统，为了获得一个稳定系统，H(z)的极点必须选择在单位的极点必须选择在单位圆内。圆内。wH(z)的零点可以任意，因此用此方法确定的的零点可以任意，因此用此方法确定的H(z)不唯不唯一。例如上例中可选择零点一。例如上例中可选择零点z1=2，其能量谱（幅度谱），其能量谱（幅度谱）是一样的，但是一样的

53、，但H(z)不同，因为此时相位谱不同。不同，因为此时相位谱不同。w若要求系统是稳定的最小相位系统，则要求若要求系统是稳定的最小相位系统，则要求H(z)的零的零极点均在单位圆内，这时设计的极点均在单位圆内，这时设计的H(z)就是唯一的了。就是唯一的了。另一种设计方法是另一种设计方法是双线性变换双线性变换法，这里仅应用了它法，这里仅应用了它的映射关系，其原理、意义和引出将在后面滤波的映射关系，其原理、意义和引出将在后面滤波器设计时详细讨论。器设计时详细讨论。引入变量：引入变量：11zzZ离散系统分析设：设： w=1/2(z+1/z)，则有：则有：引入函数：引入函数：从而有：从而有：亦即：亦即：V1

54、(Z2)=H1(Z)H1(-Z) 11wwW22 , )11(11ZWzzww即：)11()11()(11WWVWVZZHZH）（和)11()11( )1()()()11()(1ZZHZZHzHzHwVWWVWV离散系统分析由此，可由由此，可由V(cos T)确定确定H(z)，其步骤如下：，其步骤如下：w用用 代替代替cos T，由，由V(cos T)确定确定V1(W)；w求出求出V1(W)分子和分母多项式的所有根分子和分母多项式的所有根Wi；w求出方程求出方程Z2= Wi的根的根 和和-Zi，这里，这里， Zi表示表示有负实部的根（即其对应的有负实部的根（即其对应的zi在单位圆内）；在单位圆

55、内）；w用用Zi作为作为H1(Z)的零极点构成的零极点构成H1(Z)；w最后由下式求得最后由下式求得H(z)：WW11iiWZ )11()(1zzHzH离散系统分析例例1-16：仍用上例来说明此方法：仍用上例来说明此方法：解：解：1) 2)求出求出V1(W)的零点的零点W1=1/9，极点，极点W2=1/4； 3)由由Z2= Wi，求得：，求得：Z1=-1/3； Z2=-1/2； 4)由由Zi构造出：构造出：)(coscos610cos45)(2TVTTeHTjWWWWVWVWWWW1649161045)11()(11111241334)(21311ZZAZZAZH离散系统分析由由 （这里选择（

56、这里选择W=0，是为了获取与上题，是为了获取与上题一致的结果，因为上题选取一致的结果，因为上题选取w=1，而，而 ）求出）求出A=3/4，所以有：，所以有： 5)最后，得：最后，得：由于映射的构造的原因，可以保证由于映射的构造的原因，可以保证H(z)的所有零极点均在单的所有零极点均在单位圆内，关于这点在后面滤波器设计讨论双线性变换引入位圆内，关于这点在后面滤波器设计讨论双线性变换引入时可以明显看出。时可以明显看出。41) 0 () 0 (121VH11wwW2413)(1ZZZH13122413)11()(11111zzzzHzHzzzz离散系统分析n两个典型系统两个典型系统(Two Typi

57、cal Systems)w全通系统全通系统(AllPass System)n定义定义(Definition)若一个稳定的系统，其幅度频率特性满足：若一个稳定的系统，其幅度频率特性满足：|H0(ej T)|=1(A) 0 2 亦即系统频率响应函数为：亦即系统频率响应函数为： H0(ej T)= ej ( T)n全通系统系统函数全通系统系统函数(H(z) of AllPass System)全通滤波器系统函数的一般形式为：全通滤波器系统函数的一般形式为：1,1)(022112211000azazazaazazazzazazHNNNNNNNkkkNkkNk离散系统分析由于系数均为实数，写成二阶节级联

58、形式为由于系数均为实数，写成二阶节级联形式为:容易看出，全通滤波器容易看出，全通滤波器H(z)的特点是：的特点是：分子、分母多分子、分母多项式的系数相同，但排列顺序相反项式的系数相同，但排列顺序相反。n全通幅频特性的证明全通幅频特性的证明(Proof of AllPass System)下面由全通滤波器系统函数出发证明其幅频特性满足下面由全通滤波器系统函数出发证明其幅频特性满足全通特性：全通特性：LiiiiizazaazazzH11122211201)()()()(100000zDzDzzazazzazazHNNkkkNkkkNNkkkNkkNk离散系统分析式中，式中， ，因为，因为ak为实数

59、，所以有：为实数，所以有：从而有：从而有： ，即滤波器具有全通频，即滤波器具有全通频率特性。率特性。n性质性质(Quality)n性质性质1：全通系统的零极点是成对的，而且是关全通系统的零极点是成对的，而且是关于单位圆对称的，设于单位圆对称的，设 i为零点，为零点，zi为极点，有：为极点，有： i =1/zi可以推得全通滤波器可以推得全通滤波器H(z)零极点分布规律：零极点分布规律：1)全通滤波器零极点互为倒易关系；全通滤波器零极点互为倒易关系；2)实数零极点两个一组成对出现；实数零极点两个一组成对出现；3)复数零极点四个一组成共轭对出现。复数零极点四个一组成共轭对出现。NkkkzazD0)(

60、)()()(1jjezeDeDzDj1)()()(jjjeDeDeH离散系统分析全通系统零极点位置示意如下左图所示，全通系统利全通系统零极点位置示意如下左图所示，全通系统利用此性质用于补偿系统的相位（时延），通过调整用此性质用于补偿系统的相位（时延），通过调整其零极点位置（保持零极点矢量比不变，如下右图其零极点位置（保持零极点矢量比不变，如下右图所示）来调整相位。所示）来调整相位。离散系统分析n性质性质2：全通系统的相位全通系统的相位 ( )由由 (- )单调下降到单调下降到 (- )-2m 。这里设系统有这里设系统有m对零极点，每个零点滞后一个对零极点，每个零点滞后一个2 相相位。位。n性质