高等数学《第六版》教案 同济大学

1、第一章 函数与极限 221, 011 ( _, ( _, 100 <1 0 <11 01 012 ( 1,1x xy x y y xx xy xy xxf x xx函数 的反函数 即 .(, 设 ,1-1 函数与初等函数 = < = +§211(0_ , (1 _, (_. (11(1, , 211( ( ( , :( ( (,( ( (, 14 (2, 12f f x fx f xx x xx x xx f x g x x f x g xx f f x g g xx xf xx x则3 设 , 及 是单调增函数 证明 若 则(.设=+= +<<<

2、< = < 2(1 , 2, (1 (13, 2311( ( ( (,212xx xf x f xx xf x F x f x F x F x求 .(.5 设 为奇函数,则 的奇偶性如何?(偶函数 = < =+=11(1(1 . (0. (21(1 . (.21,2(3sin (. (4(221,2n nn nnnn n nnx xnnn x n xn观察下列数列变化 趋势,找出其极限.极限为 极限不存在为奇数极限不存在 极限为偶数1-2 数列的极限运算规则及性质= =+ = + §2222333.3132 lim .2123 lim0lim 0.11114lim

3、(=.11131333121lim( (=.6111lim (1+12123123nn n n nn nnnnnnnx y x ynn n nn为1根据数列极限的定义证明:设数列有界,又 ,证明4 计算5 计算6 计算 +=+=+11(=2.231lim (=.2331242lim (+(+( (=1.n nn nnnnx x x xn n n n7 计算8 计算+21201141 lim 2. 211, 010, 02 ( , (00, (00, (10, (10, lim ( lim ( , 0< 11, 1 2x x x x x x x x f x f f f f f x f x

4、x x x 根据函数极限的定义证明:设 求 问 与 是否存在? 1-3 函数极限运算规则及性质 =+ < = + + < < §010022022(00 1, (00 0, (10 1, (10 1lim ( lim ( 5 ( , (00, (00, lim ( (00 1, (00 1,lim ( ( lim (=2.11lim (= 212x x x x h x f f f f f x f x xf x f f f x x f f f x x h x x h x x x (, 不存在, 存在 设 求 问 是否存在?(不存在6 计算 7 计算 =+= =+= +

5、 = +=+ 3212313220. 81lim (=665113lim( (=111421lim (=322arctan lim (=0.x x x x x x x x x x x x x x xx8 计算 9 计算 10 计算 11 计算 + +000sin tan 22(1lim (=. (2lim(=. sin sin 55(3limcot (=1. (4limx x x x ax a x bx b x x x 1 计算下列极限1-4 极限存在准则及重要极限 §0110123301cos 2 (=2.sin 1(1lim(1 (=. (2lim( (=. 11(3lim(12

6、 (=. (4lim(1 (=. x xx x x x x x x x xx x e ex x e e x2 计算下列极限 + 22220113 lim( 0, , . (1, =1. 14 (1lim(22(2lim 0. !( 115 1, 0,1,2, lim 2. x n nn n n n n n n x ax b a b a b x n n n n n n n n x x x x n x x 已知 求 利用极限存在准则证明数列极限.提示:用夹逼准则. 设数列 由下式给出:=+(,证明 存在 并求其值 + + = +=>=222(=1.1216 lim(. 112n n n n

7、n n n n n 求数列极限: +3231 _12 ( 0,; ( 0,lg ; ( 0, sin ; ( , sin ; ( x a x b x x c x x x xd x x x e 下列变量在所给趋向下 是 无穷小, 是无穷大, 既不是无穷下也不是无穷大. 1-5 无穷大与无穷小及其比较 + + + +§111000,21; ( ,21. (, ; , ; , . 12 sin0. 3 cos( 0lim 0, lim , 0x x x x xx x x f x c e a b d f y x x xy x x x f x e x e e x 根据定义证明: 时为无穷小 观

8、察函数 是否有界?又当 时这个函数是否为无穷大? (无界,不是无穷大.4 函数 时极限存在吗?何时是无穷小?何时为无穷大?(=极限不存在5 当 时, + + = = + = =+ 42_2(1sin 2;(21cos 2;(3cos (12 (4;(2;(1;(30_ ( ; (1cos ; x x x x x x x x x a x b x 是比 低阶的无穷小; 是比 高阶的无穷小; 是的 同阶无穷小, 但不等价; 是 的等价无穷小 6 当 时,下列无穷小中, 是比其他三个更高阶的无穷小 + (1; ( tan sin ; ( (0cos cos 2x x c d x x d x x x x

9、 答案:7 当 时, 是关于 的几阶无穷小?为什么? ( 00 1x x e 21( (00 _, (00 _, 0( _21, 1( 0, 1, 111x x f x f f x f x x x f x x x x x x 1 设函数 ,则 故 是函数 的第 类间断点.(1,-1, 第一类2 讨论函数 的连续性,若有间断点,判别其类 型. (, 是跳跃间断点.3 下列函数 1-6 函数的连续性及闭区间上的性质 =+= =+ < = > = §11(1, , ( 0, 1, 2, tan 2 (0(0 21, 1(2, 1. ( 3, 1, ( x x y x k x k

10、 k x x x k x k k x x y x x x e f x 在指出的点处间断,说明这些点属于哪一类,如果是可去间断点,则 补充或者改变函数的定义使它连续.及 是可去间断点; 是第二类间断点. 跳跃间断点. 5 设 =+=±±=+= = > =2 0( ln(1, 1001. (3x x x f x x x x x a ,求 的间断点,并说明间断点所属类型. (是跳跃间断点, 是第二类间断点.6 用函数的连续性求下列极限. > + < =2cot 3000. (=. (7lim , 7 ( x x x a x a x e e f x 设 =2512

11、12 0, ( , 0, 1. 312.( (, , (, ( ( ( ( ( , n n x a b f x x ax b x a R b x x f x a b a x x x b a b f x f x f x f nf x a b ,应怎样选取数 才能使 处处连续? ( 8 证明 方程至少有 一个根介于1和 之间 9 函数 在 内连续, 证明在 内存在一点 使 . 10 若 在 上 < + = =<<<<<+=, ( 0, ( , x a b f x f x a b 连续且对一切 有 试证:在 上恒为正 或恒为负. 22 1 (1 1, (sin _

12、.(sin2sin .1, 01, 01, 0( , ( , (.(x f x x f x x x x x e x f x x f x 设 则 2 设 总习题+= = <> > . 0(1lim(1(4. 1(3lim(1(.2n n x 3 求下 0(5(1n x x 011256max, , , ,0(1,2, , , lim (lim x x m k n n A a a a a k m A n 已知 设 且 证明为自然数 并利用此结论求 =>=0: ;3. ( 0, = 0 1 0x f x x x 用夹逼准则 7 已知 =1,8 设 = <22, ( =0

13、(00=1, (00 1, (00, = 0. ( lim (, 1, 0( 0, 0, (00=(00 (00, ( (, 0nx nxn f x x f f f x x x e f x x n N e x x f x x f f f f x x x 试研究 在点 的连续性.在 点不连续 9 研究函数 的连续性.则 在 +=+= <<+ + > = += < , ., 1, , 0, ( ( ( ( , 1. 2, 0. , ( 1, 2.x x b x f x g x F x f x g x a x x x a b F x a b 内连续 10 设 求函数 (=在(

14、, 的表达式,并讨论 为何值时 (在(, 连续. + << =+ + + + =第二章 导数与微分01 , .(1lim (. (3x x x f x 假设下列极限存在 求下列极限 2-1 导数概念 §56(0.2( (1.f f x y 设 4 设 21211( (, (0( , (01. 1(1 , 0( (0(0,(010, 0 (01, (00, (0, 0( , 0x f x f x f f x f x x x x f x f f f e x f f f x x f x x bx c x ,试按定义求 .( 5 设 求 及 又 是否存在? 不存在 6 已知 ,

15、+ = + = + = = < = + 0, ( (1, 0.(1, 1 ( ( lim( 2x h b c f x b c y e y x y x f x h f x h f x x f x h问 应各为何值时, 处处连续 、可导. 7 求曲线 在点(0,1处的切线方程和法线方程 切线方程:法线方程:8 设 在点 处可导,求 .(= =+= + 742(135.(2.(3tan 2secy x x xy y x x x1 求下列函数的导数.2-2 函数的求导法则(一 =§2222(=tan +sec 2tan sec .(4(, , (=32( .101210ln10(5 (

16、=.101(101(6sin (=x xx xxx x x x xy x a x b x c a b c x a b c x ab bc ac yy x a x e是常数= +=+= +222sin ln sin cos . 2 .1(1sin cos , (, (. (, ( 0.64624(23 .x x xxa x x a a x x a xy x x y y y yy求下列函数再给定点的导数求4+ = 2ln ln2211( ( (102, (105, (255ln(ln(ln 12 (2ln 2(lnsec (x xx xxy f x x y f f y x x xxyxy e设 是

17、 的反函数, 求 .(=.求下列函数的导数.(1(2(3+ =22211111tan tan21tan (4sec( tan(.111cos sin sec (1sinx x xx xxe e ee eyxyy(4(5(6+=+=2222( ( (1(sin (cos (=2cos(sin 2sin (cos.(2( (=( (x f x x x f x x f xy f x f x xf x xf xy f e e e f e e f e e=+=+22(.17 ln(.28 (3,2 4.1(2(3, 2(3.3f xa y ax y x aeM y xy x y x试确定 的值使两曲线

18、与 相切从点 向曲线 引两条切线,求经过两切点的直线方程= = = + =+11 1(1 ! sin (sin(. (2(ln . (, n nn x n x m n n n y ax a ax y x a x a y a a a y x m n m n 求下列函数的 阶导数.(1(2 (3 (4为自然数, 2-3 函数的求导法则(二 + =+=+=> §0(1 0(4sin 2!(. (!( ( |(. cos , cos . (0,(0,(0(01, (01, (01. sin m n n n x x n x x x m x m n d d yy f x f x dx dx

19、y e x y e x y e y y y y y y n y x 2 设函数 有任意阶导数,则 =_.(=3 设 求 . (=-44 设 ,求 . ( 5 求下列函数的 阶导数. (1 += = =121111(1 ! (1 !(2cos(2 (21(1 (11ln , 1ln (. (1 (2!, 10, (0n n n n n n n x y n n n x y x x x x n y x x n n x dy y dxxy e e y (2 (36 求下列方程所确定的隐函数 的导数 .(1求 .( =+= + += = > +=222222322ln 0, 0ln ( (arct

20、an ( (arctan (arctan, 442xyxy y y y x x y xy x x y dyy f x f xy f x x dxyy f x y x x f x y xx y a a a y x a y x =1.(2(. (=.7 设函数 由方程 所确定,其中 可导,求 .(=. 8 求曲线 =在点 处的切线方程和法线方程.(; .9 求 =>> = + += +=2 xy y y (=-210 设 11 用 (1 (22232343313.32( 1( ( ( ( ln(1 114. 8arctan t t t d y dxx e e y e x f t f t

21、 f t y tf t f t x t d y t dx t y t t x 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 4 (1 (=. 9 (2,设 存在且不为零. (=. 求由参数方程 所确定的函数的三阶导数 (=. 15 求曲线 = = = = =+ = =222233, 2113120; 4602at at y t t tx y a x y a r e e x y e 在 处的切线方程和法线方程. (切线方程:4法线方程:3.16 求对数螺线 在点(处的切线方程.(=0.=+ = +=+ 3110.10.1110.10.10, 2|, |, |, |. (|18, |11, |1.161,

22、 |1.1.(11, 0 24x x x x x x x x x y y x x x y dy y dy y dy y dy e xy x 1 已知 求 时 2 求下列函数在指定点处的 微分.函数的微分 =+= = = §2(.ln(1 (2, 1 (2arctan (1 (2dx x t dx t y ty y 3 求下列复合函数的微分. = =+ = = 23 (1.(1log ( x a d e dx x d f x d 5 计算 =22(. log (2arctan ln(. a xf x x f x dy y x yx y dx x x y(=.6 用一阶微分形式的不变性,

23、求,这里 (=. +=+第二章总习题1. 证明可导的偶函数的导数为奇函数.1. 2( ( (, (1( ( ( ( ( (2( ( 0(00(01( f x g x f x y f x g y f y g x f x g x x f g f x 证明可导的奇函数的导数为偶函数.设 和 是在 定义的函数, 且具有如下性质:;和 在点 可导,且已知 , .证明:总习题 + +=+=(, ( 2( ( ln 22, ( ( . ln 22, 45a xa x x a f x f x x a f x x a x a f x f x x a y y 在 上可导. 3. 设 ,讨论 在 处的可导性,并求

24、.(时 不可导, .设 .设 + = < = > 2447(sin (cos (sin ,(cos (sin (sin (sin .8sin cos 4x x x x x x x n n y y f e x f y y e x f e x e x f e x e x f e x x x (6.设 .设 , 具有二阶导数,求 及 .证明( =+ + +=1222222arctancos(42, 09( (0, , , 01(, 1, 1.2ln(1 10(1 ,2(1(1. arctan 11x yn x e x f x f a b c ax bx c x a b c x t t d

25、x d x t t t dy dy y t ae. .设函数 , 存在,确定常数 的值. .设参数方程 ,求 + < = + = = + + = 22312( , , 0. ( 1120, 0(1ln (ln ln .a x a x xx a a x x a x y y x y x x y y x x a x y x x a x a x a x x,求 .(.设 +(,求 .( + =>>+第三章中值定理与导数的应用1011_(0,1(1, _.ln(1, 1.(21.arcsin arccos (11 20x n n n y e e e e x x x a x a x a

26、x x 1 填空(1曲线 在点 处的切线与连接曲线上两点的弦 , 平行. (2对函数在区间上应用拉格朗日定理时所求得的 (1(2 证明恒等式 .3 若方程 +有一个正根 3-1 中值定理 = += = §11001101212(1 0( , ( ( 0( -( ( 0( ( , 0, ( ( |n n n x a nx a n x a x f x a b f a f b F x x a f x a b F y f x f x a b L f x f x L x x ,证明方程 + +必有一个小于 的正根.4 设函数 在上二阶可导,且 ,令 =( ,证明存 在 (,使 .5 若 的导数

27、 在上连续,则必存在常数 使 | = = <<= => 12121212121212(, (, ( , , 0, (, ( ( ( (x x a b f x x x x x x x x x f f f x f x x x . 6 设函数 在 上可导,且 证明存在点 使 1=. > 22002tan 01ln tan 7ln(1 lim lim ln tan 2sec -cos lim lim lim(1x x x x x x x x x x x xx e xx x 1 用洛必达法则求下列极限.(1 (=1. (2 (=1.1(3 (=0. (4( (=1.(5-3-2

28、罗必塔法则+ + §12-1212211lim ln 2ln 12lim (coslim(1( ( 2( ( lim.(. (1 3( xx x x x x x h x x x x x x x x x e x f x h f x h f x f x f x f x hx x f x e 11 (=. (6 (=2.(7 (=1. (8 (=. 2 若 的二阶导数 存在,求 , 讨论函数 + =+=12210.(. , 0ln(, 14( 1, . (1, ln 21. , 1lim(ln nn x e x a x x f x x a b a b x b x n 在点 处的连续性 连续

29、 设 在 处可导,求 5 求数列极限 . (=1. > = +> = + 32432( _0121( 1_(1 (1(1 (1 1(1x x f x xe x e x x x f x x xx x x x1 填空(1的二阶麦克劳林公式是 . (.3! (2在 处的泰勒公式是 . 3-3 泰勒公式 =+<<= + + + + §4sin 23sin 20(01 ( (1sin 23sin ,01. 212sin 1lim . (. sin 6x xx f x e x x x ex x x x x x . 2 求 的二阶麦克劳林公式.3 利用泰勒公式计算极限 &l

30、t;<=+ +<< =33211(10(2tan (0.232( (, ( (, ( (; ( ( 21(2,1 x x x x x x x f x g x f a g a x a f x g x x a f x g x y x x x 1 证明下列不等式 .1+ 2 设对于一切 有 并且 证明当 时, 当 时, .3 证明函数 +3-12在区间 内单调减 3-4 函数单调性与极值>>+<< >=>><<=+ §12sin , 0(1(0; (232(1 (3. 0, 0(1;(21( sin sin 3332,

31、 x x x a e x y x a y x y x x a a a f x a x x x a 少. 4 证明方程 只有一个实根. 5 求下列函数的极值.; 极大值-2,极小值2无极值;(3极小值0. 6 当 为何值时,函数 在 处有极值,是极大值还是极小值?并求此极值.(极大值 = =+>= + = =+=11200000( ( 3(1( ( xexy x e y f x x xf x x f x ex x f x x f x 7 求函数 . 8 已知函数 对一切 满足 若在某一点 0处有极值,是极大值还是极小值?试证明之. (0时 是极小值, 0时 是极大值. = += >&

32、lt;2ln(1 (, 1,(1, :(1,1; (1,ln 2,(1,ln2. 1( (0, 0, , 1 22ln ln ln(22n n ny x x y x y x y x y n x y x yx 1 求曲线 的凹凸区间及拐点.(凸区间:;凹区间 拐点:2 利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式. 3-5 曲线的凹凸与最值=+ + +>>> >+<> §32321020, 0, 39(1,3, (, . 22( 11,2(3, 0. 111, (1 1.211. 11p p p x y x y y ax bx a b a b f x x x

33、 x x p x x x e xy x x 3 已知点 为曲线 的拐点,求常数 .4 求函数 在区间 上的最大值和最小值.最大值最小值 5 证明下列不等式. (1若0及 则 (2当 时, 6 给定曲线 .(1求曲线上横坐标为 的点处的 > =+= = + > + < =0022002200(11(, , (0, 0.(, . 22y x y M x y a ba b x y 切线方程;(2求曲线的切线被两坐标 轴所截得的最短长度. 切线方程:7 在椭圆 的第一象限部分上求一点 使过此点的切线与两坐标轴所构成的三角形面积最小 其中 +=>>=22(1(2 .4y x

34、 x xy x 3-6 函数图形的作法 作出下列函数的图形. 1 2 .=+ = § 33001ln ln 2, . 22222cos , sin .(|.3sin 237y x x a t y a t t t K a t = 曲线 上哪一点处的曲率半径最小?求出该点处的曲率半径. 处有最小值 求曲线 在 相应点的处的曲率 弧微分与曲率§111112( , ( (ln ( ( ,1(0,1( 2(1(01, 1(1 ln n n n f x a b a b f b f b a f a f f x f f f a a aa n n 1 若 是上的正值 可微函数,则有点 (,使

35、=.2 设 在0上可微,证明:一定存在 ,使得 . 3 设 ,证明不等式 总习题+<< = > < +1210121212(1lim ln (4lim (10;(2;(3;(4.( ( , nx n x n a an a ne e a a a f x g x a b . 4 求下列极限 5 假设函数 和 在上存在二 + <2321( 0( ( ( ( 0, , ( 0( (, ( (1 2! 3! !(, (01; , ln n xg x f a f b g a g b a b g x f f a b g g x x x y x e n n n y n y a x

36、 bx x x 阶导数,并且 , 试证(1 在开区 间(内 ; (2 在开区间(内至少存在一 使. 6 研究函数 (为自然数的极值.当 为奇数时 有极大值 当 为偶数时 无极值.7 函数 在 = =+=+=2122232221221, (, . 36(1,2(1, 2. (1,1 0, , (3, 0, 1.(3 x a b a b x x a b y xy x y x ax bx c x y a b c a b c y k x k , 处有极值,试求 和 之值,证明已给函数对于 和 这两个值在点 处为极小 在点 处为极大.8 求椭圆 =0上纵坐标最大和最小的点.和 9 设 点是曲线 的拐点,

37、 是函数 的极值点,求常数 .10 试决定 中的 值,使 = = + =+= = ( 8k 曲线的拐点处的法线通过原点. =第四章 不定积分23221 (sin cos 1, (, (. ( 22, ( 2. 232 ( (, (01, ( ( (, (. ( 2, ( 21.3 42x f x f x f x f x x f x x x C F x f x f F x xf x x f x f x f x f x x y xdx y x =+=+=+=+=+ 已知 求 设 又 ,求 求在积分曲线族 中与 4-1 不定积分的概念与性质§27623122(1(2(3235225(43(

38、3ln 3ln 2ln 3x x x x x y x x x C C C dx C =+××=+ 直线相切的曲线方程.(+ 4 计算下列不定积分. . . . 2 (32222. (5csc (csccot csc cot 1(6tan cot cos sin cos 2(7tan cot cos sin cos 2(8sin cos cos sin x x x dx x x C dx x x C x x x dx x x C x xx dx x x C x x =+=+=+=+ (.(. (. (. 232sin.1ln(siCx CCe C=+=+=+计算下列不定积分1

39、 (.2 .3 (.4 (.54-2 不定积分的第一类换元法 §2cosln |ln(sin |n sin1ln |(1 11ln 1(ln ln1ln(1(1xx xx xx x xdx x Cx x x xe dx Cx xe xexdx Cx x x xdx e e Ce e=+=+=+=+(.6 (.7 (.8 (.45.2arcsin224arcsin|dx Cx x xx C x Cx=+=+ =计算下列不定积分1 (.2 (.3 (.44-3 不定积分的第二类换元法 §|C+.222331 ( ln (1sin , ( . (cos ln (1sin (1si

40、n ln .(12211(2ln ln 39x x x x f x x x xf x dx x x x x x x C x e dx x e xe e C x xdx x x x +=+=+=+ 已知 的一个原函数为 求 2 计算下列不定积分.(.(4-4 不定积分的分部积分法 §2222222(3sin (cos2sin 51(4(1 2(5sin 2sin arctan 1(6arctan ln(1 2(7x x x x x x x x x C e e xdx x x C xe x dx x e C C e dx e e x e C e=+=+=+= . (. (. (. (.

41、(2. 1rcsin 2(8cos 232sin (1sin 1n n n n n C x x C dx x n I n I I x n x n +=+=>=+ . (. 设 ,导出递推公式2 4-5 几种特殊函数的不定积分§. . (17C C x x + 2tan 1 (1(2(3. (4x C 3 计算下列不定积分.222 . 12cos sin (5( 2 ln | 5cos 2sin |. 5cos 2sin (1(1 . (21 2(1 x x x x C x x dx x x x C x xx C e e C +=+=+ 4 计算下列不定积分. . (3. (4l

42、n(1. C C + 22arccos 2arccos3 (5 (arcsin . ln tan 1(1(lntan .cos sin 2(2.(3x xxa Caxdx x Cx xC=+5 计算下列不定积分.2.(4(52 .(6(ln(1 .(1 1x xxx xCx Cxe xedx e Ce e+=+ 226cos (tan3.1cos 2. (. . 5xdx x x C x C C + 计算不定积分 计算不定积分 计算不定积分 计算不定积分 总习题22 . .6 cos(ln . .ln(1 ln 1(ln (12x C x dx dx C x x dx x x + 计算不定积分

43、 计算不定积分 计算不定积分 计算不定积分 2322121( . (.1(cot . cos tan 2tan 2. (. (1 1, 012( ( sin , n n n n x C x x x C xdx xx x C x x x n I I I n x n x x f x f x x +=+= 计算不定积分 计算不定积分 + 试建立递推公式 已知函数 的导数 32(. 01, 0( .31cos , 0(.(1 1x xf x x x C x f x x C x xe e dx C x x > + = +> + ,求函数 计算不定积分第五章 定积分31110(1(4.(2(1

44、.(142; (2;4 (3sin 0; x xdx e dx e xdx xdx = 1 利用定积分的定义计算下列积分: 2 利用定积分的几何意义证明下列等式: 5-1 定积分的概念与性质 §2220224011(4cos 2cos .sin (1(0,4(2(, 1. lim sin 0(.(1( ( . x n n bbaaxdx xdx xx e dx e xdx n kf x dx k f x dx k = 3 估计下列各积分的值: 4 证明: 为正整数 5 证明定积分性质:(21.( ( , (1, ( 0, ( 0, , ( 0(2, ( 0, ( , ( 0(3, (

45、 (, ( ( , b baaba bab baadx dx b a f x g x a b a b f x f x dx a b f x a b f x f x a b f x dx a b f x g x f x dx g x dx =>= 是常数6 设 及 在 上连续,证明若在 上, 且 则在 上, .若在 上, 且 不恒为零,则在 上, .若在 上, 且 则在 , ( (.a b f x g x 上,22001( ( (.2( ( ( . ( (0.3( , ( (0, . 4cos , . xx x xx t yxt f x e f x e dx d f x x t f t d

46、t f x f dxx te dt x x dy e dt tdt dx =+ 设 ,求 的一个原函数. 若函数 具有连续的导数,求设函数 请找出 的极值点,求出极值. 极值点:极值0 设 求 5-2 微积分基本公式 §2sin 0cos (. 56ln(2 y x x x xe t =+ 112, ( (. 4(1(1 (ln(1. 5(1xe f x af a f x dx e =+ 其中 连续. 0020(3( , 0( ( (00, ( (0., 01sin ,0( ( ( (, 20, 00, ( x x tf t dt x F x f x f C F x x C x x

47、x f x F x f x dx x x F x = = = =+ <> = 6 设 ,其中 连续,且 试确定 使 连续. 7 设 ,求 在 内的表达式.或 01(1cos ,0.21, x x x x < > 223112(1, _(.33(2cos _(0.(3( , ( ( ( ( _.(0.2( (, (aax dx x dx x xdx f x a a x f x f x g x dx f x F =+ 110-12-2填空已知 则 . . 设 在 上连续,g 则 若 为 上连续的偶函数,证明 5-3 定积分的换元法与分部积分法 §012 (2 ( 3(1(34( ( xe x x t f t dt f x T f x = 为偶函数.计算下列定积分. 设 是以 为周期的连续函数,证明 220215(1( 0,1(sin (cos .(2(1sin cos 46(1( (02, (23, (25, (2 (2( ( a Tadx a f x f x dx f x dx sinx dx x x f x f f f xf x dx f x f x +=+= 的值与 无关.证明下列各题.设 在 上连续,试证 利用 中的结论证明 填空设 具有二阶连续导数,且 则 =_.设 具有连续导数,且 0|0sin