高三数学等差数列选择题专项训练知识点及练习题含答案(1)

1、一、等差数列选择题1.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.其意思为已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？ ”（钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）A. 5钱B.-钱C. 2钱433解析：CD. 5钱3【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a 2d, a d , a, a d , a 2d,然后再由五人钱之和为 丁、戊的钱相同求解.5,甲、乙的钱与与丙、【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所

2、得钱分别为a 2d, a d,a, a d , a 2d,则根据题意有(a 2d)(a 2d)(ad)a(a d)(a2d)5(ad)a(a d)(a2d)a 1解得 1 , d62所以戊所得为a 2d3故选：c2.若数列an满足an 1丝/(n N ),且 a 1,则 a202i 2A. 1010B. 1011C. 2020D. 2021解析：B【分析】 根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解【详解】, 2a 1一1由 an 1 (n N ),则 an 1 an -(n N ),22_1即 an 1 an 2，1 所以数列 an是以1为首项，1为公差的等差数列，1 n 1所以 an a1

3、n 1 d 1 n 12021 1所以 a2021 101 1.2故选：B3.在等差数列an中，a2 a5 a8 12,则 小 的前9项和0（）A. 36B. 48C. 56D. 72解析：A【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出a5 4,再由等差数列前n项和公式，即可得出结果.【详解】因为an为等差数列,a2 % a8 12,所以 3a5 12,即 a5 4,36.所以S9故选：A.熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n项和的基本量运算是解题关键4.在数列an中，a1an,则其通项公式为nan1A. n2 n 1B.1n2 n 2c再解析：D【分析】D.2T2 -n n先由an 1包

4、一得出nan再由累加法计算出an 1anann 22,进而求出an .解：,;anan1 nanan 1 1nanan,化简彳导：an 1 nanan 1an,两边同时除以anan 1并整理得:11 n an 1an1即a2aia3a2a4a33,-将上述n 1个式子相加得:工 1+工工工a2 a a3 a2 a，a31ananan 11即一ana1n(n 1)21n 1(n 2, n z), an 11ann(n 1). 1 2n(n1)2/-(n 2,nz)，1又一一ai1也满足上式,1ann2 n 2/-(nz),an故选：I【点睛】2nD.z).易错点点睛:利用累加法求数列通项时，如果

5、出现要注意检验首项是否符合5.设等差数列an的公差dw0,前n项和为Sn ,若S4S9a9A. 9B. 5C.D.解析：B【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得a1即可求S9a95a2,即有 a a3a44a2得a1一 S99 (Q a9)245d , a9,S9a9故选:6.等差数列an的前a32,a4a22,则 S5()A. 21解析：C【分析】B. 15C. 10D. 6根据已知条件得到关于首项ai和公差d的方程组，求解出ai,d的值，再根据等差数列前 n项和的计算公式求解出S5的值.aa32因为，所以ada222a1 2d2d 2a105 4所以 S5 5aid 5 0 10 1

6、10 ,2故选：C.7.中国剩余定理”又称 孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为中国剩余定理”中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an ,则a5 ()A. 103B. 107C, 109D. 105解析：B【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项，求出答案 .【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,a 21n+2,a 21 5+2

7、 107.故选：B.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,且Snn2.定义数列bn如下：m以 m Nm 一一* 是使不等式an m m N 成立的所有n中的最小值，则b1 b3 b5 b19()A. 25B. 50C. 75D. 100解析：B【分析】m 1, 2k 1先求得an 2n 1,根据an m,求得n 2一,进而得到b2k 1 2,结合等差数 列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列 an的前n项和为Sn,且Sn /,可得a。 2n 1,因为an m,即2n 1 m ,解得nm 1当 m 2k i , ( k N*)时,mkbm7m i即 b2k 12k i2从而bib3b5

8、bi91i21950.故选：B.9.等差数列an的前n项和为Sn,已知a5So S7的值是（）A. 48解析：A【分析】B. 60C.72D. 24根据条件列方程组,求首项和公差，再根据Sioai03a9,代入求值.ai4d 8由条件可知3al3 2,0d62解得:S10S7a8a9aio 3a98d48.故选：A10.记Sn为等差数列 an的前n项和.若a5a620, Si132,则an的公差为A.C. 4D.4解析：C【分析】由等差数列前n项和公式以及等差数列的性质可求得% ,再由等差数列的公式即可求得公差.解：Siiai aii ii aiia6 i32 ,2又* a a620,a58,

9、4.故选:C.ii.若两个等差数列 an ,bn的前n项和分别为Sn 3n 2Sn和Tn,且三审，则ai2bi53A.一2解析：C【分析】70B.5971C.598D.一5可设Snkn(3n2), Tn kn(2n1),进而求得an与bn的关系式，即可求得结果.因为anbn是等差数列,SnTn3n 22n 1 '所以可设Snkn(3n2), Tnkn(2n1),又当庭2时,有anSnSn1k(6n1),bnTnTn 1k(4n1),%k(612 1)t>5k(4 15 1)7159，12.已知等差数列an的前n项和为Sn,S9S36,S12S617 A.7解析：D【分析】8B.-

10、3C.14310D.3由等差数列前n项和性质得S3, 0S3S9S6,§2S9构成等差数列，结合已知条件得& 3s3 和 S12【详解】100计算得结果.已知等差数列an的前项和为s,S3S6S3, S9Ss, S2&构成等差数列,S3S3S9_S9S36,化简解得S6 3ss.又 2 S9S6S6S3S12S9§210S3,§2从而S6103故选：D【点睛】思路点睛:(1)利用等差数列前n项和性质得S3, S9S6S2 S9构成等差数列,2S6S36，化简解得S6 3s3,(3)2 89 ssS6S3§2S9，化简解得§210

11、S3.13.已知等差数列an,其前n项的和为Sn ,a3%a§%a720，则S9（）A. 24解析：B【分析】B. 36C. 48D. 64利用等差数列的性质进行化简，由此求得S9的值.由等差数列的性质，可得 a3 a4 a5 a6 a7 5a5c a a。 2a5 _ _ _S9 -9 9 9 36 22故选：B14.设等差数列an的前n项和为Sn, a1 0且a1 a10为（）A. 21B. 20C. 19解析：B【分析】20，则 a5 41921 '则当&取最小值时,D. 19 或 20由题得出a139 一2d ,则 Sn20dn ,利用二次函数的性质即可求解n

12、的值设等差数列an的公差为d ,%a1019了得21ali19al0，贝u 21al 10d19 a1 9d ,万 d，: a1 0,d 0,n n 1na1+d2d 2-n 20dn ,对称轴为n 20,开口向上,2当n 20时，Sn最小.故选：B.【点睛】方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列Sn在n n 1 d o dSn na1+d -na1 n是关于n的二次函数，当 a1与d异号时,222对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当a1与d同号时，Sn在n 1取最值.15 .已知数列an为等差数列，a2 a6 28, a§ a9 43,则斜。（）A. 29B. 38C.

13、 40D. 58解析：A【分析】根据等差中项的性质，求出 a414,再求a。；【详解】 因为an为等差数列，所以a2 a6 2a4 28,a414.由 a5 a9& a。43,得而 29,故选：A.二、等差数列多选题1, 1, 2,16 .意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数: 3, 5,，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an称为斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是A.a6B. S7 33c.aia3a5a2019a20202D.亘a20192 a2019 a2020解析:ABCD由题意可

14、得数列an满足递推关系ai1® 1,anan 2 an 1（n 3）,对照四个选项可1得正确答案.【详解】对A,写出数列的前6 项为 1,1,2,3,5,8对B,S713 33,故B正确;对C,a2, %a4a2a5a6a4,；a2019a2020a2018 ,可得:a3a5a2019a2020 .故 ala3a5a20i9是斐波那契数列中的第2020 项.对D,斐波那契数列总有an 21,2an 1an ,则 a1a242a2a2 a3a1a2a3a2a1，2a3a3 a4a?a3a4；a2018a2018 a2019a2017a2018a2019a2017 a2018 ,2a20

15、19a2019a2020a2019a20182a2019a2019 a2020 ,故 D 正确;故选：ABCD.【点睛】本题以 斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换117 .已知数列an的前n项和为SnSn0 ,且满足a04a1&0(n2), a1则4卜列说法正确的是（）A.数列 an的前n项和为Sn 4nB数列a的通项公式为an记不C.数列an为递增数列1D,数列S为递增数列解析：AD【分析】Sn,先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求最后根据和项

16、与通项关系得an.,a 4s1Sn0(n2), Sn Sn1 4&1&0 Sn 0Sn1Sn1因此数列r 1，1为以1S14为首项,4为公差的等差数列，也是递增数列，即 D正确;所以4 4( n1)4n Sn11-，即A正确;4n所以2时anSn4n4(n 1)4n(n 1)an1 4,n1即B, C不正确;,n4n(n 1)故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与 求解能力，属中档题._、一r,， 一 . ._* . .-.18 .设数列an的前n项和为Sn(n N ),关于数列%,下列四个命题中正确的是A.an 1B.

17、Snan(nAn2* * . .N ),则an既是等差数列又是等比数列一 * . . . - » Bn(A, B为常数，n N ),则4是等差数列C.Sn1 n,则an是等比数列D.* 一若an是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n5N)也成等差数列解析：BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解【详解】*选项A： an 1 an(n N ), an 1 an 0得an是等差数列，当an 0时不是等比数列,故错;选项B：An2 Bn, an an 1 2A,得an是等差数列，故对；选项 C： Sn 11 n, S Si an 2 (1)n1(n 2),当 n 1

18、时也成立，an 2 ( 1)n 1是等比数列，故对；选项D： an是等差数列，由等差数列性质得Sn, S2n & , S3n $n(n N )是等差数列，故对；故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n项和公式是解题关键19.设数列an满足0 a1说法正确的是()A. a2 12.3C. 1 a202012解析：ABD【分析】1*2' am第仙2 an对任意的n N恒成立，则下列B. an是递增数列D.a20201构造函数f xx In 2 x ,再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解由ananInana1所以当0In1时,f' x >0,即

19、f x在0,1上为单调递增函数, 一， 1所以函数在 0,-为单调递增函数，2_1即 f 0 f x f 一 ， 2一 一一 131即 In 一 e In 2 f x In In . e 1,22 21,所以一f x 1 ,21即二 an1(n 2),所以a212a20201 ,故A正确；C不正确；0,1 一 1上为单调递增函数，一2an1,所以an是递增数列，故 B正确;a21，所以 a3 a2 ln(2a2)1 ln2221In e3因此3202033a3220201,故 D 正确44故选：ABD【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题20.已知数列an满足an0an 1anN ），

20、数列an的前n项和为A. a11B.a1a2C. S2019 a2020解析：BC【分析】2019D.S2019 a20202019根据递推公式,得到an根据求和公式,得到Sn,an 1由anan 1an，令n 1 ,得到a11一，可判断A错，B正确;a2anS2019 a20202019,可得C正确,D错.2an可知2an1时，则aa2an 1anann 1一，即ananan 11一,即得到a1a21 ,a2故选项B正确;a1无法计算，故A错;1 ana2aa3a2an 1anan 10 naan 1所以 Snan1 n,则 S2019 a2020故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通

21、项公式的常用方法:2019,故选项C正确，选项D错误.（1）累加法，形如an 1 anf n的数列，求通项时，常用累加法求解;一一. . an 1(2)累乘法，形如 f n的数列，求通项时，常用累乘法求解; an1, q 0, n N+)的数列，求通构造法，形如an 1pan q( p 0且p项时，常需要构造成等比数列求解；(4)已知an与Sn的关系求通项时，一般可根据 anSn Sn I,nai,n 12求解.21.设等差数列an的前n项和为Sn .若S3 0,A.Sn2-n 3nB- Sn3n2 9nC.an3n 6D. an2nBC由已知条件列方程组, 【详解】求出公差和首项，从而可求出

22、通项公式和前n项和公式解：设等差数列 an因为S30, a46,所以3al3 2d23d 6所以ana1 (n 1)d3 3(n1) 3n 6,na1 nd2c 3n(n 1) 3n 3n2 9n2，故选：BC1, 1, 2,22.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数: 3, 5,，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组 成的数列an称为斐波那契数列”，记S为数列an的前n项和，则下列结论正确的是()A. a8= 34B. S8=54C. 82020= a2022 1 D. a + a3+a5+ +a2021 = a2022解析：BCD【

23、分析】由题意可得数列an满足递推关系a11,a2 1, an an 2+an 1 n 3 ,依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A,可知数列的前8项为1, 1, 23, 5, 8, 13, 21,故 A 错误;对于 B, S8 1+1+2+3+5+8+13+2154 ,故B正确;对于 C,可得 anan ian i n 2 ,a1+a2+a3+a4+-+ana1+a3a1+a4a2+a5a3+ +an1 an 1即 Sia2+an+an 1 an 2 1 ,S2020 a2022 1 ,故 C 正确；对于D,由anan 1 an 1 n 2可得，a1+a3+a5+- -+a2021a

24、2 +a4a2+a6a4+a2022a2020a2022 ,故 D 正确.故选：BCD.【点睛】本题以 斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，a1 1,a2 1, anan 2+an 1 n 3 ,能根据数列性质利用累加法求解.23.公差不为零的等差数列彳满足a3a8 , Sn为an前n项和，则下列结论正确的A. S10n n 1S na1-2,故B正确；d n2 10n ,S10 n210 n 9 n10 n a1 d2B. Sn Son (1 n 10)C.当 S1 0 时，Sn S5D.当 S11 0 时，Sn S5解析：BC【分析】一 ，一，9

25、，设公差d不为零，由a? a8 ,解得a1-d ,然后逐项判断.【详解】设公差d不为零，所以 & 2da1 7d ,即 a1 2da1 7d , 一9解得a1-d ,2911S111a1 55d11d 55d d 0,故 A错反;22911,八若 S11 11a1 55d11-d 55d d 0,解得 d 0 ,22- d2_ d _2_d_.Sn n 10n n 525 S5,故 C正确；D错误;222故选：BC24 .记Sn为等差数列 an的前n项和.已知S5 35, a4 11,则（）A.an4n 5B.an2n3_2_2.C.Sn2n 3nD.Snn4n解析：AC【分析】由4 35求出a3 7,再由a4 11可得公差为d a4 a3 4,从而可求得其通项公式和 前n项和公式【详解】由题可知，S5 5a3 35