3函数的奇偶数课件 新人教A版 课件

1、考考纲纲要要求求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含结合具体函数，了解函数奇偶性的含义义2会运用函数图象理解和研究函数的性会运用函数图象理解和研究函数的性质质.热热点点提提示示1.函数的奇偶性作为函数的一个重要性函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是质，仍是2011年高考考查的重点，常与年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命函数的单调性、周期性等知识交汇命题题2在每年的高考试题中，三种题型都有在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题出现，属中、低档题.1奇偶函数的定义奇偶函数的定义 (1)如果对于函

2、数如果对于函数f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x，都有，都有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数 (2)如果对于函数如果对于函数f(x)定义域内任意一个定义域内任意一个x，都有，都有f(x)f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫做就叫做如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有具有 f(x)f(x)奇函数奇偶性2具有奇偶性的函数的图象特点具有奇偶性的函数的图象特点一般地，奇函数的图象关于一般地，奇函数的图象关于 对称，反过来，如果对称，反过来，如果一个函数的图象关于一个函数的图象关于对称，那么这个函数是奇

3、函数；对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于偶函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图对称，反过来，如果一个函数的图象关于象关于y轴对称，那么这个函数是轴对称，那么这个函数是 原点原点y轴偶函数3函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法 (1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于 对称，若不对称，则函数是对称，若不对称，则函数是 函数；若函数；若对称，再判定对称，再判定f(x)f(x)或或f(x)f(x)有时判定有时判定f(x)f(x)比较困难，可考虑判定比较困难，可考虑判定f(x) 或判定或判定 (f(x)0)原点非奇非偶f(x)01

4、(2)性质法判定性质法判定在定义域的公共部分内，两奇函在定义域的公共部分内，两奇函数之积数之积(商商)为偶函数；两偶函数之积为偶函数；两偶函数之积(商商)也为偶函数；一也为偶函数；一奇一偶函数之积奇一偶函数之积(商商)为奇函数为奇函数(注意取商时分母不为零注意取商时分母不为零)；偶函数在区间偶函数在区间(a，b)上递增上递增(减减)，则在区间，则在区间(b，a)上上 ；奇函数在区间；奇函数在区间(a，b)与与(b，a)上的增减性上的增减性 递减(增)相同 4.奇函数在关于原点对称的两个区间上有奇函数在关于原点对称的两个区间上有的的单调性；偶函数在对称的两个区间上有单调性；偶函数在对称的两个区间

5、上有的单调的单调性性相同相反1对任意实数对任意实数x，下列函数为奇函数的是，下列函数为奇函数的是()Ay2x3By3x2Cyln5x Dy|x|cosx解析：解析：A为非奇非偶函数，为非奇非偶函数，B、D为偶函数，为偶函数，C为奇函为奇函数设数设yf(x)ln5xxln5，f(x)xln5f(x)答案：答案：C2已知已知f(x)ax2bx是定义在是定义在a1,2a上的偶函数，上的偶函数，那么那么ab的值是的值是()答案：答案：B3已知函数已知函数yf(x)为奇函数，若为奇函数，若f(3)f(2)1，则，则f(2)f(3)_.解析：解析：f(x)为奇函数且为奇函数且f(3)f(2)1，f(2)f

6、(3)f(3)f(2)1.答案：答案：14下面四个命题：下面四个命题：偶函数的图象一定与偶函数的图象一定与y轴相交；轴相交；奇函数的图象一定通过原点；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称；轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中正确的命题序号为其中正确的命题序号为_解析：解析：当当yf(x)在在x0处无定义时，处无定义时，都不正确；都不正确；偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称，轴对称，正确；正确；既是奇函数又是偶函数的函数可以写成既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f(x)0，xa，a(其中其中a可为任

7、一确定的正实数可为任一确定的正实数)，错误错误答案：答案：5设函数设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，求实数为偶函数，求实数a的的值值解：解：f(x)(x1)(xa)，f(x)(x1)(xa)又又f(x)为偶函数，为偶函数，f(x)f(x)，(x1)(xa)(x1)(xa)，x2(a1)xax2(a1)xa，a1(a1)，a1.(3)函数的定义域为函数的定义域为R.若若x为无理数，则为无理数，则x也是无理数，也是无理数，f(x)f(x)0；若若x为有理数，则为有理数，则x也是有理数，也是有理数，f(x)f(x)1.综上可知，对任意实数综上可知，对任意实数x都有都有f(x)f(x)f(x)为

8、偶函数为偶函数判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是否关于原点判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是否关于原点对称，再研究对称，再研究f(x)与与f(x)的关系的关系. 【例【例2】已知函数已知函数f(x)对一切对一切x、yR，都有，都有f(xy)f(x)f(y)(1)试判断试判断f(x)的奇偶性；的奇偶性；(2)若若f(3)a，用，用a表示表示f(12)思路分析：思路分析：(1)判断判断f(x)的奇偶性，即找的奇偶性，即找f(x)与与f(x)之之间的关系，间的关系，令令yx，有，有f(0)f(x)f(x)，再想法求，再想法求f(0)即可；即可；(2)寻找寻找f(12)与与f(3)之间的关系，注意

9、用之间的关系，注意用(1)问的结问的结论论解：解：(1)显然显然f(x)的定义域是的定义域是R，关于原点对称，关于原点对称又又函数函数f(x)对一切对一切x、yR都有都有f(xy)f(x)f(y)，令令xy0，得，得f(0)2f(0)，f(0)0.再令再令yx，得，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数为奇函数(2)f(3)a且且f(x)为奇函数为奇函数f(3)f(3)a.又又f(xy)f(x)f(y)，x、yR，f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6)2f(33)4f(3)4a.变式迁移变式迁移 2函数函数f(x)，xR，若对于任意实数，若对于任意实数x1，x2

10、都有都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)试判断函数试判断函数yf(x)的奇偶性的奇偶性解：解：对于任意实数对于任意实数x1，x2都有都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，令令x10，x2x，得，得f(x)f(x)2f(0)f(x)令令x1x，x20，得，得f(x)f(x)2f(0)f(x)由由得，得，f(x)f(x)，yf(x)为偶函数为偶函数(1)证明：证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以是以4为周期的周期函数为周期的周期函数判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证便可证明函数是周

11、期函数，且周期为明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题. 变式迁移变式迁移 3(2009山东高考山东高考)已知定义在已知定义在R上的奇函上的奇函数数f(x)满足满足f(x4)f(x)且在区间且在区间0,2上是增函数，若方上是增函数，若方程程f(x)m(m0)在区间在区间8,8上有四个不同的根上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则，则x1x2x3x4_.解析：解析：f(x4)f(x)，f(x)f(x4)f(x8)f(x8)知函数知函数f(x)的周期为的周期为T8，又又f(x)f(

12、x4)，f(x2)f(x2)f(2x)，知函数知函数f(x)关于直线关于直线x2对称对称函数函数f(x)大体图象为：大体图象为：x1x212，x3x44.x1x2x3x48.答案：8【例【例4】已知函数已知函数yf(x)的定义域为的定义域为R，且对任意，且对任意a，bR，都有，都有f(ab)f(a)f(b)且当且当x0时，时，f(x)0恒成恒成立，立，f(3)3.(1)证明：函数证明：函数yf(x)是是R上的减函数；上的减函数；(2)证明：函数证明：函数yf(x)是奇函数；是奇函数；(3)试求函数试求函数yf(x)在在m，n(m，nZ)上的值域上的值域(1)证明：证明：设任意设任意x1，x2R

13、，且且x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)故故f(x)是是R上的减函数上的减函数(2)证明：证明：f(ab)f(a)f(b)恒成立，恒成立，可令可令abx，则有则有f(x)f(x)f(0)又令又令ab0，则有，则有f(0)f(0)f(0)，f(0)0.从而任意的从而任意的xR，f(x)f(x)0，f(x)f(x)故故yf(x)是奇函数是奇函数(3)解：解：由于由于yf(x)是是R上的单调递减函数，上的单调递减函数，yf(x)在在m，n上也是减函数，上也是减函数，故故f(x)在在m，n上的最大值上的最大值f(x)maxf(m)，最小值最小值f(x)minf(n)由于由于f(n)f1(n1)f(1)f(n1)nf(1)，同理同理f(m)mf(1)又又f(3)3f(1)3，f(1)1，f(m)m，f(n)n.因此函数因此函数yf(x)在在m，n上的值域为上的值域为n，m解决抽象函数的单调性、奇偶性等问题时，若条件中解决抽象函数的单调性、奇偶性等问题时，若条件中含有某一范围内某一式子都成立的语句时，常采用赋值法，含有某一范围内某一式子都成立的语句时，常采用赋值法，但赋值要恰当但赋值要恰当. 解：解：对任意的