2013年高考数学一轮经典例题两平面的平行判定和性质理

1、用心爱心专心说明：上述证明是根据判定定理1 1 实现的本题也可根据判定定理2 2 证明，只需连接 ACAC 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离.典型例题二例 2 2:如图，已知-/:,A a, A A : :a/:求证：a _二证明：过直线a作一平面厂皿b - / -.a1/ba/by2013 年高考数学（理）一轮经典例题一一两平面的平行判定和性质典型例题一例 1 1：已知正方体ABCD-AIBICIDI求证：平面ABD/平面GBD.证明：ABCD-AiBiCiDi为正方体,.D1A/ C1BC1B平面CiBD故D1A/平面C1BD同理D1B1/平面C1BD又D1A D1B = D1平面

2、AB1D1/平面C1BD用心爱心在同一个平面内过同一点A有两条直线a，ai与直线b平行用心爱心专心a与a1重合，即a:说明：本题也可以用反证法进行证明.典型例题三 例 3 3 :如果一条直线与两个平行平面中的一个相交， 那么它和另一个也相交. 已知： 如图， ： ，I二=A.求证：1与.相交.证明：在：上取一点B，过I和B作平面，由于与、：都相交.设fCa =a= ba/b又I、a、b都在平面内，且I和a交于A.1与b相交.所以I与相交.典型例题四例 4 4 :已知平面? / 1,AB,CD为夹在a, 中占求证：EF/-,EF.证明：连接AF并延长交一于G.间的异面线段，E、F分别为AB、CD

3、的AG,CD确定平面，且 =AC,B用心爱心丨X DG /申，所以AC / DG,ACF - GDF,又厶AFC=NDFG CF=DFACFDFG.AF =FG.又AE二BE,.EF/BG BGu0* * ? .故EF /-.同理EF/:-说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理.典型例题六 例 6 6 如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A、Bl、C1、D1，且A1、B1、C1、D1互不重合，也无三点共线.求证：四边形A1B1C1D1是平行四边形.坍：.A丄。DD1丄 口AA1/ DD1不妨设AA和DD1确定平面 同理BB1和CC1确定平面 又AA1/ BB1，且BB1

4、 u丫.AA1/同理AD /用心爱心专心又AAAD =A/又川呂= A,U,aC7= B1C1A1D1/ B1C1同理A1B1 / CD.四边形ABGD1是平行四边形.典型例题七I /m时，与:可能相交.选项B是错误的，理由同 A A.选项 C C 是正确的，因为I ,m/I，所以m ，又m m.选项 D D 也是错误的，满足条件的:可能与相交.答案：C C说明：此题极易选 A A,原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致.本例这样的选择题是常见题目要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的 准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况.典型例题八 例 8 8 设平面平面，平面：平面，且

5、、：分别与 相交于a、b,a/b.求 证：平面/平面.分析：要证明两平面平行，只要设法在平面:上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与：平行（如图）.例 7 7 设直线I、m，平面、：，下列条件能得出-的是（） .A.I u a,muot，且IP,mPB.B.|ua m=0且|/mC. |丄C(,m丄P，且I / mD. I/。,mB，且|/m分析：选项 A A 是错误的，因为当用心爱心专心,. y平面平面 PQ_平面，MN平面，. PQ/MN.又a/p PQa=QMN“b = N又，平面/平面.说明：如果在、：内分别作PQ -,MN ,这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在、：内，如果直

6、接在、：内作a、b的垂线，就可推出PQ/MN.由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”.其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非 常重要.典型例题九求证：MN/;内作直线MN_直线b.例 9 9 如图所示，平面?平面一，点A、C,点B、D:,AB二a是：、：的公垂线，CD是斜线若AC=BD = b,CD=c,M、N分别是AB和CD的中点,直线a，在平面用心爱心专心取AD的中点P，只要证明MN所在的平面PMN / :为此证分析：（1 1）要证MN / ,求MN的长.用心爱心专心明pM /-,PN-即可.要求MN之

7、长， 在CMA中，CM、CN的长度易知， 关键 在于证明MN _CD，从而由勾股定理可以求解.证明：连结AD，设P是AD的中点，分别连结PM、PN./M是AB的中点，PM /BD.又BD u B . PM / 0.同理N是CD的中点，PN /AC./AC匚aPN /a.G / 0,PN n PM= P.平面PMN / 0/MNu 平面PMNMN/ P.分别连结MC、MD.1AM = BM = a/AC = BD =b,2,又.AB是：、的公垂线，CAM - DBM =90,RtAACM也R也BDM, CM = DM,DMC是等腰三角形.又N是CD的中点，MN CD.MN “CM2-CN2=丄J

8、4b2十a2-C2在RtCMN中，2.说明：(1)(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略.(2)(2) 空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解.(3)(3) 面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线 平行.线线平行线面平行埸面面平行 典型例题十例 1010 如果平面内的两条相交直线与平面：所成的角相等，那么这两个平面的位置关 系是分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究.用心爱心专心解：设a、b是平面-：i内两条相交直线.（1 1）若a、b都在平面：内，

9、a、b与平面：所成的角都为0，这时与：重合，根据教材 中规定，此种情况不予考虑.若a、b都与平面：相交成等角，且所成角在（，9）内；a、b与：有公共点，这时:与：相交.若a、b都与平面-成90角，则ab，与已知矛盾.此种情况不可能.（3 3）若a、b都与平面:平行，则a、b与平面:所成的角都为0，内有两条直线与平面:平行，这时：.综上，平面、：的位置关系是相交或平行.典型例题十一例 1111 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.已知：A平面，求证：过A有且只有一个平面7/.分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可.证明：在平面:内任作两条相

10、交直线a和b，则由A -：知，A - a,A - b.点A和直线a可确定一个平面M，点A和直线b可确定一个平面N.在平面M、N内过A分别作直线a / a、b /b,故a、b是两条相交直线，可 确定一个平面：.a広 口a u a a / a aa? ? ? I同理b /.又a1bab二A- II】所以过点A有一个平面/r.假设过A点还有一个平面,用心爱心专心则在平面内取一直线c,Ac，点A、直线c确定一个平面，由公理 2 2 知：0门P = m YPiP = nm/c,n/c,又Am,A n,这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面：只有一个.所以过平面外一点有且

11、只有一个平面与已知平面平行.典型例题十二例 1212 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB = SC,SG为SAB上的 高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关系，并给予证明分析 1 1：如图，观察图形，即可判定SG/平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行.观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH,FH就是适合题意的直线.怎样证明SG/FH?只需证明H是CG的中点.SB证法 1 1 ：连结CG交DE于点H,DE是上ABC的中位线,用心爱心专心DE / AB.在ACG中，D是AC的中点，且DH/AG H

12、为CG的中点./FH是SCG的中位线，FH / SG.又SG二平面DEF,FH平面DEF,SG/平面DEF.分析 2 2：要证明SG/平面DEF，只需证明平面SAB/平面DEF，要证明平面DEF平面SAB，只需证明SA/DF,SB/EF而SA/ DF,SB/ EF可由题设直接推出.证法 2 2:TEF为-SBC的中位线，EF /SB./EF二平面SAB,SB平面SAB,EF/平面SAB.同理：DF /平面SAB,EF“DF=F,平面SAB/平面DEF，又TSG平面SAB,SG/平面DEF.典型例题十三 例 1313 如图，线段PQ分别交两个平行平面、：于A、B两点，线段PD分别交、：于C、D两

13、点，线段QF分别交:、于F、E两点，若PA=9,AB =12,BQ =12,ACF的面积为 7272,求BDE的面积.分析：求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关， 事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的用心爱心专心对应边有联系 的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积.解平面QAF Act = AF平面QAF介0 = BE又/ -AF / BE.同理可证：AC / BD，：.一乙FAC与乙EBD相等或互补，即sin FAC = sin ZEBD.由FA / BE得BE:AF = QB : QA =12：24 = 1：2BEJAF27BD = AC由BD / AC得：AC：BD二PA

14、：PB =9：21 =3：731AF AC sin . FAC = 72又/ACF的面积为 7272,即2SDBEBE BD sin EBD21 17AF AC sin. FAC2 237 1AF AC sin FAC 6 2772 =846.BDE的面积为 8484 平方单位.说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问 题.注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相 平行.典型例题十四 例 1414 在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和BQ之间的距离.分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a和b是两条异面直线，则

15、过a且平行于b的平面必平行于过b且平行于a的平面.我们知道，空间两条异面直线， 总分别存在于两个 平行平面内.因此，求两 条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来 解决.具体解法可按如下几步来求：分别经过BD和B1C找到两个互相平等的平面；作出两个用心爱心专心平行平面的公垂线；计算公垂线夹在两个平等平面间的长度. 解：如图，根据正方体的性质，易证:BDBlDl= 平面ABD/平面CB1D1AB/DQ1 1连结ACi，分别交平面ABD和平面CBiDi于M和N因为CC1和ACi分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，AC _ BD由三垂线定理：A一BD，同理：AG

16、_ AQ.平面ABD和平面CBiDi间的距离为线段MN长度.如图所示：在对角面ACi中，Oi为AQ的中点，0为AC的中点1J3AM = MN = NCiACia33.3a BD和BiC的距离等于两平行平面ABD和CBiDi的距离为3.说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：转化为线面距.设a、b是两条异面直线，作出经过b而和a平行的平面:，通过计算a和的距离，得出a和b距 离，这样又回到点面距离的计算；转化为面面距，设a、b是两条异面直线，作出经过b而. ACi_平面ABD，同理可证:平面CB1D1用心爱心专心和a平行的平面，再作出经过a和b平行的平面：，通过计算、：之间的距

17、离得出b之间的距离.典型例题十五 例 1515 正方体ABCD -AIBICIDI棱长为a，求异面直线AC与BCi的距离.解法 1 1:（直接法）如图：取BC的中点P,连结PD、PBl分别交AC、BCi于M、N两点,易证：DBiMN,DBi丄AC,DBi丄BCi小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常寻找公垂线段时, 难度较大.解法 2 2:（转化法）如图：/AC/平面AGBAC与BCi的距离等于AC与平面ACiB的距离,在Rt=OBOi中，作斜边上的高0E，则OE长为所求距离,2 a2 MN为异面直线AC与BCi的公垂线段，易证:MNDBi3.3aOBOOi= aDC

18、3用心爱心专心 1BaOE-OO-OB = ,3aO1B3小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离.ACDi/平面AiGBAC与BCl的距离等于平面ACDl与平面AlClB的距离.DB1一平面ACD1，且被平面ACDi和平面AQB三等分；丄BID=2.所求距离为33.小结：这种解法是线线距离转化为面面距离.解法 4 4:（构造函数法）如图：%任取点Q BCl，作QR -BC于R点，作PK AC于K点，设RC = x,则BR=QR=a_x,CK=KR，且KR2+CK2=CR221212KR2CR2x22 2QK2=1x2(a -x)2则2=3(x _2a)2-a2233一-a2解法 3 3:（转

19、化法）如图:DCA!好1平面用心爱心专心,3 a故QK的最小值， 即AC与BC1的距离等于3小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到 二异面直线之间的距离.解法 5 5:（体积桥法）如图：.33h aa3即AC与BCi的距离等于3小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后 用体积公式求之.这种方法在后面将要学到.说明：求异面直线距离的方法有：（1 1）（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求此时，作出并证明异面直线的公垂线段， 是求异面直线距离的关键.（2 2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距

20、离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离.（线面转化法）.也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离.（面面转化法）.（3 3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.（4 4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解.两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求.典型例题十六当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面AiCiB的距离后，设C点到平面AlClB的距离为则Vc_AC1B=VA_BCC

21、1用心爱心专心例 1616 如果 ：，AB和AC是夹在平面:与：之间的两条线段，AB _ AC，且AB = 2,直线AB与平面所成的角为30，求线段AC长的取值范围.作AD :于D，连结BD、CD、BC2 2 2/ABBD,ACDC,AB +AC = BC,.在BDC中，由余弦定理，得:/ADABD是AB与：所在的角.又/ :. ABD也就等于AB与所成的角，即ABD =30./ AB =2,ADBD=V3DC=JAC2-1 BC = J4 + AC2cos BDC =2 2 2BD CD -BC2BD CD2 2 2AB AC - BC2BD CD2 23AC-1-4-A：0即:1 1 -

22、-03MAC21AC -2.33即AC长的取值范围为解法 1 1 ：如图所示:/ AB _ AC用心爱心专心.AC必在过点A且与直线AB垂直的平面 内用心爱心专心设釣- T，则在 内，当AC _ I时，AC的长最短，且此时AC=：ABtan. ABCAB tan30=23而在 内，C点在1上移动，远离垂足时，AC的长将变大,从而I I 3 31 1即AC长的取值范围是-丿.说明：(1)(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平 想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习.(2)(2)解法 1 1 利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC长的不等式，再通过解不等式得到AC长的范围，此方法以运算为主.(3)(3)解法 2 2 从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC是连结异面直线AB和1上两点间的线段，所以AC是AB与1的 公垂线段时，其长最短.典型例题十七例 1717 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.已知：，求证分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力由于两个平面没有公共点称 两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明另外也 可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行 来推理证明面面平行，或者也可