第三节极限存在准则与两个重要极限ppt课件

1、准则准则I (函数夹逼定理函数夹逼定理) );()()(xgxhxf 有有AxgAxfxxxx )(lim,)(lim)2(00.)(lim0Axhxx 那么那么1.3 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限 这一节介绍两个极限存在准则这一节介绍两个极限存在准则, 并用它们证明并用它们证明两个重要的极限两个重要的极限.的某个空心邻域内有定义的某个空心邻域内有定义,),(, 0)1(时时当当 aUx 且满足以下条件且满足以下条件:)()(),(xgxhxf和和设设在在 x0证证AxgAxhAxf )()()(所以所以)(,)(max)(AxgAxfAxh AxgAxf )()(是无

2、穷小，是无穷小，AxgAxf )()(.)(lim0Axhxx 所以所以由由 有有),()()(xgxhxf 由由 有有,)(lim,)(lim00AxgAxfxxxx ,nnyx 与与), 3 , 2 , 1(,)1( nyzxnnnayaxnnnn lim,lim)2(如果数列如果数列 及及 满足以下条件满足以下条件: :,nnzxny.limaznn 那么那么注意注意: : 利用夹逼准则求极限关键是构造出利用夹逼准则求极限关键是构造出原则原则 I (数列夹逼定理数列夹逼定理) .的极限容易求的极限容易求与与并且并且nnyx例例1 1 求求 .12111lim222 nnnnn解解1111

3、2222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得112111lim222 nnnnn例例2 2 证明证明 证证. 1lim nnn, 1,1 nnn时时当当. 0,1 nnnn 其其中中设设那么那么nnn)1( nnnnnnn 2! 2)1(12! 2)1(nnn 从而从而,122 nn 即即,12 nn 故故,1211 nnn, 1121lim nn而而所以所以. 1lim nnn. 1sinlim0 xxx,sinBDx ,xOAB的的圆圆心心角角为为扇扇形形,BDOAB的高为的高为 的的面面积积圆

4、圆扇扇形形AOB, xAOB 圆心角圆心角.ACO 得得,ABx弧弧 ,tanACx 的的面面积积AOC 的面积的面积AOBxOABDC第一个重要极限第一个重要极限: 20 x证证于是于是作单位圆作单位圆O,作单位圆的切线作单位圆的切线AC,cos1sin1xxx 1sincos xxx.02也成立也成立上式对于上式对于 x , 02lim20 xx,tan2121sin21xxx 即即由夹逼定理由夹逼定理于是于是xxxcos1sin10 ,22sin222xx . 1sinlim0 xxx所以所以, 0sin1lim0 xxx.cos1lim20 xxx 解解2202sin2limxxx 原

5、式原式220sin12lim22xxx 20sin12lim22xxx 211212 例例3 3 求求 解解原式原式.tanlim0 xxx例例4 4 求求 , 1)()(sinlim xuxuax第一个重要极限对于复合函数有第一个重要极限对于复合函数有其中其中 的非零无穷小的非零无穷小.axxu是是)(xxxxcossinlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx解解故故.arcsinlim0 xxx例例5 5 求求 ttxxtxsinlimarcsinlim00 . 1 ,arcsintx 令令,sintx 即即. 0,0tx时时当当x1x2x3x

6、1 nxnx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释: :AM准则准则II 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.准则准则II (函数形式函数形式) 若函数若函数 是是I 上的单调函数上的单调函数, 则它则它在在I 内每一点的单侧极限存在内每一点的单侧极限存在.RIf:如果数列如果数列 满足满足:nx.lim,limAxxnnnn 设设存存在在故故,1limlim1 nnnnxnax于是于是, 00 AA即即解解例例6 6 求求 ).0( ,!lim anann由由 为常数为常数, 0 a有有时时当当,1an )!1(01

7、1 naxnnnxna1 nx 且有下界且有下界0, 0, 说明说明n n足够大后足够大后, , 数列数列 单调减少单调减少, , nx. 0!lim nann所以所以第二个重要极限第二个重要极限: exxx 10)1(lim)3(;,11lim)1(ennn记为记为存在存在 ), 2 , 1(0,)(21121nixnxxxxxxinnn ;11lim)2(exxx 我们利用不等式我们利用不等式 从而该数列有极限从而该数列有极限. nn11证明数列证明数列 单调增加单调增加, 并且有上界并且有上界,111111111 nnnnnn对于正整数对于正整数n, 有有111 n,111111 nnn

8、n即即 nn11所以数列所以数列 是严格单调增加的是严格单调增加的; 111nn所以数列所以数列 是严格单调递降的是严格单调递降的.21)1(111211 nnnnnnnn,21 nn又由于又由于 所以所以 ,211121 nnnnnn,12121 nnnnnn于是于是 ,1111121 nnnn于是于是 11111 nnnn41112 nn 111 nn11从而数列从而数列 单调增加单调增加, 并且有上界并且有上界,由极限存在准则由极限存在准则II,.,11limennn记为记为存在存在 (e = 2.718281828495045235360287471352),1时时当当 x, 1 nx

9、n则则xxxnxn 1111111,1111lim11lim1ennnnxnx ,nx 设设证证 (2) 先证先证 .11limexxx 从而从而,11111111 nxnnxn而而ennnnxnx 111111lim111lim1.11limexxx 再证再证 由夹逼定理得由夹逼定理得 .11limexxx yyxxyx 11lim11lim,xy 令令yyy 111limeyyyy 111111lim1.11limexxx ,1xt ttxxtx 11lim)1(lim10. e .)1(lim10exxx 综合上述综合上述, 有有 第二个重要极限另一常用形式第二个重要极限另一常用形式 令

10、令解解解解2e .11limxxx 例例7 7 求求 例例8 8 求求 .23lim2xxxx .1 e422211211lim xxxx原式原式111lim xxx原原式式解解1.21limxxxx ).2( tx即即., tx时时当当于是于是211lim21lim ttxxtxx21111lim tttt1 e例例9 9 求求 ,1121txx 令令解解2xxxx 21lim1 exxxx 2111limxxxxx 2111lim222111lim xxxxx2ee * *柯西极限存在准则柯西极限存在准则单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限, , 的数列一定有界却不一定单调的数列一定有界却不一定单调. .但反过