第四章 本构关系1

1、第四章 本构关系4.1 广义胡克定律 4.2 弹性应变能函数4.3 屈服函数与应力空间4.4 德鲁克公设与伊留申公设4.5 常用的屈服条件4.6 增量理论4.7 全量理论4.8 塑性势的概念第四章 本构关系 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x( x， y， z， xy， yz， zx) y= y ( x， y， z， xy， yz， zx) . zx= zx ( x， y， z， xy， yz， zx) 一般表示4.1 广义胡克定律广义胡克定律 对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 x =c11 x+ c12 y+ c13 z+ c14 xy+ c15 yz+ c16 z

2、x y =c21 x+ c22 y+ c23 z+ c24 xy+ c25 yz+ c26 zx z =c31 x+ c32 y+ c33 z+ c34 xy+ c35 yz+ c36 zx xy =c41 x+ c42 y+ c43 z+ c44 xy+ c45 yz+ c46 zx yz =c51 x+ c52 y+ c53 z+ c54 xy+ c55 yz+ c56 zx zx =c61 x+ c62 y+ c63 z+ c64 xy+ c65 yz+ c66 zx 系数cmn共36个 取决于材料弹性性质，与坐标系选取有关广义Hooke定律 张量形式表示 ij =Cijkl kl 其中

3、Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取决于坐标系， 服从四阶张量的坐标变换定律 弹性张量的对称性 根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cjikl Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。 （2）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij 独立的弹性常数共有21个 两种表示方式之间的关系 弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6 对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11C1111 c12C1122 c13C1133 c14C1112 弹性系数cmn也应具有对称性 cmncnm材料对称性 弹性对称面 该

4、面对称的两个方向具有相同的弹性关系 ),(zyx),(zyx两套坐标系 ?原 新 zzzzyzxyzyyxxzxyx zzyzxyzyyxxzxyx 212121212121zzyzxyzyyxxzxyxT - - - zzyzxyzyyxxzxyx 21 21 21 21 21 21 以最后一个方程为例 zx 反号，而x，y，z和xy不变， c61c62c63c640 x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz =

5、 c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx zx =c61 x+ c62 y+ c63 z+ c64 xy+ c65 yz+ c66 zx 正交各向异性材料 具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个 x =c11 x+ c12 y+ c13 z y =c12 x+ c22 y+ c23 z z =c13 x+ c23 y+ c33 z xy = c44 xy yz = c55 yz zx = c66 zx 各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料 横观各向同性材料 存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性 将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c

6、22， c13=c23， c55=c66将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变， c44=(c11 c12) x =c11 x+ c12 y+ c13 z y =c12 x+ c22 y+ c23 z z =c13 x+ c23 y+ c33 z xy = c44 xy yz = c55 yz zx = c66 zx y =c11 y+ c12 x+ c13 zc55=c66比较c11=c22， c13=c23 横观各向同性材料 存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同性 将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66 将坐标系绕z轴旋转

7、450，剪切应力应变关系不变， c44=(c11 c12) x =c11 x+ c12 y+ c13 z y =c12 x+ c11 y+ c13 z z =c13 x+ c13 y+ c33 z xy =(c11 c12) xy yz = c55 yz zx = c55 zx 独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。各向同性弹性体 广义Hooke定律 将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关系不变， c11=c33， c12=c13， c55=c66=(c11 c12) 于是，独立的弹性常数减少到 2 个 x =c11 x+ c12 y+ c12 z y =c12 x+ c

8、11 y+ c12 z z =c12 x+ c12 y+ c11 z xy =(c11 c12) xy yz =(c11 c12) yz zx =(c11 c12) zx令 c12= ， c11 c12=2、称为Lame弹性常数 x=2 x + xy = xy y=2 y + yz = yz z=2 z + zx = zx = x + y + z 是体积应变 幻灯片 17幻灯片 20对于应变主轴,弹性本构关系: 1=2 1 + e 2=2 2 + e 3=2 3 + e e = 1 + 2 + 3 是体积应变(对应于主应变) 广义Hooke定律的张量形式 ij=kk ij +2 ij ij =

9、Cijkl kl Cijkl=ij kl+ ( ik jl+ il jk) 式中ij是二阶单位张量 某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零 弹性状态下, 应力的主方向与应变的主方向重合对各向同性弹性体对各向同性弹性体, 如如x, y, z轴为主应变方向轴为主应变方向,则同则同时必为主应力方向时必为主应力方向,即应变主轴与应力主轴重合即应变主轴与应力主轴重合 体积应力与体积应变关系 将等式对应相加(幻灯片 14)，可得平均应力与体积应变的关系： 3 m=(2+3 ) 式中 m=( x+ y+ z)/3是平均应力。 m=K m=3K m 式中 K = (3 +2)/3 是体积变形模量。 =e= x

10、 + y + z 是体积应变 偏应力与偏应变关系 x=2 x + sx+ 0=2 (ex + )+ 将体应力与体应变关系代入上式可得： sx=2ex 同理可得： sy=2ey sz=2ez 张量形式表示为 sij = 2eij m=3K m 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变，在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形状改变， 体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。体积应力只产生体应变，即只产生体积改变。31幻灯片 30平均应力与体积应变的关系： 3 0=(2+3 ) 引进 = x+ y+ z=(2+3 ) 那么本构关系 就写成幻灯片幻灯片 14,)23(22,)23(

11、22,)23(22zzyyxxxyxyxzxzyzyz111弹性常数之间的关系弹性常数之间的关系 单轴拉伸将应力代入前面的方程得到将应力代入前面的方程得到0 0 0 0 0 0 0 0 xij0)23(2)23(xyxzyzxzyxx 根据简单拉伸实验的结果根据简单拉伸实验的结果,有有0 xyxzyzxzyxxEE泊松比Young氏弹性摸量比较上面两式,有)(202100E)23(E0或者)1 (2E)21)(1 (E根据实验有所以G 0000000 yxxyij0 xzyzzyx考虑纯剪情况考虑纯剪情况 代入方程得到代入方程得到根据实验有xyxy0 xzyzzyxGxyxy所以各向同性体的广

12、义Hooke定律可以写成正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变之和。 EEzyxx xyxyE 12 EExzyy yzyzE 12 EEyxzz zxzxE 12ijkkijijEEv 1Page 48: 平面应力和平面应变4.2 弹性应变能弹性应变能 一维情况 一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长量为L， 外力功为由于应力 x=P/S， x= L/L，上式可写成LW0)L(Pdxx0 xdSLW4.2 弹性应变能弹性应变能单位体积的应变能U0为求应变能相对应变的偏导 xxWxx0 x0dSLWUxxx21E21U20 x0UxxxW

13、总应变能总应变能 UVdxdydzU0U 三维情况 考察微小六面体，作用的应力分量ij，由此产生的应变分量ij 各应力分量ij都只在指标与它相同的应变分量ij上做功，ijijij00dUdzzzzdzzzyzydzzzxzxdyyyydyyyxyxxyzxyxyzxzzxzyyzyxdyyyzyzdxxxzxzdxxxyxydxxxx根据能量平衡，单位体积的应变能应是所以 dU0= ijd ij 对于弹性体，应变能只取决于最终状态，而与达到该状态的路径无关 是应变状态的单值函数U0=U0(ij)，应变能增量dU0必须是全微分 = ijd ij上式对于任意的应变增量dij都应成立，ijijUij

14、00dijijdUdU00ijijijU)(0可导出如下对称性 Cijkl= Cklij将物理方程 ij =Cijkl kl代入 dU0=ijdij，考虑对称性，则 U0= Cijkl ij kl = ij ij klijijkl00UUijklklijklijijklklijijklklijijklijklijklC21ddC21dC21dCdU02121zxzxyzyzxyxyzyxzyx021U 2222222212112zxyzxyzyxzyxE 应变能分解 应变能可分解为体积改变能和形状改变能。 在各向同性情况下，应变能由应变表示为 或者用应力表示为 应变能函数W应是正定的，即W0，

15、)(2121ijijijijmijijijesUijijmeeGKU)2(21)(2920ijijmssGKU41)(2120ijijmmes2123幻灯片 18 应变能分解 应变能可分解为体积改变能和形状改变能。 第一项是体积应力在体积应变上做的功，称为体积改变能； 第二项是偏应力在偏应变上做的功，称为形状改变能(畸变能)。 采用主应力表示的采用主应力表示的 总应变能密度总应变能密度dvijijmijijUUesU00021232122100021181JGIKUUUdv 系统的总应变能密度与坐标的选择无关系统的总应变能密度与坐标的选择无关, U0是一个不变量是一个不变量4.3 屈服函数与应

16、力空间屈服函数与应力空间4.3 屈服函数与应力空间屈服函数与应力空间MzzqTp在某一定的内力组合下,使得薄管内某点的应力状态进入塑性状态,于是可得到一种应力状态下的 屈服条件. 在实验的基础上建立 屈服条件 的理论. 在一般情况下,屈服条件和所考虑的应力状态有关屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的 超曲面.0)(ijf超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力状态. 所以又称 屈服面.对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标轴.屈服函数改写为0),(321f球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.屈服函数只包含应力偏量,即这样,屈服

17、函数为应力偏量的函数,而且可以在主应力1，2，3所构成的空间,即主应力空间内来讨论.0)(ijsf 建立由1、2、3为坐标轴的直角坐标系，称之为主应力空间 主应力空间中任意一点 P(1、2、3)代表物体内一点的应力状态 屈服面f (1，2，3)=0代表主应力空间中的一个曲面 当P点位于屈服面f(1，2，3)=0上，表示应力状态满足屈服条件。当P点在屈服面内部，即f(1，2，3)0，三种应力应变曲线 d 0d 0O稳定的材料稳定的材料为了证明以上屈服条件的外凸性和关于屈服条件特性的有关为了证明以上屈服条件的外凸性和关于屈服条件特性的有关问题问题,引入材料稳定性假设引入材料稳定性假设.（2）不稳定

18、材料：不稳定材料：应变增加，应力减少，称之为应变软化，应变增加，应力减少，称之为应变软化，d d 0d0d 0O不稳定的材料不稳定的材料1234pd0123(4)ijdij.ij.ij0从从1点的应力状态点的应力状态 （ 是静力可能的应力）开始，是静力可能的应力）开始，施加某种外力使其达到施加某种外力使其达到2点点（其应力为（其应力为 ij）并进入屈服，并进入屈服，再施加应力增量再施加应力增量d ij使其加载到达使其加载到达3点（其应力为点（其应力为 ij +d ij )，然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态然后移去所施加的外力，使微单元体卸载回到原来的应力状态 。应力循环0

19、ij0ij0ijDrucker公设公设:对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。oijijijijd单元体在应力状态 下处于平衡。oij在单元体上施加一附加力，使应力达到 ，刚好在加载面上，即开始发生塑性变形。ij继续加载至 ，在这期间，将产生塑性应变 。 ijijdpijd最后，将应力又卸

20、回到 。完成应力循环。oij应力循环的过程：应力循环的过程：图4-1幻灯片 520210pijijijijDddW）（以 表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态。ij按Drucker公设，附加应力 在应力循环中所作的功非负。）（0ijij000ijijijijDdW）（4-4）在应力循环中，应力在弹性应变上的功为0，即000ijeijijijDdW）（4-5）故（4-4）式写成000ijpijijijDdW）（4-6）在整个应力循环中，只在应力从 到 的过程中产生塑性应变。ijijijdijd当 为小量时，上述积分变为： （4-7）这就是图4-1所示的阴影部分面积。两个重要的不等式：两个重要

21、的不等式：当 处于加载面的内部，即 ，由于 是高阶小量，则oijoijijpijd0)(0pijijijd（4-8）oij当 正处于加载面上，即 ，则oijij（4-9）0pijijdd由此可对屈服面形状与塑性应变增量的特性导出两个重要的结论。1、屈服曲面的外凸性、屈服曲面的外凸性2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致正交性法则。正交性法则。 当 处于加载面上，Drucker公设导致的（4-9）通常叫作Drucker稳定性条件。oij又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或者等于又称为最大塑性功原理，即实际应力所做的塑性功总是大于或

22、者等于静力可能应力所做的塑性功静力可能应力所做的塑性功. . （1） 对于不稳定材料（即有应变软化存在）的情况，应力循环不可能构成，因此，Drucker公设不适用于软化材料。 （2）以上关于材料性质的Drucker公设并不是从热力学定律导出的，而是在大量宏观实验基础上总结出来的，它们对许多材料都适用。Drucker公设的两点说明 补充: 加载面外凸性 定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该定义：过加载面上的任意一点作一超平面与加载面相切，该超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，超平面若不再与加载面相交，即加载面位于超平面的一侧，则加载面外凸则加载面外凸. AA0加载

23、面n超平面 ijij1、屈服曲面的外凸性。、屈服曲面的外凸性。oA0AoijijpdoA0Aoijijpd向量 代表 。0ijijAA0pd用 表示 。pijd则（4-8）为00pdAA（4-10）可见，应力增量向量 与塑性应变增量向量 之间的夹角必须小于900AA0pd屈服曲面必须是凸的。屈服曲面必须是凸的。 如果屈服面是凹的，则4-10式不满足。图中，A0和A分别表示应力状态 和 。ijoijoijijij0ijij0ij2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致正交性法则。正交性法则。A0Apdnn加载面在A点的外法向。如果 与n不重合，则总可以找到A0，使4-10式不成立。pd因此， 必须与加载面 的外法线重合。pd00的外法线方向即其梯度方向。pijd可表示为：ijpijdd（4-11）伊留申公设伊留申公设:弹塑性材料的物质微元体在弹塑性材料的物质微元体在应变空间应变空间的任一