信息学奥赛中的特殊数据结构并查集

1、信息学奥赛中的特殊数据结构并查集九江市一中 龚禹在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（13秒）内计算出试题需要的结果，只能采用一种全新的抽象的特殊数据结构并查集来描述。一、数学准备首先，我们从数学的角度给出等价关系和等价类的定义：定义1：

2、如果集合S中的关系R是自反的，对称的，传递的，则称他为一个等价关系。自反：xx；对称：若xy，则yx；传递：若xy、yz，则xz。要求：x、y、z必须要同一个子集中。定义2：如果R是集合S的等价关系。对于任何xS，由xRy|yS and xRy给出的集合xR称为由xS生成的一个R的等价类。定义3：若R是集合S上的一个等价关系，则由这个等价关系可产生这个集合的唯一划分。即可以按R将S划分为若干不相交的子集S1，S2，S3，S4，他们的并即为S，则这些子集Si变称为S的R等价类。划分等价类的问题的提法是：要求对S作出符合某些等价性条件的等价类的划分，已知集合S及一系列的形如“x等价于y”的具体条件

3、，要求给出S的等价类的划分，符合所列等价性的条件。（我们上面提到的联系，即可认为是一个等价关系，我们就是要将集合S划分成n个联系的子集，然后再判断x，y是否在一个联系子集中。）二、引题亲戚（relation）【问题描述】若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。（人数5000，亲戚关系5000，询问亲戚关系次数5000）。【算法分析】1. 算法1，构造图论模型。123456用一个n*n的二维数组

4、描述上面的图形，记忆各个点之间的关系。然后，只要判断给定的两个点是否连通则可知两个元素是否有“亲戚”关系。但要实现上述算法，我们遇到两个困难：（1）空间问题：需要n2的空间，而n高达5000！（2）时间问题：每次判断连通性需要O(n)的处理。该算法显然不理想。并查集多用于图论问题的处理优化，我们看看并查集在这里的表现如何。2. 算法2，并查集的简单处理。我们把一个连通块看作一个集合，问题就转化为判断两个元素是否属于同一个集合。假设一开始每个元素各自属于自己的一个集合，每次往图中加一条边ab，就相当于合并了两个元素所在集合A和B，因为集合A中的元素用过边ab可以到达集合B中的任意元素，反之亦然。

5、当然如果a和b本来就已经属于同一个集合了，那么a-b这条边就可以不用加了。（1）具体操作： 由此用某个元素所在树的根结点表示该元素所在的集合； 判断两个元素时候属于同一个集合的时候，只需要判断他们所在树的根结点是否一样即可； 也就是说，当我们合并两个集合的时候，只需要在两个根结点之间连边即可。（2）元素的合并图示：54321 合并1和212 合并1和31325 合并5和41432 合并5和313254（3）判断元素是否属于同一集合：用fatheri表示元素i的父亲结点，如刚才那个图所示：faher1:=1；faher2:=1；faher3:=1；faher4:=5；faher5:=3至此，我们

6、用上述的算法已经解决了空间的问题，我们不再需要一个n2的空间来记录整张图的构造，只需要用一个记录数组记录每个结点属于的集合就可以了。但是仔细思考不难发现，每次询问两个元素是否属于同一个集合我们最多还是需要O(n)的判断！3. 算法3，并查集的路径压缩。算法2的做法是指就是将元素的父亲结点指来指去的在指，当这课树是链的时候，可见判断两个元素是否属于同一集合需要O(n)的时间，于是路径压缩产生了作用。路径压缩实际上是在找完根结点之后，在递归回来的时候顺便把路径上元素的父亲指针都指向根结点。这就是说，我们在“合并5和3”的时候，不是简单地将5的父亲指向3，而是直接指向根节点1，如图：15432由此我

7、们得到了一个复杂度只是O(1)的算法。程序清单（1）初始化： for i:=1 to n do fatheri:=i;因为每个元素属于单独的一个集合，所以每个元素以自己作为根结点。（2）寻找根结点编号并压缩路径： function getfather(v : integer) : integer; begin if fatherv=v then exit(v); fatherv:=getfather(fatherv); getfather:=fatherv; end;（3）合并两个集合： proceudre merge(x, y : integer); begin x:=getfather(x

8、); y:=getfather(y); fatherx:=y; end;（4）判断元素是否属于同一结合： function judge(x, y : integer) : boolean; begin x:=getfaher(x); y:=gefather(y); if x=y then exit(true) else exit(false); end;这个的引题已经完全阐述了并查集的基本操作和作用。三、并查算法通过对上面引题的分析，我们已经十分清楚所谓并查集算法就是对不相交集合（disjoint set）进行如下两种操作：（1）检索某元素属于哪个集合；（2）合并两个集合。我们最常用的数据结构

9、是并查集的森林实现。也就是说，在森林中，每棵树代表一个集合，用树根来标识一个集合。有关树的形态在并查集中并不重要，重要的是每棵树里有那些元素。1. 合并操作为了把两个集合S1和S2并起来，只需要把S1的根的父亲设置为S2的根（或把S2的根的父亲设置为S1的根）就可以了。这里有一个优化：让深度较小的树成为深度较大的树的子树，这样查找的次数就会少些。这个优化称为启发式合并。可以证明：这样做以后树的深度为O(logn)。即：在一个有n个元素的集合，我们将保证移动不超过logn次就可以找到目标。【证明】我们合并一个有i个结点的集合和一个有j个结点的集合，我们设ij，我们在一个小的集合中增加一个被跟随的

10、指针，但是他们现在在一个数量为ij的集合中。由于：所以我们可以保证性质。由于使用启发式合并算法以后树的深度为O(logn)，因此我们可以得出如下性质：启发式合并最多移动2logn次指针就可以决定两个事物是否想联系。同时我们还可以得出另一个性质：启发式快速合并所得到的集合树，其深度不超过，其中n是集合S中的所有子集所含的成员数的总和。【证明】我们可以用归纳法证明： 当i=1时，树中只有一个根节点，即深度为1又，所以正确。假设in1时成立，尝试证明in时成立。不失一般性，可以假设此树是由含有m（1mn/2）个元素，根为j的树Sj，和含有nm个元素、根为k的树Sk合并而得到，并且，树j合并到树k，根

11、是k。（1）若合并前：子树Sj的深度子树Sk的深度则合并后的树深度和Sk相同，深度不超过：显然不超过；（2）若合并前：子树Sj的深度子树Sk的深度则合并后的树的深度为Sj的深度+1，即：小结：实践告诉我们，上面所陈述的性质对于一个m条边n个事物的联系问题，最多执行mlogn次指令。我们只是增加了一点点额外的代码，我们就把程序的效率很大地提升了。大量的实验可以告诉我们，启发式合并可以在线形时间内解答问题。更确切地说，这个算法运行时间的花费，很难再有更加明显的优秀、高效的算法了。2. 查找操作查找一个元素u也很简单，只需要顺着叶子到根结点的路径找到u所在的根结点，也就是确定了u所在的集合。这里又有

12、一个优化：找到u所在树的根v以后，把从u到v的路径上所有点的父亲都设置为v，这样也会减少查找次数。这个优化称作路径压缩（compresses paths）。压缩路径可以有很多种方法，这里介绍两种最常用的方法：（1）满路径压缩（full compresses paths）：这是一种极其简单但又很常用的方法。就是在添加另一个集合的时候，把所有遇到的结点都指向根节点。（2）二分压缩路径（compresses paths by halving）：具体思想就是把当前的结点，跳过一个指向父亲的父亲，从而使整个路径减半深度减半。这种办法比满路径压缩要快那么一点点。数据越大，当然区别就会越明显。压缩路径的本质使路径深度更加地减小，从而使访问的时候速度增快，是一种很不错的优化。在使用路径压缩以后，由于深度经常性发生变化，因此我们不再使用深度作为合并操作的启发式函数值，而是使用一个新的rank数。刚建立的新集合的rank为0，以后当两个rank相同的树合并时，随便选一棵树作为新根，并把它的rank加1；否则rank大的树作为新根，两棵树的rank均不变。3. 时间复杂度并查集进行n次查找的时间复杂度是O(n)（执行n-1次合并和mn次查找）。其中是一个增长极其缓慢的函数，它是阿克曼函数（Ackermann Function）的某个