专题一 集合与简易逻辑

1、专题一集合与简易逻辑【考点聚焦】考点1：集合中元素的基本特征，集合的表示法，元素与集合的关系，集合与集合之间的包含关系，集合的交、并、补运算。考点2：绝对值不等式、一元二次不等式及分工不等式的解法。考点3：简单命题与复合命题的相关概念，真假命题的判断，四种命题及其关系，反证法的证题思想。考点4：充分必要条件的有关概念及充分条件与必要条件的判断。【自我检测】1、_，称集合A是集合B的子集；2、_，叫做集合U中子集A的补集；3、_，叫做A与B的交集；4、_，叫做A与B的并集；5、如果已知_，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果_，那么p是q的充分且必要条件；【重点难点热点】问题1：集合的相

2、关概念1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 2 注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A两种可能，此时应分类讨论 例1：设A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论 思路分析：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、

3、kN,进而可得b、k的值 解 (AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)<04k24bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b216>0, 即 b2>14x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)<0k22k+8b19<0, 从而8b<20,即 b<2 5 由及bN,得b=2代入由1<0和2<0组成的不等式组，得k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(AB)C= 点评 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所

4、考查的知识点，进而解决问题 解决此题的关健是将条件(AB)C=转化为AC=且BC=，这样难度就降低了 演变1：已知集合A=(x,y)|x2+mxy+2=0,B=(x,y)|xy+1=0,且0x2,如果AB,求实数m的取值范围 点拨与提示：本题考查学生对集合及其符号的分析转化能力，AB即是两集合中方程联立的方程组在0,2上有解。例2：向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？思路分析

5、画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系 解 赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如右图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x 依题意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人 点评： 在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握 本题主要强化学生的这种能力 解答本题的关健是考生能

6、由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来 演变2：某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的：数学与物理593人，数学与化学371人，物理现化学267人；三科都参加的有213人，试计算参加竞赛的学生总数.问题2：一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的内在联系。一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数图象三者关系十分密切，三者可以相互转化：一元二次不等式解集端点即为与之相应的一元二次方程的根，即为与之对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，以此为据，很多复杂题目都可以得到解决。例3：p是什么数时，关于x的一元二次方程的两个

7、不等实根，分别满足.思路分析：可设f(x)= ，由方程有两个不等实根，则函数f(x)的图象与x轴有两个交点，则只观察f(0)、f(1)、f(2)的符号即可。yx210解：设f(x)= ，其大致图象如图所示，则p必须且只需满足解得2p1或3p4，即.点评：一般地，若方程有两个实根，一个根大于m，一个根小于m.演变3：方程在（1,1）上有实根，求k的取值范围。点拨与提示：本题主要考查二次方程的解与二次函数和x轴交点横坐标之间的关系，以及考生运用转化和化归的思想分析问题、解决问题的能力。问题3：充要条件1.要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充

8、分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假2.要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等3.数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质4.从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件5.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).例4：已知p：|1|2，q：x22x+1m20(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.思

9、路分析 利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知，命题若p是q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件p：|1|2212132x10q：:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要条件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m>0)解集的子集又m>0不等式*的解集为1mx1+m，m9，实数m的取值范围是9，+点评 本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性。本题解题的

10、关健是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了演变4：已知数列an的前n项Sn=pn+q(p0,p1),求数列an是等比数列的充要条件.点拨与提示 本题重点考查充要条件的概念及解答充要条件命题时思维的严谨性，因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.专题小结1解答集合有关问题，理解集合的意义是关键，其次注意集合中元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，此外还要注意转化与化归，分类与整合，数形结合等数学思想的运用.2命题真假的判断，先应分清所给命题是简单命题还是复合命题，若是复合命题则依据复合命题真值表来判定.3充分不

11、必要条件、必要不充分条件、充要条件、既非充分又非必要条件的判定必须坚持“双向”考查的原则，也可以转化为判断原命题与其等价的逆否命题的真假.【临阵磨枪】一 选择题1.设集合Mx|x>2，P=x|x<3,则“xM或xP”是“x”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D非充分也非必要条件2若集合Sy|y=,T=y|y=,则ST是（）ASBTCD有限集 3（06年天津）已知集合，则（）A B CD4 （05年湖南）集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分条件， 则b的取值范围是（ ）A2b0B0b2C3b1D1b25方程有两个不等的实根，则实数m的取值

12、范围是（）ABCD6若aR，且对于一切实数x都有，那么a的取值范围是（）ABC（D7下列四个命题：“若,则实数x,y均为零”的逆命题；“相似三角形的面积相等”的否命题；“若，则B”的逆命题；“末位数不为零的数可被3整除”的逆否命题.其中真命题有（）ABCD8给出命题：p:,q:在R上是连续函数，则在下列三个复合命题“p且q”,“p或q”，“非p”中，真命题的个数为（）A0个B1个C2个D3个9（06年江苏）若A、B、C为三个集合，则一定有（）ABC（D）10设A、B是集合，A非空，已知“A的元素都是B的元素”是假命题，则下列命题中，可能成立的是（）A的元素都不是B的元素；存在A的元素不是B的元

13、素；存在A的元素是B的元素；不是B的元素都不是A的元素。ABCD二 填充题11设U是全集，非空集合P，Q满足PQU，若含P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集Æ，则这个运算表达式是（只要写出一个表达式）。12设集合Ax|x=，By|y=，则A与B的关系是13关于x的方程至少有一个非负实根的充要条件是14已知命题p：函数的值域为R，命题q：函数 是减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是三 计算题15.已知集合A（x，y）|ax+y=1,B=(x,y)|x+ay=1,C=(x,y)|,试问：（1）当a取何值时，为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，为含有

14、三个元素的集合？16.已知三个集合，同时满足的实数a和b是否存在？若存在，求出a,b所有值的集合；若不存在，请说明理由.17.集合，求a的值使Æ，且Æ同时成立。18.已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根、，证明：|<2且|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件答案与提示：1.B提示：2.A提示：3.A 提示：集合，4.D提示：由题意得：A：-1<x<1,B:b-a<x<a+b，由”a=1”是“”的充分条件.则A：-1<x<1与B: b-1<x<1+b交集不为空，所以-2<

15、b<2，检验知:能使.5.D提示：当m0时，；当m=0时，不可能有两个不相等的实根6.B提示：a=0时30恒成立；当a>0时，由0得a>0或a<4，所以a>0；当a<0时不可能。故a0.7.C提示：即“实数x,y均为零，则”命题成立；即“两个三角形不相似，则面积不相等”不成立；原命题成立，则逆命题也成立；原命题不成立，逆命题也不成立.8.B提示：只有“p或q”是真命题9.A提示：由知，选（A）10.D提示：因为“A的元素都是B的元素”是假命题，即A中元素不全是B中元素，故、正确。11.CU（QP）提示：根据真子集的定义即可写出CU（QP）.12.BA提示：注

16、意a,b都是正整数，A2,5，10,17,26，B10,17,26， 13.提示：当有一个负实根时，即；当有两个负根时， 即即，综合得14.1<a<2提示：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题q为真时，。 若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题.若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1<a<2，；15.由于(AB)C=(AC)(AB),而AC为方程组（）的解集；BC为方程组（）的解集。方程组（）的解集为（0,1），（）的解集为（1,0），（1）若中恰有两个元素，只有两种可能：或

17、解得a=0或a=1.(2) 若恰有三个元素，只有，a=16.E1,2，F1，a1，由FE，得a11,2,所以a2,3.由GÍE，得或或，解得或b=3.17 解 log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3 由x2+2x8=0，C=2,4,又AC=，2和4都不是关于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2 当a=5时，得A=2，3，AC=2，这与AC=不符合，所以a=5(舍去)；当a=2时，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2 18.证明： (1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|

18、·|=|·|2×2=4设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线又|2,|2,f(±2)>0即有4+b>2a>(4+b)又|b|44+b>02|a|4+b(2)必要性由2|a|4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线方程f(x)=0的两根，同在(2，2）内或无实根，是方程f(x)=0的实根，同在(2，2）内，即|2且|2【挑战自我】已知数列和满足，求证：是等差数列的充要条件是是等差数列。证明：（必要性）设an成等差数列，公差为d,an成等差数列 从而bn+1bn=a1+n·

19、;da1(n1) d=d为常数 故bn是等差数列，公差为d（充分性）设bn是等差数列，公差为d,则bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得nan=bn1从而得an+1an=d为常数，故an是等差数列综上所述，数列an成等差数列的充要条件是数列bn也是等差数列 【答案及点拨】演变1： 由得x2+(m1)x+1=0AB方程在区间0，2上至少有一个实数解 首先，由=(m1)240,得m3或m1,当m3时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=1>0知，方程只有负根，不符合要求 CBA当m1时，由x1+x2=(m1)>0及x1x2=1>0知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 故所求m的取值范围是m1 演变2：设A，B，C分别表示