《代数与几何》期中练习题及答案

1、代数与几何期中练习题一、 填空题1、 已知向量，则 -7 ，。2、 已知矩阵满足矩阵方程，则。3、 已知则 10 ，。4、 已知四维向量空间中向量，则向量与向量的夹角为。5、 ，该向量组的秩为 2 。6、设 ,则 = 。7平行于向量的单位向量是，向量的三个方向余弦分别为_6/11,7/11,-6/11 。8 向量组线性 相 关。9 设矩阵A=，则A的秩等于 2 。10 已知=(0,-1,2)T,=(0,-1,1)T,且A=T ,则A =。二、选择题1矩阵的逆矩阵为 D 。(A) ; (B) ; (C) ; (D) 。2. 从矩阵中划去一行得到矩阵,则矩阵的秩的关系为 C 。 (A) <

2、(B) > (C); (D) £ .3. 设A,C是可逆矩阵, 矩阵满足，则 C 。 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 。4已知向量组的秩为3，则 C 。 (A) 中任意三个向量线性无关； (B) 中必有任意两个向量线性无关； (C) 中至少有一个向量可以用其它三个向量线性表示；(D) 中任意一个向量都能用其它三个向量线性表示。5的关系是 B 。(A) 两两垂直； (B) 共面； (C) 共线; (D) 垂直于所确定的平面。6. 的充要条件是 A 。（A）A是对称矩阵 （B）A是三角形矩阵 （C）A是可逆矩阵 （D）A是单位矩阵7.已知向量组的秩为2, 则 D 。（A

3、） 向量组中至少有一个零向量;（B） 向量组中没有零向量;（C） 向量组至少有2个向量线性相关;（D） 向量组至多有2个向量线性无关.8.设A为n阶矩阵，且，则有 D 。（A） ; （B） ; （C） 若A不可逆，则; （D） 若A可逆，则.9 不是 的子空间。三、计算下面行列式的值(1) ；（2）；（3）；（4）当x¹0时，当x=0时，原行列式的值显然为0。；(5) 四、 用克拉默法则解线性方程组(1) ；解： 系数行列式为（2） abc ¹0。五、求一个三次多项式f (x),使满足：f (-1)=0，f (1)=0，f (-2)=0，f (2)=12。解：设，将已知条件

4、代入得 解此以a,b,c,d为未知量的非齐次线性方程组，得a,b,c,d,进而得到f(x)的 表达式。 六、求下列矩阵的逆矩阵：（1）；（2）。解：（1）（2）七、 设 八、证明：，其秩为3。又因为等价的向量组有相同的秩，从而，因此线性无关，因此是R3的基。九、设十、用定义证明：实数域上的全体矩阵构成的集合关于矩阵的加法和数乘运算构成上的一个向量空间。证明：由矩阵的运算知，下列结论成立（2）下列运算规律满足1、2、3、4、5、6、7、8、所以为上的向量空间。1.已知：是三元行向量组，（1） 证明是向量空间R3的一个基；（2） 写出向量在这个基下的坐标；（3）用施密斯正交化法把向量组正交化，进而找出R3的一个标准正交基。证明：（1）,所以线性无关.3又向量空间R3的维数是3，所以是向量空间R3的一个基。.2（2）设3即23.22. 将二次曲面化为标准方程，写出所用的变化，指出其为何种