FIR数字滤波器设计的WLS方法

1、FIR数字滤波器设计的WLS方法一、理论推导设理想数字滤波器的频率响应函数为， (1)其中、分别是滤波器的幅频、相频特性。设FIR滤波器的单位冲激响应为 ，其频率响应可表示为， (2)我们的任务是找到合适的，使得最大限度地逼近 。我们采用加权均方误差（WLS：Weighted Least-Squares）最小的方法来完成设计任务。给定加权函数，根据(1) (2)式， 定义WLS函数为， (3)显然，的极小值所对应的可作为设计结果，这个结果称为加权均方误差意义下的最优结果。根据数学知识，求的极小值，可以通过使而得到。推到过程如下。先将(3)用欧拉公式展开， (4)那么， (5)继而，可写为， (

2、6)即， (7)我们令， (8) (9)那么(7)式就可以写为， (10)进一步地，对所有成立的的表达式，则可以写成如下的线性方程组， (11)写成矩阵形式， (12)其中 ， (13) (14) (15)由线性代数理论知，的结果应为， (16)二、设计例子：第一类FIR低通滤波器(为奇数)设理想的滤波器频率响应函数为， (17)定义加权函数为， (18)根据(8) (9)， (19) (20)将(19)(20)代入(13-16)，用MATLAB工具即可得到。然后可以根据结果画出频率特性曲线。以下是用MATLAB完成上述设计的代码：clear all;close all; pass=0.2*p

3、i;stop=0.3*pi;N=35;Wp=1;Ws=10;D=(N-1)/2; for m=1:N for n=1:N if abs(m-1)-(n-1)>0 t(m,n)=Wp*sin(m-1)-(n-1)*pass)/(m-1)-(n-1)-Ws*sin(m-1)-(n-1)*stop)/(m-1)-(n-1); else t(m,n)=Wp*pass+Ws*(pi-stop); end; end;end;for m=1:N if abs(D-(m-1)>0 s(m)=Wp*sin(D-(m-1)*pass)/(D-(m-1); else s(m)=Wp*pass; end;

4、end;hfir=ts'hfir' figure(1);w=linspace(0,pi);F=freqz(hfir,1,w);hm=20*log10(abs(F);plot(w/pi',hm);xlabel('Normalized frequency');ylabel('Magnitude (dB)');axis(0,1,-70,5);grid on; figure(2);w=linspace(0,pi);dl=grpdelay(hfir,1,w);plot(w/pi',dl');xlabel('Normalize

5、d frequency');ylabel('Group delay');axis(0,1,D-1,D+1);grid on;三、设计例子：第一类FIR高通滤波器(为奇数)设理想的滤波器频率响应函数为， (21)定义加权函数为， (22)根据(8) (9)， (23)根据， (24)将(23)(24)代入(13-16)，用MATLAB工具即可得到。然后可以根据结果画出频率特性曲线。以下是MATLAB完成上述设计的代码：clear all;% close all; stop=0.7*pi;pass=0.8*pi;N=35;Ws=10;Wp=1;D=(N-1)/2; for

6、m=1:N for n=1:N if abs(m-1)-(n-1)>0 t(m,n)=Ws*sin(m-1)-(n-1)*stop)/(m-1)-(n-1)-Wp*sin(m-1)-(n-1)*pass)/(m-1)-(n-1); else t(m,n)=Ws*stop+Wp*(pi-pass); end; end;end;for m=1:N if abs(D-(m-1)>0 s(m)=-Wp*sin(D-(m-1)*pass)/(D-(m-1); else s(m)=Wp*(pi-pass); end;end;hfir=ts'hfir' figure(3);w=linspace(0,pi);F=freqz(hfir,1,w);hm=20*log10(abs(F);plot(w/pi',hm);xlabel('Normalized frequency');ylabel('Magnitude (dB)');axis(0,1,-70,5);grid on; figure(4);w=linspace(0,pi);dl=grpdelay(hfir,1,w);plot(w/pi'