《信号检测与估计》第二章习题解答

1、信号检测与估计第二章习题解答2.1 若随机过程 (t X 为(<<=t At t X式中, A 为在区间 (1, 0上均匀分布的随机变量,求 (t X E 及 (21, t t R X 。 解:(2E E E 1-t AdA t dA A Af t t A At t X =+(3E E , 2110221-2212122121t t dA A t t dA A f A t t t t A t X t X t t R X =+2.2 已知随机过程 (t X 为 (t X t X 0cos =, 0是常数, X 是归一化高斯随机变量,求 (t X 的一维 概率密度函数。解:因为 X 是

2、归一化高斯随机变量,所以 0E =X , 0E 2=X 。(0E cos cos E E 00=X t t X t X (t X t t X t X 022020222cos E cos cos E E =(t X 是线性叠加过程,因而也是一个高斯过程,所以 (t X 的一维概率密度函数为 (=t t X t t f X 0220cos 2exp cos 1 2.3 随机过程由三条样本函数曲线组成:(11=t x , (t t x sin 1=, (t t x cos 1=并以等概率出现,求(t X E 和 (21, t t R X 。 解:(t t t X E cos 31sin 3131+

3、=(212122111221212122112121sin 91-cos 91cos 91sin 91cos 91sin 9191cos sin 91cos sin 91cos cos 91sin sin 91cos 91sin 91cos 91sin 9191E , t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t X t X t t R X +=+= 2.4 随机过程 (t X 为(t B t A t X 00sin cos +=式中,0是常数, A 和 B 是两个相互独立的高斯随机变量, 而且 0=B E A E , 222=B E A E 。 求 (t

4、 X 的均值和自相关函数。解:解:由于 0为常数,且 0=B E A E ,得到(0sin cos sin cos 0000=+=+=t B E t A E t B t A E t X E 由于 A 和 B 相互独立,且 222=B E A E ,得到(02000002000002200002002000000200200000020000cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin c

5、os sin cos , =+=+=+=+=+=+=+t t t t t t t t t t t t B E t t AB E t t AB E t t A E t t B t t AB t t AB t t A E t B t A t B t A E t X t X E t t R 2.5 随机过程 (t X 为cos( (0+=t a t X式中, a 、 0是常数, 为 (2, 0上均匀分布的随机变量。求 (t X 的均值和自相关函数。 解:根据题意可得(=其他2021f(sin sin 2cos cos 2sin sin cos cos sin sin cos cos cos 2002

6、0000000=+=d t a d t a tE a tE a t t aE t aE x E(+=201021cos cos , t a t a E t t R令 t t =1, +=t t 2,得(0200200200022000002000cos 22sin sin 22cos 1cos 2sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos , a t E a t E a t t t E a t t t a E t a t a E t t R =+=+=+=+=+2.6 随机过程 (t X 为(+=t a t X 0cos式中, a 、 0是常

7、数, 为 2, 0上均匀分布的随机变量。求证 (t X 是广义平稳随机过程。 解:根据 2.5计算结果可得0=x E , (02cos 2, a R t t R =+即数学期望与时间无关,自相关函数仅与时间间隔有关,故 (t X 为广义平稳随机过程2.7 设有状态连续,时间离散的随机过程 (At t X 2sin =,式中, t 只能取正整数,即 L , 3, 2, 1=t , A 为在区间 (1, 0上均匀分布的随机变量,试讨论 (t X 的平稳性。 解:(02sin 2sin 2sin E E 1=+d f t d f t At t X(=+000212sin 2sin 2sin 2sin

8、 2sin E E , 1d t t d f t t At t X t X t t R X 因此 (t X 是平稳随机过程。2.8 平稳随机过程 (t X 的自相关函数为1 10cos(22 (10+=e R X求 (t X 的均值、均方值和方差。解: 对于周期随机过程 (t X ,则 (X R 也具有周期性,由于上述相关函数不具有周期性,因而有(12 10cos(2 ( ( (1021+=+=e R R R X X X由 10cos(2 (1=X R 可得对应的随机过程为10cos(2 (1+=t t X所以 021=Xm 3222= (X X R m 3222211=+=X X X m m

9、 m (5 0(E 2=X R t X23-5-5- 0(222=X X X X m m R 2.9 若随机过程 (t X 的自相关函数为 (0cos 21=X R ,求 (t X 的功率谱密度。 解:由于自相关函数与功率谱密度函数互为傅立叶变换对,得 (d e d e R P j j X X +=0cos 21根据欧拉公式可得(000224121cos 210000+=+=+=+d e e d e e ed e P j j j j j j X2.10 若平稳随机过程 (t X 的功率谱密度为 (X G ,又有(t t aX t Y 0cos =式中, a 为常数,求功率谱密度 (Y G 。解:(t j t j t j t j t X at X a t aX t t aX t Y 0000-0e 2e 22e e cos +=+= 由移频性质可知(002+=X X Y G G aG 2.11 已知平稳随机过程 (t X 具有如下功率谱密度(651242+=X G 求 (t X 的相关函数 (X R 及平均功率 W 。解:(2j