第八次课、多元函数的极限与连续性ppt课件

1、11.8 多元函数的极限与连续性1.多元函数的定义1212 : ( ,), ( ,) ( ), ,nnnDnfDDnzf x xxx xxDzfDxx设 是 维欧氏空间 的一个非空子集，称映射 为定义在 上的一个 元函数，通常记成或定义8.1 R R12, ( ).nx xxzfDD f其中 称为， 称， 称为对，区域 称为函数的，记为自变量因变量应 法则定义域( , )( , )( , )zf x yf x yx y如果不考虑实际应用，二元函数的定义域是指使函数有意义的点组成的平面区域定义域的求法2201yxxxy22ln()1xzyxxy求函数的定义域例例1:220010yxxxy由解解:

2、22( )( , )10D fx y xyyxx定义域为：且且2.多元函数的极限 (0)(0)(0)0120000D (,)( )00(, ) ( ) ,( )nnnxxxzfDnAOfAAfnxxxxxxxxxx 设 是中的开集， 是定义在 上的 元函数， 是一个实数。如果对任意的 ，存在 ， 使得当时恒有 则称 为当 时定义8.2（ 重）极限 的，或者说当R RR R0( )fAxxx 时 收敛于 ，记作(1)010(2)20( )012lim( ), lim( ,)nnnxxxxxxfAf x xxAxxx或( , )(0,0)22lim0.x yxyxy例8 用极限的定义证.明1222

3、200( , )(0,0)0,xyx yxyxy 对任意 ，证明：我们须找正实数 使得当 时222222221()12,2xyxyxyxyxy注意到 222 ,xy因此只须 2( , )(0,0) x y取 ，则当 时220,xyxy( , )(0,0)22li.m0 x yxyxy由极限的定义，22( , )(0,0)lim(n.)si0 x yyxyxy练习1. 用极限的定义证明2222()sin2,yxyxyxyxyxy证注意到 明：/ 2( , )(0,0) x y取 ，则当 时2222()sin2,yxyxyxy命题成立。例例2. 已知函数已知函数22( , ),xyf x yxy,

4、 x y不同时为不同时为00,0lim( , )?xyf x y解：当解：当( , )Px y沿直线沿直线yx趋于趋于(0,0)时，时，222221( , ),2xyxf x yxyxx故此时故此时( , )f x y趋于趋于12当当( , )Px y沿直线沿直线yx 趋于趋于(0,0)时，时，222221( , ),2xyxf x yxyxx 故此时故此时( , )f x y趋于趋于12一般地，当一般地，当( , )Px y沿直线沿直线ykx趋于趋于(0,0)时，时，2222222( , ),1xykxkf x yxyxk xk故此时故此时( , )f x y趋于趋于21kk故极限故极限0,

5、0lim( , )xyf x y不存在！不存在！2242()( , ),( , )(0,0)(0,0)yxf x yx yyx 判断函数 在 点的极限是练习2.否存在。( , )(0,0)x yymxpo 当点 沿直线 趋近于 解： 时，22244200()lim( , )lim1,xxy mxm xxf x ym xx2( , )(0,0)x yyxpo当点 沿抛物线 趋近于 时，2222200()lim( , )lim0,xxyxxxf x yxx lim( , ) f x ypo不存在。3.二重极限与二次极限000( , ) ( , )(,)f x yx yxyyxxy对于二元函数 当

6、时的极限问题，有些同学也许会这么想：我们分两步来求极限，先把 视为常量，令 得到一个极限（依赖于 ）0lim( , )( ),xxf x yy0 ( ) yyyA然后再令 ，得到的极限 ，即0lim( ),yyyA0000( , )(,)lim lim( , ).yy xxf x yxyf x y二次极这一极限（如果存在）通常称之为 限在 的，记作 00lim lim( , ).xxyyyxf x y当然，我们也可以先对 取极限，再对 取极限而得到另外一个二次极限 那么这两个二次极限之间以及它们与二重极限之间又有什么关系呢？2211()sincos, 0,( , )0, 0 0.xyxyxyf

7、 x yxy例3. 设 或( , )(0,0)0000lim( , )0limlim( , ), limlim( , )x yyxxyf x yf x yf x y则，但 均不存在。二重极限存在并不能保证二次极这说明限存在!1sin, 0,( , )0, 0 0.yxyf x yxxy 设4. 或例( , )(0,0)0000lim( , )0limlim( , ) limlim( , )0,x yyxxyf x yf x yf x y则， 不存在，两个二次极限并不一定这说明同时存在!222222(1)(1)( , )xxyyf x yxy练习3 讨论 的二重极.限与二次极限。( , )(0,

8、0)x yymxpo 当点 沿直线 趋近于 解： 时，222222222200(1)(1)1lim( , )lim,(1)1xxy mxxxm xm xmf x ymxm lim( , ) f x ypo因此二重极限不存在。2000limlim( , )lim(1)1,yxyf x yy 2000limlim( , )lim(1)1.xyxf x yx即使两个二次极限都存在，它们也不一此例说明定相等!00000000( , )(,)0( , )(,) lim( , ), lim( , )( ),lim lim( , )lim( ).x yxyyyxxyyxxf x yxyf x yAxxf x

9、 yxf x yxA 若二元函数 在 存在二重极限且当 时存在极限则 定理1.2200000()()( , )2xxyyf x yA由二重极限的定义，对任意 ，存在 ，使当 ：时恒有证明，000 ( )lim( , ),2yyxxxxAf x yA于是对于每个满足 的 皆有00000 ( )lim( ).xxxxxAxA也就是说，对于任意的 均存在 ，使当 时恒有，由一元函数极限的定义知 00000000( , )(,)0( , )(,) lim( , ), lim( , )( ),lim lim( , )lim( ).x yxyxxyy xxyyf x yxyf x yAyyf x yyf

10、x yyA 若二元函数 在 存在二重极限且当 时存在极限则 推论1.00( , )(,)f x yxy 若二元函数 在 的二重极限以及两个二次极限均存在，则两个二次极限必推论2.相等，即000000( , )(,)lim lim( , )lim lim( , )lim( , ).xx yyyy xxx yxyf x yf x yf x y 上述推论给出了二元函数注：求极限可以交换秩序的条件。4.多元函数的连续性0000D ( ) lim( )(),( ) nzfDnDfffxxxxxxxx 设 是中的开集， 是定义在 上的 元函数，定义8如果则称函数 在点 3。.连续R R000 0, 0(,

11、 ) ( )(),( ) Offfxxxxxx ，使当 时恒有则称函数 在语言叙 ：点述连续。 )( )( nfDfD xx如果 在 中每一点连 在 续，则称。上连续R R( , ) (0,0) f x yxy 证明函数 例5在. 点连续。221( , )(0,0)() ,2f x yfxyxy明： 证 2222021 ( , )(0,0)(),2xyf x yfxy对任意 ，取 =，则当 时恒有( , )(0,0)f x y因此 在 点连续。2( , )sin f x yxy 证明函数 在练习 。4.点连续R R0000( , )(,)sinsinf x yf xyxyx y 证明提示：00

12、002cossin22xyx yxyx y 00002 sin,2xyx yxyx y000000 xyx yxyxyxyx y000 x yyyxx000000 xxyyxyyyxx2222200000()2()(Cauc) (hy)xxxyyyxx不等式22222000002 ()()(),xxxyyyxx220022002200min,2 ()() xyxyyyxx取 ，则当时恒有00.xyx y初等多一元连元函数续函数的和、在其定义域上差、积、商及复合函数的性质可以平行地推广到多元函数来；我们还可以利用初等多元函数的连续性来连续求其极限。22( , )(1,0)ln()limyx yx

13、exy 求极限. 例622ln()( , )(1,0)( , )(1,0)yxef x yxyf x y 设 ，它是初等函数，且在其定义域上，因此 在 点解：连续，从而( , )(1,0)lim( , )(1,0)ln2.x yf x yf2222( , )(0,0)sin (1)limx yyxyxy 求限 .极例72222( , )(0,0)sin (1)lim(1)(1)x yyxyyyxy解：原式2222( , )(0,0)( , )(0,0)sin (1)limlim(1)(1)x yx yyxyyyxy1 1 1. 5.映射（向量值函数）cos , sin , ,xtyttzt 有

14、时候我们还要用到向量值函数，例如三维空间中的参数曲线3它可以视为从一维欧氏空间 到三维欧氏空间 的一个映射。R RR R(cos )cos , (cos )sin , ,sin ,xRryRrz 还有参数曲面23它可以视为从二维欧氏空间 到三维欧氏空间 的一个映射。R RR R1212 :, ( ,)( ,)( )nmmmmDDfDx xxz zznmf xxzz定义8.4向量值函 设 是上的点集， 到 的映射 称为 元 维，亦称为，记作数多元函数组 。R RR RR R;()( ), .mDf DfDzzxx定义域：值域： (0)(0)(0)0120000 (,): 00(, ) ( ) ,( )nnnmDxxxfDmOffxxaxxxxaaxxxx 设 是中的开集， 是映射（向量值函数）， 是一个 维常向量。如果对任意的 ，存在 ， 使得当时恒有 则称 为当 时 的定义8.5极当 限，或者说RRRRR R0( )f xxa 时 收敛于 ，记作00lim( ) ( ) ().ffxxxa xaxx或0(0)(0)(0)0120 (,):lim( )( )(